Pythagoran lauseen laskin

Pythagoran väite selitetty

Pitagorin lause sanoo, että missä tahansa suorakulmion kolmiossa hypotenuksen pituuden neliö (oikean kulman vastakkainen puoli) on yhtä suuri kuin kahden muun puolen neliöiden summa:a2 + b2 = c2Tässä.con aina hypotenuusi -- oikeanpuoleisen kolmion pisin puoli -- kunajabovat kaksi jalkaa.

Esimerkki: tikkaat nojaavat seinää vasten, ja niiden korkeus on 12 jalkaa, ja niiden pohja on 5 jalkaa seinästä. Tikkaiden pituus on c = √52( + 122) = √(25 + 144) = √169 = 13 jalkaa.

Tämä teoreema, joka on tunnettu yli 4000 vuotta, on yksi yleisimmistä sovellettavista tuloksista kaikessa matematiikassa. Se yhdistää algebran ja geometrian, mahdollistaa etäisyyden laskemisen monissa ulottuvuuksissa ja esiintyy fysiikassa, tekniikassa, tietokonegrafiikassa ja navigoinnissa.

Pitagorin kolminkertaisuus: kokonaislukujen ratkaisut

A Pythagorean kolmikkoon joukko kolmea positiivista kokonaislukuja (a, b, c), jotka täyttävät a2 + b2 = c2. Kuuluisin on (3, 4, 5): 9 + 16 = 25. Mikä tahansa kolminkertainen on myös kolminkertainen: (6, 8, 10), (9, 12, 15) jne.

Euklideksen kaavasynnyttää kaikki alkukantaiset Pythagorean kolmikko: kokonaislukujen m > n > 0 kohdalla, joissa m ja n ovat yhtä suuria eivätkä molemmat ole parittomia: a = m2 - n2, b = 2mn, c = m2 + n2. m=2, n=1: a=3, b=4, c=5. m=3, n=2: a=5, b=12, c=13. Tämä kaava todistaa, että Pythagorean kolmikko on äärettömän paljon.

Pythagoran lauseen todisteet

Pitagoran lauseella on yli 370 dokumentoitua todistusta - enemmän kuin millään muulla lauseella matematiikassa.

Uudelleenjärjestelyn todiste:Piirrä neliö, jossa on sivu (a+b). Sisäpuolella järjestä neljä yhdenmukaista suorakulmiota (jokaisella on jalat a ja b ja hypotenuusi c) pienemmäksi kallistuneeksi neliöksi. Suuren neliön pinta-ala on (a+b) 2. Neljän kolmion kokonaispinta-ala on 4 x (ab/2) = 2ab. Sisäisen neliön pinta-ala on c2. Joten (a+b) 2 = 2ab + c2 -> a2 + 2ab + b2 = 2ab + c2 -> a2 + b2 = c2.

Samanlaiset kolmiot todistavat:Oikeakulmaisessa kolmiossa ABC, jossa C on oikea kulma, piirretään korkeus C:stä hypotenukseen AB, jolloin syntyy kaksi pienempää kolmiota. Jokainen pienempi kolmio on samanlainen kuin alkuperäinen. Samankaltaisista suhteista AC2 = AB x AD ja BC2 = AB x DB. Lisätään: AC2 + BC2 = AB ((AD + DB) = AB x AB = AB2. Siksi a2 + b2 = c2.

Presidentti Garfield's Trapezoid Proof (1876):Järjestetään kaksi yhdenmukaista suorakaistaistaista kolmiota (jalkat a, b) trapeesiin kolmannen kolmion kanssa. Trapeesin pinta-ala = 1⁄2 ((a+b) ((a+b) = 1⁄2 ((a+b) 2). Kolmen kolmion pinta-alojen summa = 1⁄2ab + 1⁄2ab + 1⁄2c2 = ab + 1⁄2c2. Asettaminen on yhtä kuin: 1⁄2 ((a+b) 2 = ab + 1⁄2c2 -> a2 + b2 = c2.

Einsteinin poikuuden todiste:Nuori Einstein käytti edellä mainittua samankaltaisuuden todistusta, ja hänen kerrotaan löytäneen sen itsenäisesti noin 12-vuotiaana. Hän mainitsi myöhemmin tämän kokemuksen olleen ratkaiseva hänen matemaattisen intuitionsa kehittämisessä.

Käytännölliset sovellukset rakentamisessa ja insinööritoiminnassa

3-4-5 neliön tarkistus:Rakennustyöntekijät käyttävät 3-4-5-sääntöä jatkuvasti tarkistaakseen oikeat kulmat. Mittaa 3 jalkaa pitkin yhtä seinää kulmasta, 4 jalkaa pitkin vierekkäistä seinää, ja poikkileikkauksen tulisi olla täsmälleen 5 jalkaa. Jos ei, kulma ei ole neliö. Tämä toimii minkä tahansa moninkertaisen kanssa: 6-8-10, 9-12-15, jne. Puusepät käyttävät tätä sääntöä perustusten asettamisessa, kannen asennuksessa ja seinien kehyksessä.

