Калькулятор матриць – Визначник, Обернена та більше

Оперування зі матрицями: додавання та віднімання

Матриця — це прямокутна масив чисел, розміщених у рядки та стовпці. Має m рядків та n стовпців.

Додавання та віднімання вимагають матриць однакових розмірів. Додайте або відніміть відповідні елементи:

Якщо A = [[1, 2], [3, 4]] та B = [[5, 6], [7, 8]], тоді:

• A + B = [[1+5, 2+6], [3+7, 4+8]] = [[6, 8], [10, 12]]
• A − B = [[1−5, 2−6], [3−7, 4−8]] = [[−4, −4], [−4, −4]]

Додавання матриць комутативне (A + B = B + A) та асоціативне ((A + B) + C = A + (B + C)).

Множення матриць

Множення матриць складніше, ніж елементарні операції. Для того, щоб помножити A (m×n) на B (n×p), внутрішні розміри повинні збігатися (n), що створює результатову матрицю C (m×p).

Кожен елемент C[i][j] = сума A[i][k] × B[k][j] для всіх k.

Приклад: A = [[1, 2], [3, 4]] (2×2) × B = [[5, 6], [7, 8]] (2×2):

• C[0][0] = 1×5 + 2×7 = 19
• C[0][1] = 1×6 + 2×8 = 22
• C[1][0] = 3×5 + 4×7 = 43
• C[1][1] = 3×6 + 4×8 = 50

Результат: C = [[19, 22], [43, 50]]

Ключова властивість: Множення матриць не комутативне — A×B ≠ B×A загалом. Однак воно є асоціативним: (A×B)×C = A×(B×C).

Детермінант та інверсна матриця 2×2

Детермінант матриці 2×2 A = [[a, b], [c, d]] такий:

det(A) = ad − bc

Детермінант вказує, чи є матриця інвертованою (det ≠ 0) та представляє чинник масштабування перетворення.

Інверсна матриця 2×2 (існує лише якщо det ≠ 0):

A⁻¹ = (1/det) × [[d, −b], [−c, a]]

Приклад: A = [[1, 2], [3, 4]]
det = 1×4 − 2×3 = 4 − 6 = −2
A⁻¹ = (1/−2) × [[4, −2], [−3, 1]] = [[−2, 1], [1.5, −0.5]]

Перевірте: A × A⁻¹ = Матриця одиниці [[1,0],[0,1]]

Практичні застосування матриць

Матриці є фундаментальним для багатьох реальних застосувань:

• Комп'ютерна графіка та розробка ігор: кожна 3D-обертання, масштабування та зміщення є матричним множенням. 4×4-матриця перетворення виконує всі три операції одночасно.
• Машинне навчання: ваги нейронної мережі, дані вхідні дані та активації — усі матриці. Навчання нейронної мережі полягає у виконанні мільйонів матричних множень.
• Економіка (аналіз взаємодії): модель Левонтієва використовує матриці для моделювання взаємодій між економічними секторами.
• Фізика: квантова механіка використовує матриці (оператори) для представлення спостережуваних величин. Тензори напруження та деформацій у інженерії є матричними величинами.
• Статистика: матриці кореляції, головні компоненти (PCA), розрахунки регресії залежать від операцій зі матрицями.

Детермінант та розширення коефіцієнтів 3×3 матриці

Для 3×3 матриці детермінант обчислюється за допомогою розширення коефіцієнтів (також називається розширенням Лапласа). Дані:

Детермінант такий:

det = a(ei − fh) − b(di − fg) + c(dh − eg)

Приклад роботи: Допустимо A = [[2, 1, 3], [0, −1, 2], [4, 0, 1]]

• det = 2(−1×1 − 2×0) − 1(0×1 − 2×4) + 3(0×0 − (−1)×4)
• det = 2(−1 − 0) − 1(0 − 8) + 3(0 + 4)
• det = 2(−1) − 1(−8) + 3(4)
• det = −2 + 8 + 12 = 18

Для більших матриць (4×4, 5×5 тощо) метод розширення коефіцієнтів стає обчислювально витратним (n! операцій). На практиці комп'ютери використовують розкладання LU або відведення рядків для обчислення детермінантів за часом O(n³).