Двійковий калькулятор

Система двійкових чисел: як комп'ютери рахують

Система двійкових чисел (базовий 2) використовує лише дві цифри — 0 і 1 — називаються бітом (бінарним цифрою). Усі комп'ютери, смартфони та цифрові пристрої внутрішньо зберігають та обробляють усі дані у вигляді двійкових, оскільки електричні кола можуть надійно представляти дві різні станів: високий напругу (1) та низьку напругу (0).

Кожна позиція у двійковому числі представляє потужність 2, зростаючу з правого боку:

Перехід з двійкового до десяткового: Умножте кожен бітом його місце значення та підсумовуйте всі результати.

Наприклад: 10110101₂ = 1×128 + 0×64 + 1×32 + 1×16 + 0×8 + 1×4 + 0×2 + 1×1 = 128 + 32 + 16 + 4 + 1 = 181

Перехід з десяткового до двійкового: Періодично ділимо на 2, записуючи залишок на кожному етапі, потім читаємо залишки знизу вгору.

Наприклад: Переведіть 181 у двійковий:

• 181 ÷ 2 = 90 залишок 1
• 90 ÷ 2 = 45 залишок 0
• 45 ÷ 2 = 22 залишок 1
• 22 ÷ 2 = 11 залишок 0
• 11 ÷ 2 = 5 залишок 1
• 5 ÷ 2 = 2 залишок 1
• 2 ÷ 2 = 1 залишок 0
• 1 ÷ 2 = 0 залишок 1

Читайте залишки знизу вгору: 10110101₂ ✓

Двійкова арифметика: додавання, віднімання та множення

Двійкова арифметика дотримується тих же правил, що й десяткова, але переноси відбуваються при 2 замість 10.

Правила двійкового додавання: 0+0=0, 0+1=1, 1+0=1, 1+1=10 (перенос 1), 1+1+1=11 (перенос 1)

Наприклад: 1011₂ + 1101₂ (11 + 13 = 24)

  1011
+ 1101
------
 11000

Робота зліва направо: 1+1=10 (запишіть 0, перенесіть 1); 1+0+1=10 (запишіть 0, перенесіть 1); 0+1+1=10 (запишіть 0, перенесіть 1); 1+1+1=11 (запишіть 1, перенесіть 1); кінцевий перенос записує 1. Результат: 11000₂ = 24 ✓

Дві комплементи (двійкове віднімання): Комп'ютери обробляють від'ємні числа та віднімання за допомогою двійкової представлення комплемента. Для знаходження двійкового комплемента числа: переверніть усі біти, потім додайте 1.

Наприклад: -13 у 8-бітному двійковому комплементі: +13 = 00001101₂ → переверніть усі біти → 11110010₂ → додайте 1 → 11110011₂

Це дозволяє виконувати віднімання як додавання: 20 - 13 = 20 + (-13).

Двійкове множення є елегантним: кожен частковий продукт або 0 (множення на 0) або саме число (множення на 1), зміщене вліво. Наприклад: 1011₂ × 101₂ (11 × 5 = 55):

    1011
  ×  101
  -----
    1011    (1011 × 1)
   0000     (1011 × 0, зміщено)
  1011      (1011 × 1, зміщено двічі)
  -------
  110111₂ = 55 ✓

Двійкові дані у комп'ютерах: біти, байти та розміри даних

Зрозуміння двійкових одиниць є необхідним для будь-якої роботи з комп'ютерами, зберіганням або швидкостями мережі:

Кольорові значення: Веб-кари використовують 24-бітовий RGB (8 біта на канал). #FF5733 = R:255, G:87, B:51. Кожен 8-бітовий канал може представляти 256 відтінків (0–255). Всього можливих кольорів: 256³ = 16 777 216 (приблизно 16,7 мільйона).

Правила доступу до файлів в Unix/Linux: rwxr-xr-- = 111 101 100 у біні = 7, 5, 4 у окталі = chmod 754. Кожна група з трьох біта представляє можливість читання (r=4), запису (w=2) та виконання (x=1) для власника, групи та інших.

Бітові операції та їх застосування

Бітові операції змінюють окремі біти в цілих числах. Вони є фундаментальними для низькоуровневого програмування, криптографії, мережевого програмування та високопродуктивного коду.

