长除法计算器
逐步执行长除法. 输入除数和除法以获得分数,余数和完整除法分解. 获得即时的数学结果.
什么是长线?
长线划分是一个逐步的方法来分大数的手工. 它把分数问题分解成一系列的简单操作--除法,乘法,减法,减法--重复直到你已经通过了分数的每一个数字. 结果包括一个分数(有多少倍的除法符入红利) 和一个剩余的(那些剩下的东西).
长除法用以下符号表示:分红 ÷ 分数 = 分数余数 R或等同地说:股息= (系数x除数) +余额.
例如:256 ÷ 7 = 36 余 4, 这意味着256 = (36 x 7) + 4 = 252 + 4 = 256.
这四个关键词你会在每一个长的除法问题中使用:
| 时间 | 定义 | 举例 (256 ÷ 7) |
|---|---|---|
| 分红 | 这个数字被划分 | 美国 |
| 分数 | 这个数值被除以 | 7 |
| 分数 | 结果 (整数部分) | 36 |
| 剩余部分 | 在平分后剩下的 | 4 |
如何做长的除法 - - 一步一步的指南
长除法算法遵循一个重复的四步循环:分数 -> 乘数 -> 减数 -> 下拉这是一个完整的实例:845 ÷ 4 年
第一个步骤:设置
把分数 (845) 写在分数括号里面,把除数 (4) 写在左边.
步骤2:分割第一个数字
看看第一个数字: 8. 问: 4 进 8 的次数是多少? 答案: 2. 在 8 之上写 2
第3步:乘法
乘以2x4等于8. 在分红中的8下面写8.
第四步:减去
8 - 8 = 0. 在下面写0.
第五步:降低
下一个数字是 (4) 让它变成 04. 问: 4 进4 的次数是多少? 答案是: 1. 在 4 上写 1
第六步:重复
乘以1×4=4. 减去: 4 - 4=0. 下移最后一个数字 (5). 问: 4进5多少次? 答案: 1 (4进一次). 写1在5. 乘以1×4=4. 减去: 5 - 4=1. 没有更多的数字下移.
结果
845 ÷ 4 = 211 剩余 1检查:211*4+1=844+1=845.
作为小数点: 845 ÷ 4 = 211.25 (添加小数点并根据需要继续使用零).
长的划分示例 - 解决的问题
练习这些示例以建立长分的流利性.每个示例都展示了算法的不同方面.
| 问题 | 分数 | 剩余部分 | 十进制 | 检查 (QxD+R) |
|---|---|---|---|---|
| 百分之七 | 14 | 2 | 十四,二千八百五十七 | 14x7+2等于100. |
| 256 ÷ 7 年 | 36 | 4 | 这是一个很大的问题. | 36x7+4=256 时间 |
| 一千 ÷ 13 | 76 | 12 | 76.9230... 没有. | 76x13+12=1000 没有 |
| 999 ÷ 9 年 | 一百零一 | 0 | 一万一千 | 一百一十九加零等于九九九. |
| 4,567 ÷ 23 年 | 一九八年 | 13 | 只有一个. | 198x23+13=4567 没有 |
| 一万 ÷ 33 | 第303章 | 1 | 现在是303.0303. | 303x33+1=10000 时间 |
| 8,192 ÷ 64 年 | 一百二十八 | 0 | 一百二十八万 | 128x64+0=8192 没有 |
注意,当余数为0时,除法是准确的-- 分数均 地分割分红. 当余数不等于零时,你可以用混合数 (系数+余数/分数) 或小数来表示结果.
使用小数的长除法
为了继续长时间的除法问题,只要在分数之后添加一个小数点,然后继续算法,在分数的剩余数的右边添加零.
例如: 22 ÷ 7
- 22 ÷ 7 = 3 余 1 -> 写 3, 带来小数点
- 10 ÷ 7 = 1 余 3 -> 写 .1
- 30 ÷ 7 = 4 余 2 -> 写下 .14
- 20 ÷ 7 = 2 余 6 -> 写 .142
- 60 ÷ 7 = 8 余 4 -> 写成 .1428
- 40 ÷ 7 = 5 余 5 -> 写成 .14285
- 50 ÷ 7 = 7 余 1 -> 写 .142857 (重复!)