Laskennat:Jos koko nousu ( pystysuora korkeus) on 8 jalkaa ja koko juoksu (horisontaalinen etäisyys) on 12 jalkaa, soitin pituus on √(82 + 122) = √(64 + 144) = √208 ~ 14.4 jalkaa.

Diagonaalivahvistus:Rakenteelliset insinöörit käyttävät teoreemiä laskeakseen rungon ja rakenteiden poikkileikkausten pituuden. Nelinkertainen runko, jonka leveys on 8 m ja korkeus 6 m, tarvitsee poikkileikkaukset, joiden pituus on √(82 + 62) = √(64 + 36) = √100 = 10m - klassinen 3-4-5 kolminkertainen skaalaus 2.

GPS ja navigointi:GPS laskee suoraviivaiset etäisyydet teoreman laajennetun muodon avulla. Etäisyys kolmiulotteisessa avaruudessa: d = √((x2-x1)2 + (y2-y1)2 + (z2-z1)2).

Pythagoran lause fysiikassa ja tieteessä

Vektorin lisäys:Kun kaksi kohtisuorassa olevaa voimaa vaikuttaa esineeseen, tuloksena oleva suurus määritetään teoreemalla. Laivan, joka liikkuu itään 8 m/s nopeudella 6 m/s nopeudella pohjoiseen virtaavassa virrassa, tuloksena oleva nopeus on √(82 + 62) = √100 = 10 m/s arktan kulmassa ((6/8) ~ 36,9 astetta itäpuolella.

Erityisrelatiivisuustiede:Einsteinin aika-avaruusvälillä käytetään muokattua Pythagorean kaltaista kaavaa: Δs2 = (cΔt) 2 - Δx2 - Δy2 - Δz2 (miinusmerkin sijasta plus aikaa). Tämä aika-avaruusväli on invariantti - kaikki tarkkailijat ovat samaa mieltä siitä huolimatta siitä, että he ovat eri mieltä yksittäisistä aika-avaruuden mittauksista.

Trigonometrian säätiö:Yksikköympyrän määritelmä sinuksesta ja kosinuksesta perustuu suoraan Pythagoren lauseeseen. Jokaiselle kulmalle θ: sin2(θ) + cos2(θ) = 1. Tämä perustavanlaatuinen identiteetti - jota usein kutsutaan Pythagoren identiteetiksi - on kaikkien trigonometrian ja lukemattomien fysiikan kaavojen perusta, joihin kuuluvat värähtelyt, aallot ja pyöräytykset.

Kvanttimekaniikka:Pitagoran lause ulottuu kvanttimekaniikan monimutkaisiin vektoriruumiin. Kvanttitietojen todennäköisyysamplituudet täyttävät yleistetyn normiedellytyksen, joka vastaa a2 + b2 = c2 Hilbertin tilassa. Lauseen ydin - että "pituus neliö" hajoaa komponentti neliöihin - valtaa kvanttiteorian koko matemaattisen rakenteen.

Etäisyyden kaava ja koordinaattigeometria

Seuraavaetäisyys kaava2D-koordinaattigeometriassa on Pythagoran lauseen suora sovellus. Pisteiden (x1, y1) ja (x2, y2) välinen etäisyys on d = √((x2-x1) 2 + (y2-y1) 2). Tämä johtuu siitä, että vaakasuorat ja pystysuorat erot (x2-x1) ja (y2-y1) muodostavat suorakaiteen kolmion jalat, joiden hypotenusa on d.

Tämä ulottuu luonnollisesti kolmeen ulottuvuuteen: d = √((x2-x1) 2 + (y2-y1) 2 + (z2-z1) 2) ja n ulottuvuuteen: d = √(Σi(xi-yi) 2).

• K-lähimmät naapurit:Löytää k lähimmän tietopisteen euklidisen etäisyyden mukaan.
• K-yhdistelmä tarkoittaa ryhmittymistä:Määrittää jokaisen tietopisteen lähimmälle klusterikeskukselle.
• Tietokoneen näkeminen:Pixelitason etäisyysmittarit kuvavertailua varten.
• GPS-reititys:Arvioi tiepisteiden väliset etäisyydet suoraviivaisesti.

Historiallinen tausta ja babylonialaiset alkuperät

Pythagoran lause on peräisin yli vuosituhannen aikaisemmin kuin samolainen Pythagoras (noin 570 - 495 eaa.).Plimpton 322(noin 1800 eaa.) luettelee 15 Pythagorean kolmikkoa huikealla numerologisella tarkkuudella, mukaan lukien suuret kolmikot kuten (119, 120, 169) ja (4601, 4800, 6649). Tämä osoittaa, että babylonialaiset eivät vain tienneet lauseen, vaan käyttivät järjestelmällisiä menetelmiä kolmikkojen tuottamiseen.

Muinaiset egyptiläiset köysirengastimet (harpedonaptai) käyttivät köysiä, joissa oli solmuja 3-4-5-asennossa, luodakseen suorakulmia rakentamiseen. Tämä tekniikka on saattanut olla käytetty pyramidien rakentamisessa, vaikka suorat todisteet ovat rajalliset.

