Calculateur binaire

Le système numérique binaire : comment les ordinateurs comptent

Le système numérique binaire (base-2) utilise uniquement deux chiffres — 0 et 1 — appelés bits (chiffres binaires). Tous les ordinateurs, les smartphones et les appareils numériques stockent et traitent toutes les informations en binaire, car les circuits électriques peuvent représenter de manière fiable deux états distincts : tension élevée (1) et tension basse (0).

Chaque position dans un nombre binaire représente une puissance de 2, augmentant de droite à gauche :

Conversion binaire décimale : Multipliez chaque bit par sa valeur de place et additionnez tous les résultats.

Exemple : 10110101₂ = 1 × 128 + 0 × 64 + 1 × 32 + 1 × 16 + 0 × 8 + 1 × 4 + 0 × 2 + 1 × 1 = 128 + 32 + 16 + 4 + 1 = 181

Conversion décimale binaire : Divisez répétitivement par 2, enregistrant le reste à chaque étape, puis lisez les restes de bas en haut.

Exemple : Convertissez 181 en binaire :

• 181 ÷ 2 = 90 reste 1
• 90 ÷ 2 = 45 reste 0
• 45 ÷ 2 = 22 reste 1
• 22 ÷ 2 = 11 reste 0
• 11 ÷ 2 = 5 reste 1
• 5 ÷ 2 = 2 reste 1
• 2 ÷ 2 = 1 reste 0
• 1 ÷ 2 = 0 reste 1

Lisez les restes de bas en haut : 10110101₂ ✓

Arithmétique binaire : addition, soustraction et multiplication

L'arithmétique binaire suit les mêmes règles que le décimal, mais les emprunts se produisent à 2 au lieu de 10.

Règles d'addition binaire : 0+0=0, 0+1=1, 1+0=1, 1+1=10 (emprunt 1), 1+1+1=11 (emprunt 1)

Exemple : 1011₂ + 1101₂ (11 + 13 = 24)

  1011
+ 1101
------
 11000

En travaillant de droite à gauche : 1+1=10 (écrit 0, emprunt 1) ; 1+0+1=10 (écrit 0, emprunt 1) ; 0+1+1=10 (écrit 0, emprunt 1) ; 1+1+1=11 (écrit 1, emprunt 1) ; emprunt final écrit 1. Résultat : 11000₂ = 24 ✓

Complément à deux (soustraction binaire) : Les ordinateurs gèrent les nombres négatifs et la soustraction en utilisant la représentation du complément à deux. Pour trouver le complément à deux d'un nombre : inversez tous les bits, puis ajoutez 1.

Exemple : −13 en 8 bits de complément à deux : +13 = 00001101₂ → inversez tous les bits → 11110010₂ → ajoutez 1 → 11110011₂

Cela permet de faire la soustraction comme addition : 20 − 13 = 20 + (−13).

La multiplication binaire est élégante : chaque produit partiel est soit 0 (multiplication par 0) ou le nombre lui-même (multiplication par 1), décalé vers la gauche. Exemple : 1011₂ × 101₂ (11 × 5 = 55) :

    1011
  ×  101
  -----
    1011    (1011 × 1)
   0000     (1011 × 0, décalé)
  1011      (1011 × 1, décalé deux fois)
  -------
  110111₂ = 55 ✓

Le binaire dans l'informatique : les bits, les octets et les tailles de données

Comprendre les unités binaires est essentiel pour tout le monde travaillant avec les ordinateurs, les stockages ou les vitesses de réseau :

Les valeurs de couleur : Les couleurs Web utilisent 24 bits RGB (8 bits par canal). #FF5733 = R : 255, G : 87, B : 51. Chaque canal de 8 bits peut représenter 256 nuances (0-255). Nombre total de couleurs possibles : 256³ = 16 777 216 (environ 16,7 millions).

Les permissions de fichier dans Unix/Linux : rwxr-xr-- = 111 101 100 en binaire = 7, 5, 4 en octal = chmod 754. Chaque ensemble de 3 bits représente les permissions de lecture (r=4), d'écriture (w=2) et d'exécution (x=1) pour le propriétaire, le groupe et les autres.

Opérations binaire et leurs applications

Les opérations binaire manipulent les bits individuels dans les entiers. Elles sont fondamentales pour la programmation de bas niveau, la cryptographie, la programmation réseau et le code critique de performance.

