Etäisyyslaskuri (kaksi pistettä)
Laske etäisyys kahden pisteen välillä käyttäen etäisyyskaavaa √((x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²).
Mikä on etäisyyskaava?
Kahden pisteen välinen etäisyys 2D-tasolla lasketaan etäisyyskaavalla: d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²). Tämä kaava on suora sovellus Pythagoraan lauseesta – pisteiden välinen vaaka- ja pystysuora etäisyys muodostavat suorakulmaisen kolmion kateetit, ja etäisyys on hypotenuusa.
Kahden pisteen (x₁, y₁) ja (x₂, y₂) välisen etäisyyden laskemiseksi lasketaan ero x-koordinaateissa (Δx = x₂ − x₁) ja ero y-koordinaateissa (Δy = y₂ − y₁). Korotetaan molemmat erot toiseen potenssiin, lasketaan yhteen ja otetaan neliöjuuri.
Esimerkkejä vaihe vaiheelta
Esimerkki 1 – Pythagoraan kolmikko: Etäisyys (1, 2) ja (4, 6) välillä.
- Δx = 4 − 1 = 3
- Δy = 6 − 2 = 4
- d = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5
Esimerkki 2 – Negatiiviset koordinaatit: Etäisyys (−3, −4) ja (2, 8) välillä.
- Δx = 2 − (−3) = 5
- Δy = 8 − (−4) = 12
- d = √(25 + 144) = √169 = 13
| Piste A | Piste B | Δx | Δy | Etäisyys |
|---|---|---|---|---|
| (0, 0) | (3, 4) | 3 | 4 | 5 (tarkka) |
| (0, 0) | (5, 12) | 5 | 12 | 13 (tarkka) |
| (−2, 3) | (4, −5) | 6 | −8 | 10 (tarkka) |
| (1, 2) | (3, 7) | 2 | 5 | √29 ≈ 5,385 |
Etäisyyskaava ja Pythagoraan lause
Etäisyyskaava ei ole erillinen matemaattinen laki – se on suora seuraus Pythagoraan lauseesta (a² + b² = c²), jonka Descartes laajensi koordinaattigeometriaan 1600-luvulla.
Aseta kaksi pistettä karteesiselle tasolle. Piirrä vaakaviiva pisteestä (x₁,y₁) pisteeseen (x₂,y₁) ja pystyviiva pisteestä (x₂,y₁) pisteeseen (x₂,y₂). Nämä kaksi viivaa ja alkuperäinen jana muodostavat suorakulmaisen kolmion, jossa katetit ovat |x₂−x₁| ja |y₂−y₁|, ja hypotenuusa on d.
💡 Tiesitkö?
- 3-4-5 on kuuluisin Pythagoraan kolmikko – kolme kokonaislukua, jotka toteuttavat a² + b² = c².
- Klassinen Pythagoraan lause oli tunnettu babylonialaisille ja intialaisille matemaatikoille kauan ennen Pythagorasta itse.
- "Manhattan-etäisyys" (|Δx| + |Δy|) mittaa katuverkon varrella kuljettua etäisyyttä – kuten New York Cityn kortteliruudukossa.
Usein kysytyt kysymykset
Mikä on etäisyyskaava?
d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²). Se laskee suoran ("linnuntie") etäisyyden kahden pisteen välillä 2D-tasolla. Se johdetaan Pythagoraan lauseesta.
Kuinka lasken kahden pisteen välisen etäisyyden?
Laske Δx = x₂ − x₁ ja Δy = y₂ − y₁. Sitten d = √(Δx² + Δy²). Korotetaan erot toiseen potenssiin ennen yhteenlaskua – tavallinen virhe on unohtaa neliöinti.
Voivatko koordinaatit olla negatiivisia?
Kyllä. Etäisyyskaava toimii oikein riippumatta siitä, missä neljänneksessä pisteet sijaitsevat. Korotus toiseen potenssiin tekee negatiiviset erot positiivisiksi.
Mikä on ero Eukleidisen ja Manhattan-etäisyyden välillä?
Eukleidinen etäisyys = suora viiva, √(Δx² + Δy²). Manhattan-etäisyys = vaaka + pystyetäisyys, |Δx| + |Δy|. Eukleidinen on aina ≤ Manhattan. Käytä Eukleidista geometriaan ja fysiikkaan; Manhattania katuverkko- tai ruudukko-pohjaisiin ongelmiin.