Muinaisessa IntiassaSulbasutrat(c. 800 - 200 eaa.) sisältävät selkeitä lausuntoja teoreemasta sekä menetelmiä oikean kulman rakentamiseksi rituaalialttarin rakentamiseen. Lausunto "oikeakkoisen poikkileikkaus tuottaa yhtä paljon kuin sen puoli ja toinen puoli yhdessä" ilmaisee suoraan a2 + b2 = c2.

Tästä historiasta huolimatta Pythagorasille (tai hänen koululleen) myönnetään ensimmäinen tiukkatodistusTämä ero tuloksen tuntemisen ja sen todistamisen välillä on matematiikan määrittelevä ominaisuus.

Trigonometria ja yksikköympyrä

Pythagoran lause on trigonometrian suora perusta. Yksikköpiirin (säde = 1) jokaisella pisteellä on koordinaatit (cos θ, sin θ) jossa θ on kulma positiivisesta x-akselista. Koska tämä piste on etäisyydellä 1 alkuperästä: cos2θ + sin2θ = 12. Tämä on perustava Pythagoran identiteetti.

Sin2θ + cos2θ = 1, jaettuna cos2θ:llä saadaan tan2θ + 1 = sec2θ ja sin2θ:llä saadaan 1 + cot2θ = csc2θ. Näitä kolmea identiteettiä (jota yhdessä kutsutaan Pythagorean trigonometrisiksi identiteetteiksi) käytetään jatkuvasti laskennassa, fysiikassa ja tekniikassa ilmaisujen yksinkertaistamiseksi ja yhtälöiden ratkaisemiseksi.

Käänteiset trigonometriset toiminnot (arcsin, arccos, arctan) antavat meille mahdollisuuden löytää kulmat sivuyhdistelmistä. Oikeakulmaisessa kolmiossa, jossa on jalat 3 ja 4: tan θ = 3/4, joten θ = arctan(3/4) ~ 36,87 astetta. Kulma toisessa jalassa: 90 astetta - 36,87 astetta = 53,13 astetta. Nämä laskelmat ovat välttämättömiä kallistusten, ramppien kulmien, laakereiden suunnittelun ja robotiikan yhteisten kulmien määrittämiseksi.

Erityiset suorakulmiot: 45-45-90 ja 30-60-90

Geometriassa, trigonometriassa ja arkkitehtuurissa esiintyy jatkuvasti kaksi erityistä suorakulmiota, joiden sivuyhdistelmät ovat kiinteitä ja jotka tulisi muistaa nopeutta varten kokeissa ja käytännön sovelluksissa.

45-45-90 kolmioTämä kolmio ilmestyy, kun leikkaat neliön poikkiviivaan. Neljän metrin neliöhuoneen poikkiviiva on 4√2 ~ 5.657m. 45 asteen kulma on yleisin "poikkiviivainen leikkaus" -kulma puuseppästyössä ja suunnittelussa.

30-60-90 kolmio: sivut ovat suhteessa 1: √3: 2. Lyhyt jalka on 30 asteen kulman vastakkainen, pitkä jalka on 60 asteen vastakkainen, hypotenusa on 90 asteen vastakkainen. Jos lyhyt jalka = 1: pitkä jalka = √3 ~ 1.732, hypotenusa = 2. Tämä kolmio esiintyy puoliksi leikattuina tasapuolisina kolmioina ja kuusikulmaisissa rakenteissa (mehiläispesät, hiili nanoputket, kaupunkiverkko suunnittelu).

Näiden erityisten kolmioiden tunnistaminen säästää välittömästi suunnattoman paljon laskentaaikaa. Kun näet 45 asteen kulman suorakulmion kolmiossa, tiedät, että jalat ovat samat ja hypotenuksen = jalka√2. Kun näet 60 asteen kulman, tiedät, että sivut noudattavat 1:√3:2 -suhdetta. Näitä oikoteitä käytetään jatkuvasti geometrian todistuksissa, trigonometrian ongelmissa ja käytännön rakentamisessa.

Käyttämällä tätä Pythagoran väitteen laskinta

Kirjoita suorakaiteen kolmion kaksi tunnettua sivun pituutta. Jos kirjoitat molemmat jalat (a ja b), laskin laskee hypotenuksen c = √(a2+b2). Sivujen on oltava positiivisia numeroita. Tuloksessa on tarkka arvo ja desimaalien lähestymistapa. Koulutuskäyttöön, tarkista manuaalisesti: neliö molempia syöttöjä, lisää, ota neliöjuuri. Yleiset virheet sisältävät hypotenuksen kirjoittamisen jalaksi - muista, että c on aina pisin puoli (oikean kulman vastakohta). Tämä laskin hyväksyy myös desimaali- ja murto-syöttöjä, mikä tekee siitä sopivan tarkkaan insinöörilaskelmiin sekä luokkahuoneen harjoituksiin ja kotiläksytyksiin geometrian ja trigonometrian kursseissa.