22 ÷ 7 = 3.142857142857... (数字在第6期重复) 注意这非常接近π ~ 3.14159... (巧合!)
| 分数 | 十进制扩展 | 类型 |
|---|---|---|
| 一半 | 其他 | 终止使用 |
| 三分之一 | 0.333... (3次重复) | 进行重复 |
| 四分之一 | 0.25 个 | 终止使用 |
| 一七分之一 | 只有一个. 0.142857 | 重复 (第6期) |
| 一八分之一 | 一百二十五 | 终止使用 |
| 一九分之一 | 0.111... (1次重复) | 进行重复 |
| 一十一 | 0.0909... (09重复) | 重复 (第二期) |
如果分数的唯一素因数是 2 和/或 5,则分数以小数形式结束.所有其他分数都产生重复的小数.
分区规则和可分割性测试
在开始长分割之前,检查可分割规则以快速确定分割是否准确 (余数 = 0).这些规则可以节省时间并帮助捕获错误.
| 分数 | 可分割规则 | 一个例子 |
|---|---|---|
| 2 | 最后一个数字是偶数 (0,2,4,6,8) | 348 ÷ 2 (最后一个数字为8) |
| 3 | 由3可分割的数字的总和 | 一加二加三等于六,六分三等于二. |
| 4 | 最后两个数字可分为4 | 一千七百三十二:三二四等于八. |
| 5 | 最后一个数字为0或5 | 745 ÷ 5 (最后一个数字为5) |
| 6 | 可由2和3共除 | 126:偶数加上1+2+6=9 |
| 8 | 最后3个数字可除以8 | 1,128:128 ÷ 8=16 没有 |
| 9 | 由9可分割的数字的总和 | 729: 七加二加九等于十八. |
| 10 | 最后一个数字为0 | 1,230 ÷ 10 个 |
| 11 | 交替数字的总和可除以11 | 一个加一个等于零. |
长线划分中的常见错误
长除法错误通常属于几个可预测的模式.意识到这些有助于你自我检查和避免它们.
- 忘记下载一个数字:在每次减去之后,在继续之前,将下一个数字放下.跳过这个步骤会错误地移动所有后续数字.
- 在分数中写0:如果分数不进入当前的部分分红,在分数中写0并把下一个数字拉下来. 忘记0会产生一个分数,它太小了10倍.
- 估计错误:如果你的估计值太高 (比如,当8匹配9时), 减去会产生一个负数 - - 回复并减少你的估计值1.
- 没有检查你的答案:总是验证:分数 x 分数 + 余数 = 分红. 这 5 秒检查几乎捕获每一个错误.
- 错误放置小数点:当扩展到小数点时,将小数点直接带到分数线上,并继续用零.
在现实生活中的长期分裂
长分的技能直接转化为日常的定量任务:
- 分摊费用:如果7个朋友共用256美元的餐厅账单,每个人都支付256美元 ÷ 7 = 36.57美元 (36剩余4,所以有人支付1美元多).
- 单位转换:将1,000英里转换为千米:1,000 x 1.60934 = 1,609.34公里.长除法有助于在没有计算器的情况下通过多位数的乘法和除法进行工作.
- 和食谱:调整 6 份的食谱为 22 份:将每种配料分为 6,然后乘以 22 - 或者使用长除法找到调整因子 22 ÷ 6 = 3 余 4,即乘以 32⁄3.
- 速度计算:一个跑步者在3小时45分钟 (225分钟) 中跑了26.2英里.平均速度:每英里225 ÷ 26.2 = 8分35秒 (通过长分: 225 ÷ 26 = 8余分17秒;将余分转换为秒: 17 x 60 / 26 ~ 39秒).
- 估计燃油停机时间:一辆装有45升油箱的汽车能达到13公里/升. 续航里程=45×13=585公里. 2000公里公路旅行有多少站? 2,000 ÷ 585=3剩余245,所以3个加油站加上最后的部分油箱.