Utilisations pratiques :

• Masquage de bits : Vérifiez si un bit spécifique est défini : if (drapeaux & 0b0100) { ... } — vérifie si le bit 2 est 1.
• Définir un bit : drapeaux = drapeaux | 0b0100 — définissez le bit 2 à 1 quel que soit la valeur actuelle.
• Effacer un bit : drapeaux = drapeaux & ~0b0100 — effacez le bit 2 à 0.
• Multipliez rapidement/divisez par des puissances de 2 : n << 3 = n × 8 ; n >> 2 = n ÷ 4. Les décalages de bits sont des opérations au niveau du processeur, beaucoup plus rapides que la multiplication.
• Contrôlez pair/impair : if (n & 1) { /* impair */ } — le dernier bit de tout nombre impair est toujours 1.

Comparaison des systèmes numériques : binaire, octal, décimal, hexadécimal

Les sciences informatiques utilisent quatre systèmes numériques, chacun adapté à différents contextes :

Conversion rapide : binaire ↔ hexadécimal (4 chiffres binaire = 1 chiffre hexadécimal) :

Cette regroupement de 4 bits rend le hexadécimal extrêmement utile comme notation compacte pour les données binaire : la valeur de 32 bits 11001010 00111111 10110101 00001100 est beaucoup plus facile à écrire sous la forme CA3FB50C.

Le binaire dans le réseau : les adresses IP et les masques de sous-réseau

La compréhension du binaire est essentielle pour l'ingénierie réseau car les adresses IPv4 sont fondamentalement des nombres binaire à 32 bits, et le sous-réseau — le processus de division des réseaux — repose entièrement sur les opérations binaire.

L'adresse IPv4 comme 192.168.1.100 est une notation lisible par l'homme pour la valeur binaire à 32 bits :

11000000.10101000.00000001.01100100

Un masque de sous-réseau détermine quelle partie de l'adresse identifie le réseau et quelle identifie l'hôte. Le masque 255.255.255.0 en binaire est :

11111111.11111111.11111111.00000000

L'ET binaire de l'adresse IP et du masque de sous-réseau donne l'adresse réseau :

La notation CIDR (par exemple, /24) indique combien de 1 à la tête du masque de sous-réseau. Un masque /24 a 24 uns suivis de 8 zéros, permettant 2⁸ − 2 = 254 adresses d'hôte utilisables par sous-réseau. Un masque /16 permet 65 534 hôtes. Les ingénieurs réseaux utilisent la mathématique binaire quotidienne pour planifier les sous-réseaux, calculer les adresses de diffusion et résoudre les problèmes de routage.

Le binaire dans la cryptographie et la sécurité

Les algorithmes de cryptage modernes fonctionnent entièrement au niveau binaire, manipulant des bits individuels à l'aide de combinaisons de XOR, de décalages de bits et d'opérations de substitution. La compréhension du binaire est la clé pour comprendre comment la sécurité numérique fonctionne.

XOR de cryptage (la base des ciphers modernes) : XOR a une propriété unique — l'appliquer deux fois avec la même clé retourne la valeur d'origine : A ⊕ K ⊕ K = A. Cela fait de XOR la base des ciphers de flux et des pads à usage unique.

Exemple : chiffrer le byte 01001101 (la lettre 'M' en ASCII) avec la clé 10110010 :

• Texte en clair : 01001101
• Clé : 10110010
• XOR (chiffrement) : 11111111
• XOR à nouveau avec la même clé (déchiffrement) : 01001101 = 'M' ✓

Tailles de clés dans la cryptage moderne : AES-128 utilise une clé de 128 bits, ce qui signifie qu'il existe 2¹²⁸ ≈ 3,4 × 10³⁸ de clés possibles — plus que le nombre d'atomes dans l'univers observable. AES-256 utilise des clés de 256 bits avec 2²⁵⁶ possibilités. Même les superordinateurs les plus rapides ne peuvent pas forcer ces espaces de clés. Chaque bit supplémentaire double l'espace de recherche, ce qui est pourquoi la longueur de la clé compte exponentiellement en cryptographie.

Les fonctions de hachage comme SHA-256 produisent un output binaire de 256 bits (32 octets) à partir de n'importe quel input. Même un seul bit changé dans l'input produit un hachage complètement différent — une propriété appelée l'« effet de la tempête » qui rend les hachages utiles pour vérifier l'intégrité des données, stocker des mots de passe et alimenter la technologie de la chaîne de blocs.

Le binaire et l'informatique quantique : Alors que les ordinateurs classiques utilisent des bits binaire (0 ou 1), les ordinateurs quantiques utilisent des qubits qui peuvent exister en superposition de tous les deux états simultanément. Un clé classique de 256 bits a 2²⁵⁶ valeurs possibles qui doivent être vérifiées séquentiellement ; un ordinateur quantique exécutant l'algorithme de Grover pourrait chercher cet espace en √(2²⁵⁶) = 2¹²⁸ opérations. C'est pourquoi la cryptographie post-quantique est développée — pour créer des schémas de cryptage basés sur le binaire qui restent sécurisés même contre les adversaires quantiques.