转换计算器 - P (n,r) 和组合 C (n,r)
通过逐步的解决方案计算 permutations P (n,r) 和 combinations C (n,r). 尝试这个免费的在线数学计算器以获得即时,准确的结果.
变换与组合:当顺序重要时
A 换位方式是一个物品的排列秩序问题一个组合这种单一的区别决定了该使用哪种公式,以及每种公式解决哪些问题.
典型的例子:你有5个人,需要选择3.如果顺序重要 (例如,比赛中的第1,2,3名),使用P(5,3) = 60.如果顺序不重要 (例如,选择3名委员会成员),使用C(5,3) = 10.相同的爱丽丝, 勃,卡罗尔的选择计算为1个组合,但6个不同的排列 (ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,CBA).
| n (项目) | r (已选择) | 已经下令 | C ((n,r) 没有排序 |
|---|---|---|---|
| 4 | 2 | 12 | 6 |
| 5 | 2 | 20 | 10 |
| 5 | 3 | 60 | 10 |
| 10 | 3 | 七百二十 | 一百二十 |
| 10 | 5 | 30,240 年 | 其他 |
| 52 | 5 | 311,875,200 年 | 美国 |
比例P{n,r) /C{n,r) = r! - 排列r项的方式的数量.对于r=3,每个组合对应于3!=6个排列.对于r=5,每个组合对应于5!=120个排列,解释为什么5张牌 克牌手的数量是311,875,200 ÷ 120 = 2,598,960.
公式:P (n,r) 和C (n,r)
这两种公式都是基于分数函数: n! = n x (n-1) x (n-2) x ... x 2 x 1. 根据惯例,0!=1.
变换公式: ,r) = n! / (n-r)!
这计算了有序的安排.分母 (n-r)! 取消了未选项.对于P{5,3): 5! / (5-3)! = 120 / 2 = 60.
组合配方: ,r) = n! / (r! x (n-r)!) 这样,
分母中的额外r!删除了所选项的顺序.对于C{5,3): 5! / (3! x 2!) = 120 / (6 x 2) = 10.
替代组合符号:C ((n,r) 也可以用括号写成nCr,C ((n,r) 或二项系数符号 (n 选择r).
| n | n! |
|---|---|
| 0 | 1 |
| 1 | 1 |
| 2 | 2 |
| 3 | 6 |
| 4 | 24 |
| 5 | 一百二十 |
| 6 | 七百二十 |
| 7 | 5,040 年 |
| 8 | 40,320 年 |
| 10 | 三千六百二十八千八百 |
| 12 | 479,001,600 年 |
变换的现实实例
每当选择的安排或顺序重要时,都会进行变换:
- 密码和密码:没有重复的10个数字 (0 - 9) 的4位PIN有P(10,4) = 5,040个可能的代码.允许重复 (标准PIN),它是104 = 10,000 (不同类型的计数 - 订购选择与替换).
- 赛事结束时间:在一场有8名选手的比赛中,分配第一,第二和第三名的方法数是P(8,3) = 8x7x6 = 336.
- 座位安排:在圆桌上安排6个人有 (6-1)! = 5! = 120个循环排列 (一个座位固定以移除旋转等值).
- 车牌:美国风格的牌子有3个字母跟着4个数字:263×104=175,760,000个可能的牌子 (重复).
- 书籍安排:在书架上排列7本不同的书: 7!=5,040种方式.在7本书中排列3本书: P(7,3) =210种方式.
结合的现实例子
组合适用于选择是重要的,而不是顺序:
- 彩票:电球需要从1 - 69中选出5个数字:C(69.5) = 11,238,513个方法. 然后从1 - 26中选出1个电球,加上x26=292,201,338个总组合 - - 赢得大奖的几率.
- 卡牌手:52 张牌的 5 张牌 克牌手:C(52,5) = 2,598,960 个不同的手. 具体的手数: 4 个王牌 = C(4,4) xC(48,1) = 48 个手.
- 委员会选择:在20名候选人中选出一个5人委员会:C(20,5) = 15,504种方式.
- 披萨的配料:在12个选项中选择任何3种配料:C ((12,3) = 220种不同的披萨组合.
- 投资组合:从15个可能的投资组合中选择4个股票:
帕斯卡三角形和二项系数
组合值C ((n,r) - 也称为二项系数 - 形成帕斯卡三角形,其中每个项是上面两个项的和:
| n | 其他类型 | C ((n,1) 在 | 其他类型 | 没有. | 没有. | 没有. |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | |||||
| 1 | 1 | 1 | ||||
| 2 | 1 | 2 | 1 | |||
| 3 | 1 | 3 | 3 | 1 | ||
| 4 | 1 | 4 | 6 | 4 | 1 | |
| 5 | 1 | 5 | 10 | 10 | 5 | 1 |
帕斯卡三角形具有非凡的属性:每行的总和为2n (n元素集合的子集的总数).该三角形编码了二项式扩展的系数: (a+b) 3 = 1a3 + 3a2b + 3ab2 + 1b3,使用三角形的第三行.组合C ((n,r) 计算了通过网格的路径数,来自n元素集合的大小r的子集数,以及二项式定理中的系数.