长线与短线与合成线
| 方法 | 最好的 | 显示工作 | 典型的使用 |
|---|---|---|---|
| 长线划分 | 任何分数,任何大小 | 完全一步一步的 | 小学,手动计算 |
| 简短的划分 | 一位数的分数 | 简称 | 快速检查 |
| 合成分离 | 多项式 ÷ 线性因子 | 紧 的阵列 | 代数,寻找根 |
| 分割/部分分数 | 概念教学 | 灵活的 | 小学 |
人们常问的问题
当除法数大于分数的第一个数字时, 你会怎么做?
当除数大于第一个数字时,看看除数的前两个 (或更多) 位数,直到你有一个至少与除数一样大的数字.例如,将52除7=7因为7>5,看看"52" - - 7进52是7次 (7x7=49).在第二位数以上的分数中写7
你能把它除以零吗?
不.除以0在数学中是未定义的.问"有多少个0的组合合到5中?"没有有意义的答案 - - 不管你是说0,1,还是100万个组合,乘以0总是得到0,从来不是5.我们的计算器返回除以0的错误,以避免混 .
如何检查我的长除法答案?
将分数乘以分数并加上余数. 结果应等于原来的红利. 例: 256 ÷ 7 = 36 余数 4. 检查: 36 x 7 + 4 = 252 + 4 = 256. 这种检查需要大约 10 秒,并捕获几乎每一个算术错误.
一个数被它自己除以后的余数是什么?
剩余总是 0. 任何数除以自身等于 1 ,其余数为 0: 7 ÷ 7 = 1 R 0, 100 ÷ 100 = 1 R 0. 这是因为 n = 1 x n + 0 对于任何非零的 n.
如何使用多位数除法来处理长除法?
算法是相同的 -- 关键的区别在于估计变得更具挑战性. 当将4,567除以23时,看看4,567的前两位数: "45". 估计23是45的多少次:大约1 (23x1=23) 或2 (23x2=46--太大了). 所以分数从1开始,但实际上你会看看前三位数"456"并估计23是45的1次... 通过: 23x1=23,但是456 ÷23: 23 divided into 45 is 1--这个 代. 实践使得估计更自动.
分数和余数的区别是什么?
分数是除法结果的整数部分--有多少个完整的组合.剩余是那些完整的组合被计算后剩余的.对于 17 ÷ 5: 5 匹配 3 个完整的倍数 (分数 = 3),留下 17 - 15 = 2 剩余 (剩余 = 2).剩余总是小于除数.
如何将余数转换为分数或小数?
用分数来表达:剩余/除法.对于17 ÷ 5 = 3 R 2:分数形式是3和2/5 = 3.4. 为了得到小数点,继续除法过程,添加小数点和零点:把20,5放入20正好4次 -> 3.4.
如果有计算器,为什么长除法很重要?
长除法建立了数值感--理解位数值,估计和乘法和除法之间的关系. 它也为代数中的多项式除法奠定了基础,并帮助你捕捉计算器输入错误. 最重要的是,理解这个过程让你快速地做粗略的心理数学:知道256÷7~36可以帮助你在拿到计算器之前估计答案.
如果分红小于除法则会发生什么?
如果分红小于除法数 (例如,3 ÷ 7),分数为0,余数等于分红: 3 ÷ 7 = 0 余数 3. 作为小数: 3 ÷ 7 = 0.4285714...你可以验证: 0 x 7 + 3 = 3.
模块运算与长除法有什么关系?
模块 (或模块) 操作仅仅是整数除法中的余数: 17 mod 5 = 2 (与 17 ÷ 5 的余数相同).模块在编程 (大多数语言中的% 运算符),密码学,日历计算和时钟算术中是基本的.长除法是计算完全相同的手动方法.
计算中的除法算法
学生在学校学习的长除法算法在计算机处理器和编程语言中直接实现 (以优化的形式).理解该算法可以了解现代硬件如何工作:
- 编程中的整数除法:在大多数语言中,
/在整数上的运算符执行截断除法 (与长除数相同),%运算符返回剩余值 (modulo). 在 Python 中:256 // 7 = 36以及256 % 7 = 4. - 硬件部门:处理器使用恢复分割,非恢复分割或SRT (斯威尼·罗伯逊·托切尔) 算法来实现分割 - - 所有都是二进制的长分割的变化.一个典型的整数分割指令在现代处理器上需要20 - 90个时钟周期,使其成为最昂贵的算术运算之一.
