행렬 계산기 – 행렬식, 역행렬 등

행렬 연산: 덧셈과 뺄셈

행렬은 행과 열로 구성된 직사각형의 숫자 배열입니다. m×n 행렬은 m행과 n열을 가지고 있습니다.

덧셈과 뺄셈은 동일한 크기의 행렬이 필요합니다. 해당 요소를 더하거나 뺍니다:

만약 A = [[1, 2], [3, 4]]와 B = [[5, 6], [7, 8]]라면:

• A + B = [[1+5, 2+6], [3+7, 4+8]] = [[6, 8], [10, 12]]
• A − B = [[1−5, 2−6], [3−7, 4−8]] = [[−4, −4], [−4, −4]]

행렬 덧셈은 교환법칙을 따릅니다 (A + B = B + A) 및 연관법칙 ((A + B) + C = A + (B + C)).

행렬 곱셈

행렬 곱셈은 요소별 연산보다 복잡합니다. A (m×n)과 B (n×p)를 곱하려면 내부 차원 (n)이 일치해야 하며, 결과 행렬 C (m×p)를 생성합니다.

각 요소 C[i][j] = A[i][k] × B[k][j]의 합입니다.

예: A = [[1, 2], [3, 4]] (2×2) × B = [[5, 6], [7, 8]] (2×2):

• C[0][0] = 1×5 + 2×7 = 19
• C[0][1] = 1×6 + 2×8 = 22
• C[1][0] = 3×5 + 4×7 = 43
• C[1][1] = 3×6 + 4×8 = 50

결과: C = [[19, 22], [43, 50]]

중요한 속성: 행렬 곱셈은 일반적으로 비대칭적이므로 A×B ≠ B×A입니다. 그러나 연관법칙은 성립합니다: (A×B)×C = A×(B×C).

2×2 행렬의 행렬식과 역행렬

2×2 행렬 A = [[a, b], [c, d]]의 행렬식은:

det(A) = ad − bc

행렬식은 행렬이 역행렬을 가지는지 여부를 나타내고 변환의 스케일링 인자로 나타납니다.

2×2 행렬의 역행렬 (det ≠ 0일 때만 존재):

A⁻¹ = (1/det) × [[d, −b], [−c, a]]

예: A = [[1, 2], [3, 4]]

det = 1×4 − 2×3 = 4 − 6 = −2

A⁻¹ = (1/−2) × [[4, −2], [−3, 1]] = [[−2, 1], [1.5, −0.5]]

검증: A × A⁻¹ = Identity 행렬 [[1,0],[0,1]]

행렬의 실제 응용

행렬은 많은 실제 응용에 근본이 됩니다:

• 컴퓨터 그래픽스 및 게임 개발: 모든 3D 회전, 확대 및 이동은 행렬 곱셈입니다. 4×4 변환 행렬은 모든 세 가지 연산을 동시에 처리합니다.
• 머신 러닝: 신경망 가중치, 입력 데이터 및 활성화는 모두 행렬입니다. 신경망을 학습하는 것은 결국 수백만 개의 행렬 곱셈을 수행하는 것입니다.
• 경제학 (입력-출력 분석): 레온티프 입력-출력 모델은 행렬을 사용하여 경제 부문 간의 의존성을 모델링합니다.
• 물리학: 양자 역학은 관측 가능한 양을 나타내는 행렬 (운영자) 을 사용합니다. 공학에서 응력 및 변형 텐서는 행렬 양입니다.
• 통계학: 공변성 행렬, 주성분 분석 (PCA), 회귀 계산은 모두 행렬 연산에 의존합니다.

3×3 행렬의 행렬식과 요인 확장

3×3 행렬의 경우, 행렬식은 요인 확장 (또는 라플라스 확장) 을 사용하여 계산됩니다. 주어진:

행렬식은:

det = a(ei − fh) − b(di − fg) + c(dh − eg)

작업 예: A = [[2, 1, 3], [0, −1, 2], [4, 0, 1]]

• det = 2(−1×1 − 2×0) − 1(0×1 − 2×4) + 3(0×0 − (−1)×4)
• det = 2(−1 − 0) − 1(0 − 8) + 3(0 + 4)
• det = 2(−1) − 1(−8) + 3(4)
• det = −2 + 8 + 12 = 18

더 큰 행렬 (4×4, 5×5 등) 에서 요인 확장 방법은 계산적으로 비용이 많이 듭니다 (n! 연산). 실제로 컴퓨터는 LU 분해 또는 행 단순화를 사용하여 O(n³) 시간에 행렬식을 계산합니다.