거리 공식 계산기

거리 공식의 유도

거리 공식은 두 점 (x₁,y₁)과 (x₂,y₂) 사이의 직선(유클리드) 거리를 계산합니다: d = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²). 이 공식은 임의의 규칙이 아니라 좌표 기하학에 적용된 피타고라스 정리의 직접적인 결과입니다.

두 점을 직교 평면에 놓고 (x₁,y₁)에서 (x₂,y₁)까지 수평선, (x₂,y₁)에서 (x₂,y₂)까지 수직선을 그립니다. 이 두 선과 원래 선분이 P₃(x₂, y₁)에서 직각을 이루는 직각삼각형을 형성합니다. 피타고라스 정리에 의해 d² = (x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²이므로 d = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²)입니다.

예시: (1,2)에서 (4,6)까지의 거리. Δx = 3, Δy = 4. d = √(3² + 4²) = √(9+16) = √25 = 5.

거리 공식을 사용한 단계별 풀이

이 계산기는 완전한 단계별 분석을 제공합니다. 임의의 두 점에 대한 계산 방법:

1. Δx 계산: Δx = x₂ − x₁ (수평 차이)
2. Δy 계산: Δy = y₂ − y₁ (수직 차이)
3. 각각 제곱: Δx² = (x₂−x₁)², Δy² = (y₂−y₁)²
4. 제곱합: Δx² + Δy²
5. 제곱근: d = √(Δx² + Δy²)

흔한 실수: d = √(Δx + Δy)가 아니라 반드시 d = √(Δx² + Δy²)여야 합니다. 차이를 더하기 전에 반드시 제곱해야 합니다.

좌표 평면에서의 거리 공식

직교 좌표 평면에서 특수한 경우:

• 두 점 모두 x축 위 (y₁ = y₂ = 0): d = |x₂ − x₁|. 순수 수평 거리.
• 두 점 모두 y축 위 (x₁ = x₂ = 0): d = |y₂ − y₁|. 순수 수직 거리.
• 한 점이 원점 (0,0): d = √(x₂² + y₂²). 위치 벡터의 크기.
• 45° 대각선의 점: Δx = Δy이면 d = |Δx| × √2 ≈ |Δx| × 1.414.

고차원 거리 공식

2D 거리 공식은 3차원으로 자연스럽게 확장됩니다: d = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)² + (z₂−z₁)²). 머신러닝과 데이터 과학에서 데이터 포인트는 고차원 공간의 벡터로 표현됩니다: d = √(Σᵢ(xᵢ₂−xᵢ₁)²). 이것은 k-최근접 이웃, k-평균 군집화, 차원 축소 알고리즘의 기반입니다.

동반 공식: 중점, 기울기, 분점

중점 공식: M = ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2). 선분을 균등하게 이등분합니다.

기울기 공식: m = (y₂−y₁)/(x₂−x₁) = Δy/Δx. 기울기는 선의 경사와 방향을 나타냅니다.

분점 공식: P₁P₂ 선분을 m:n으로 나누는 점: ((mx₂+nx₁)/(m+n), (my₂+ny₁)/(m+n)).