- 浮点划分:在计算机中使用IEEE 754浮点算法进行十进制数的除法 - - 长除法的二进制版本,具有固定数量的显著位 (23位为float32,52位为float64).
- 模块化算法:从长除法 (模块运算) 的余数是哈希函数,密码算法,检查和验证 (信用卡卢恩算法) 和日历计算的基础.
时钟算法示例:周中的哪一天是从星期二 (第2天,周日=0) 开始的100天? (2 + 100) mod 7 = 102 mod 7.长除法:102 ÷ 7 = 14 余 4.所以第4天 = 星期四.这是相同的长除法算法 - 应用于循环 (模块) 数学.
分区表:1至12参考
这个乘法除法参考表涵盖1 - 12 x 1 - 12. 使用它在手动计算中快速验证长除法系数.每个单元格显示a ÷ b (其中a是行标题乘以列标题).
| × | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| 2 | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 | 14 | 16 | 18 | 20 | 22 | 24 |
| 3 | 3 | 6 | 9 | 12 | 15 | 18 | 21 | 24 | 27 | 30 | 33 | 36 |
| 4 | 4 | 8 | 12 | 16 | 20 | 24 | 28 | 32 | 36 | 40 | 44 | 48 |
| 5 | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 | 35 | 40 | 45 | 50 | 55 | 60 |
| 6 | 6 | 12 | 18 | 24 | 30 | 36 | 42 | 48 | 54 | 60 | 66 | 72 |
| 7 | 7 | 14 | 21 | 28 | 35 | 42 | 49 | 56 | 63 | 70 | 77 | 84 |
| 8 | 8 | 16 | 24 | 32 | 40 | 48 | 56 | 64 | 72 | 80 | 88 | 96 |
| 9 | 9 | 18 | 27 | 36 | 45 | 54 | 63 | 72 | 81 | 90 | 99 | 一百八 |
| 10 | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 | 70 | 80 | 90 | 一百个 | 一百一十 | 一百二十 |
| 11 | 11 | 22 | 33 | 44 | 55 | 66 | 77 | 88 | 99 | 一百一十 | 一百二十一 | 一百二十三 |
| 12 | 12 | 24 | 36 | 48 | 60 | 72 | 84 | 96 | 一百八 | 一百二十 | 一百二十三 | 美国 |
用这个表来进行长除法:当除以7时,扫描"7"行以找到适合当前部分分红的最大乘积.如果除以47时,看看第7行:7x6=42,7x7=49--所以6和余数47-42=5.这正是长除法中的"估计"步骤.乘法表是驱动长除法的引擎.
在计算之前估计除法结果
强大的估计技巧减少了长除法中重大错误的可能性.在开始一个问题之前,使用10的权力和 圆来估计分数的大小.这给你一个"理智检查"来捕捉错误.
- 圆到最接近的10的权力:这告诉你分数应该是几百个 - - 一个两到三位数的数字. 如果你的计算分数是1982或18,有点错了.
- 使用基准分数:分25等于乘以4并除以100. 分50等于乘以2并除以100. 分125等于乘以8并除以1000. 例如: 750 ÷ 25 = (750 x 4) / 100 = 3000/100 = 30
- 分数的因数:如果分数有方便的因数,则分成步骤. 756 ÷ 28:首先除以4 (756 ÷ 4 = 189),然后除以7 (189 ÷ 7 = 27). 这通常需要比直接处理28更小的头脑计算.
- 分数的近似第一个数字:分数的第一个数字总是 (分红的第一个数字) / 分数.对于3,456 ÷ 8: 3,456的第一个数字是3; 3 ÷ 8 = 0,所以看看34 ÷ 8 = 4. 分数从4xx开始.
在计算之前练习估计:它建立了数感,是心理数学的基础.专业的数学家和工程师在计算之前进行估计,而不是之后 - - 首先得到正确的数量顺序可以防止最昂贵的错误 (10或100的错误).一个有用的自我检查:在完成长的除法后,乘以你的分数乘以分数并加上余数.如果你得到了原来的分数,你的计算是正确的.这种乘法可以作为快速验证,并加强乘法和除法之间的反向关系 - - 深刻地理解一个运算使另一个运算更直观.