Практичні застосування:

• Бітове маскування: Перевірка, чи встановлений певний біт: if (flags & 0b0100) { ... } — перевірка, чи встановлений біт 2.
• Встановлення бітів: flags = flags | 0b0100 — встановлення біт 2 незалежно від поточного значення.
• Скасування бітів: flags = flags & ~0b0100 — скасування біт 2 до 0.
• Швидка множення/ділення на степені 2: n << 3 = n × 8; n >> 2 = n ÷ 4. Бітові зміщення є операціями на рівні процесора, значно швидші за множення.
• Перевірка парності/непарності: if (n & 1) { /* не парне */ } — останній біт будь-якого непарного числа завжди є 1.

Сравнення системи чисел: Бінарна, Октальна, Десяткова, Гексадеційна

Інформатика використовує чотири системи чисел, кожна з яких підходить для різних контекстів:

Швидке перетворення: бінарна ↔ гексадеційна (4 бінарних цифри = 1 гексадеційна цифра):

Цей 4-бітовий групування робить гексадеційну дуже корисною як компактну нотацію для бінарних даних: значення 32-бітової змінної 11001010 00111111 10110101 00001100 набагато легше записувати як CA3FB50C.

Бінарна в мережах: Адреси IP та маски підсітки

Зрозуміння бінарної системи необхідне для мережевого інженера, оскільки адреси IPv4 є фундаментально 32-бітними бінарними числами, а підсіткування — процес, який ґрунтується цілком на бінарних операціях.

Адрес IPv4 типу 192.168.1.100 є читабельною нотацією для 32-бітного бінарного значення:

11000000.10101000.00000001.01100100

Маска підсітки визначає, який відділ адреси ідентифікує мережу, а який ідентифікує хоста. Маска підсітки 255.255.255.0 у бінарному вигляді є:

11111111.11111111.11111111.00000000

Бітовий ІВАН адреси IP та маски підсітки дає мережеву адресу:

Нотація CIDR (наприклад, /24) вказує, скільки лідуючих 1-бітів є в масці підсітки. Маска /24 має 24 одиниць, що слідують за 8 нулями, що дозволяє використовувати 2⁸ − 2 = 254 адреси хоста на підсітці. Маска /16 дозволяє використовувати 65 534 адреси хоста. Мережеві інженери використовують бінарну математику щодня для планування підсіток, розрахунків адрес розсилання та виявлення помилок маршрутизації.

Бінарні операції в криптографії та безпеці

Сучасні алгоритми шифрування працюють цілком на рівні бінарних даних, змінюючи окремі біти за допомогою поєднань XOR, зміщення біта та заміщення операцій. Знання бінарних даних є воротком до розуміння роботи цифрової безпеки.

XOR-шифрування (основою сучасних шифрів): XOR має особливість — застосування його двічі з тим же ключем повертає початкове значення: A ⊕ K ⊕ K = A. Це робить XOR основою стрімних шифрів та одноразових шифрів.

Наприклад, шифрування байта 01001101 (буква 'M' за ASCII) за ключем 10110010:

• Плоскість: 01001101
• Ключ: 10110010
• XOR (шифрування): 11111111
• XOR знову з тим же ключем (відшифрування): 01001101 = 'M' ✓

Розміри ключів у сучасному шифруванні: AES-128 використовує 128-бітовий ключ, що означає, що існує 2¹²⁸ ≈ 3,4 × 10³⁸ можливих ключів — більше за кількість атомів спостережуваного Всесвіту. AES-256 використовує 256-бітові ключі з 2²⁵⁶ можливостями. навіть найшвидші суперкомп'ютери не можуть здійснити брут-форс цих просторів ключів. Кожне додаткове біте подвоює пошуковий простір, тому розмір ключа має значення експоненційно в криптографії.

Хеш-функції, такі як SHA-256, видають 256-бітовий (32-байтовий) бінарний вихід з будь-якого вхідного даних. навіть зміна одного біта вхідних даних призводить до повністю різних хешів — властивість, яку називають «авальанс-ефектом», яка робить хеші корисними для перевірки цілісності даних, зберігання паролів та створення технології блокчейна.

Бінарні дані та квантові обчислення: Хоча класичні комп'ютери використовують бінарні біти (0 або 1), квантові комп'ютери використовують квібіти, які можуть існувати в суперпозиції обох станів одночасно. Класичний 256-бітовий ключ має 2²⁵⁶ можливих значень, які необхідно перевірити послідовно; квантовий комп'ютер, що працює за алгоритмом Гровера, міг би здійснити пошук цього простору за √(2²⁵⁶) = 2¹²⁸ операцій. Це чому розробляється постквантова криптографія — для створення бінарних шифрувальних схем, які залишаються безпечними навіть проти квантових супротивників.