对称性属性C ((n,r) = C ((n,n-r) 在帕斯卡三角形中是可见的 - - 每行前后看起来都是一样的.这很有意义:选择包含哪些r项就相当于选择排除哪些 (n-r) 项.
使用重复和多组的变换
标准P{n,r) 和C{n,r) 公式假设项目是不同的以及没有替换当规则发生变化时,不同的公式适用:
| 计算问题 | 公式 | 一个例子 |
|---|---|---|
| 转换,没有重复 | ,r) = n!/ -r)! | 从8点开始的3匹马比赛:P(8,3)=336 |
| 有重复的变换 | nʳ | 10个数字中的3位码:103=1,000 |
| 组合,没有重复 | , , , , , , , | 在52的5张牌:C(52,5) =2,598,960 |
| 与重复相结合 | C ((n+r-1,r) 在 | 五种口味的3 :C(7,3)=35 |
| 多组的变换 | 没有人知道你是谁. | 密西西比的安排: 11!/(4!4!2!1!)=34,650 |
单词"MISSISSIPPI"的例子说明了多组排列:总共有11个字母 (4个S,4个I,2个P,1个M),不同的排列数是11!除以每个重复的字母数的因数.不考虑重复,你会把每个排列4!x4!x2!=1,152次.
概率中的变换和组合
变换和组合是经典概率的基础:P (事件) = (有利的结果) ÷ (同样可能的结果总数).这需要正确计算有利的结果和总结果.
在 克中皇家色彩的概率:在C ((52.5) = 2,598,960个手中,有4个皇家红牌 (每套1个).概率 = 4/2,598,960 ~ 0.000154% - 约为649,740分之一.
生日问题:在一个n人群中,至少两人共享生日的概率使用365天的变换:P ((没有共享生日) = 365x364x363x...x (365-n+1) / 365n.对于n=23人,这个概率下降到50%以下,这意味着在一个23人房间里共享生日的机会比平衡更好 - - 这一结果让大多数人感到惊 .
无图概率:在"APPLE"中随机排列的字母中,得到"APPLE"的概率是1/60 (因为5!/2!=60个不同的排列,为两个P的2!除以2).得到以A开始的任何排列的概率是4!/2!/5!/2!=12/60=1/5,正如对称性所预期的那样.
人们常问的问题
什么时候使用 permutation 和 combination?
当顺序重要时使用排列:密码,比赛结束,座位安排,安排. 当顺序不重要时使用组合:彩票号码,委员会选择,牌手,披萨 toppings. 问问自己:"重新排列选择会产生不同的结果吗?"如果是的话,使用排列. 如果不是,使用组合.
什么是0?
根据数学惯例,0!=1. 这使得C{\displaystyle C{\displaystyle N} ,0) =1这样的公式一致 - - 从集合中选择一无 (空的选择) 只有一个方法. 这也使得公式P{\displaystyle P{\displaystyle P} ,n) =n!/0! =n!/1 =n! 正确地安排所有n个项.
什么是P{10,3)?
P(10,3) = 10! / (10-3)! = 10! / 7! = 10 x 9 x 8 = 720.这是从10个不同的项目中选择3个项目的有序方式的数量 - 例如在10人比赛中颁发金,银和铜牌.
什么是C?
C ((10,3) = 10! / (3! x 7!) = (10 x 9 x 8) / (3 x 2 x 1) = 720 / 6 = 120. 这是从10个不同的项目中选择任何3个项目的方法的数量 - 比如从10人委员会中选择3人小组委员会.
当P{n,r}大于C{n,r}时意味着什么?
P ((n,r) / C ((n,r) = r!, 排列r项的方式的数量. r越大,这个比率就越大.对于r=5,排列比组合多120倍.这反映出,当r大时,顺序会大大增加不同的排列数量.
五个人可以连续坐多少次?
一排5个人 (所有坐着,顺序很重要) =P(5,5) =5!=120种方式.第一个座位可以填充5种方式,第二个4种方式,然后3,2,1 - 给出5x4x3x2x1=120个.对于一个圆形的排列,它将是 (5-1)!=24种方式.
在彩票中获胜的几率是多少?
彩票赔率取决于游戏.对于49个号码中的6个号码:C(49.6) = 13,983,816 - 大约是1400万中的1个.对于Powerball (69个号码中的5个+26个号码中的1个):C(69.5) x 26 = 292,201,338 - 大约是2.92亿中的1个.这些组合解释了为什么大奖的胜利非常罕见.
你能计算大数的 permutations吗?
分数增长极快: 20! ~ 2.4 x 10^18, 100! 有158个数字.对于大n和r,直接分数计算超越了标准的整数类型.这个计算器使用JavaScript的64位浮点,它给出了P (n,r) 的确切结果,直到n=20左右,并给出了大致的结果.对于确切的大数组合学,使用大整数库.
排列和排列的区别是什么?
它们在组合学中意味着同样的事情 - - 两者都指从一个集合中的有序选择. "排列"有时被非正式地使用; "变换"是正式的数学术语. P ((n,r) 计数从一个 n 元素集合中的 r 元素有序排列的数量.
帕斯卡三角是如何与组合相关的?
帕斯卡三角形是通过将C(n,r) 值放置在一个三角数组中,其中n行包含C(n,0),C(n,1),...,C(n,n.每个值等于上面两个值的和:C(n,r) =C(n-1,r-1) +C(n-1,r.这个等式 (帕斯卡法则) 赋予了三角形的结构,并将组合与二项定理系数连接起来.
一步一步的变换和组合问题
掌握排列和组合需要系统地处理问题. 关键的决定总是:顺序是否重要? 一旦解决,应用适当的公式并简化. 以下是涵盖典型问题类型的工作示例.
问题一:比赛奖牌.在一个有12名选手的比赛中,金,银和铜奖牌有多少种方式可以获得?
顺序很重要 (金≠银≠青铜),所以使用P(12,3).
这样一来,我们就有了12! / (12-3)!
问题2:委员会选择.在一班20名学生中,一个老师选择4名学生参加一个项目.有多少个不同的组是可能的?
顺序不重要 (任何4个学生组成同一组),所以使用C(20,4).
C(20,4) = 20! / (4! x 16!) = (20 x 19 x 18 x 17) / (4 x 3 x 2 x 1) = 116,280 / 24 = 4,845 个组.
问题3:密码安全性.一个密码需要2个大写字母跟着4个数字 (不允许重复).有多少个密码?
对于信件:顺序问题,P(26,2) = 26 × 25 = 650.
对于数字:顺序是重要的,P(10,4) = 10 x 9 x 8 x 7 = 5,040.
总数 (按乘法原理):650×5,040=3,276,000个密码.
第四个问题:打牌.在一个标准的52张牌中,有多少不同的5张牌手包含3张王牌?
从4个中选出3个王牌:
在48中选择2个非王牌:C(48,2) = 48 × 47 / 2 = 1,128.
总数: 4 x 1,128 = 4,512 个手, 只有 3 个王牌.
问题5:圆形的座位.六个人可以坐在圆桌上有多少种方式?
在循环排列中,一个人的位置是固定的 (以消除旋转等价值),留下5人来排列: (6-1)! = 5! = 120种方式.
如果桌子也有可辨别的座位 (例如,有一个扶手),它就变成6! = 720 (线性排列).
乘法原理:所有多步计数问题都使用基本的乘法原理:如果步骤A可以以m种方式完成,而步骤B可以以n种方式完成 (独立),那么A和B一起可以以m x n种方式完成.这个原理是所有变换和组合公式的基础 - - P (n,r) 只是n x (n-1) x...x (n-r+1),C (n,r) 分于r!以消除顺序的过度计数.
在解决任何计数问题时: (1) 确定顺序是否重要. (2) 检查是否允许重复. (3) 确定项目是否可区分. (4) 使用乘法原理将复杂问题分解为连续步骤. (5) 适时应用P ((n,r) 或C ((n,r),或使用专门的公式进行圆形安排,多组或重复元素.
验证策略:总是检查组合结果的合理性. C(n,r) 应该等于C(n,n-r) 通过对称性属性 - - 选择包含的r项与选择排除的n-r项相同. P(n,r) 应该由r!除法 (因为将P(n,r) 与r!除法给出Cn(r)).对于小值,您可以直接列举可能性以验证公式给出正确的计数.为检查您的工作建立这种直觉,可以防止工程设计计数,安全参数计算或统计分析等高风险情况下的错误.
最后,当数量变得非常大时,使用对数来估计. log10(P(52,5)) = log10(52!) - log10(47!) = log10(52x51x50x49x48) ~ 8.494,所以P(52,5) ~ 10^8.494 ~ 311,875,200 -- 已确认.对于概率计算,当概率天文学小时,使用对数-概率来防止数值下流 (如混 甲板排序:52! ~ 8.07 x 10^67可能的排序).使用对数和组合直觉来推理这些巨大数量的能力是数学成熟和统计思维的标志.
变换和组合在预计算和概率课程中被教授,因为它们是理解概率,统计学和离散数学的入口.在课堂之外,它们在计算机科学 (算法分析,数据结构设计),遗传学 (计数基因型组合),化学 (分子同位素) 和游戏设计 (平衡和公平分析) 中是不可或缺的.每个彩票赔率计算,每个密码安全分析,每个体育排名系统和临床试验的每个实验设计都依赖于这个基本的计数理论. 投资时间来真正理解排列和组合 - - 不仅仅是记住公式,还要培养什么时候应用它们的直觉 - - 几乎在每一个定量学科中都能带来好处. 使用这个计算器来检查你的工作,用不同的n和r值来建立直觉,并验证你在遇到的问题上的推理.