거리 계산기 (두 점)
거리 공식 √((x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²)을 사용하여 두 점 사이의 거리를 계산합니다.
거리 공식이란?
2D 평면에서 두 점 사이의 거리는 거리 공식을 사용해 계산합니다: d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²). 이 공식은 피타고라스 정리의 직접적인 적용으로, 두 점 사이의 수평 및 수직 간격이 직각삼각형의 두 변을 형성하고 거리가 빗변이 됩니다.
점 (x₁, y₁)과 (x₂, y₂) 사이의 거리를 구하려면 x 좌표 차이(Δx = x₂ − x₁)와 y 좌표 차이(Δy = y₂ − y₁)를 계산합니다. 두 차이를 제곱하고 더한 후 제곱근을 취합니다. 제곱 단계는 음수 차이(x₂ < x₁ 또는 y₂ < y₁인 경우)가 양수 값을 생성하도록 보장합니다. 거리는 항상 음수가 아닙니다.
이 공식은 모든 방향에서 작동합니다: 수평 선분(y₁ = y₂)은 d = |x₂ − x₁|, 수직 선분(x₁ = x₂)은 d = |y₂ − y₁|, 대각선은 전체 공식이 필요합니다. 르네 데카르트의 이름을 딴 이 공식은 유클리드 거리 또는 직선 거리입니다.
단계별 예시 계산
공식을 수동으로 적용하는 방법을 이해하면 직관력을 키우고 계산기 결과를 검증하는 데 도움이 됩니다.
예시 1 — 피타고라스 삼중수: (1, 2)에서 (4, 6)까지의 거리를 구합니다.
- Δx = 4 − 1 = 3
- Δy = 6 − 2 = 4
- d = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5
예시 2 — 무리수 결과: (0, 0)에서 (3, 7)까지의 거리.
- Δx = 3, Δy = 7
- d = √(9 + 49) = √58 ≈ 7.6158
예시 3 — 음수 좌표: (−3, −4)에서 (2, 8)까지의 거리.
- Δx = 2 − (−3) = 5
- Δy = 8 − (−4) = 12
- d = √(25 + 144) = √169 = 13
| 점 A | 점 B | Δx | Δy | 거리 |
|---|---|---|---|---|
| (0, 0) | (3, 4) | 3 | 4 | 5 (정확) |
| (1, 1) | (4, 5) | 3 | 4 | 5 (정확) |
| (0, 0) | (5, 12) | 5 | 12 | 13 (정확) |
| (−2, 3) | (4, −5) | 6 | −8 | 10 (정확) |
| (1, 2) | (3, 7) | 2 | 5 | √29 ≈ 5.385 |
피타고라스 정리에서 거리 공식 유도
거리 공식은 별개의 수학 법칙이 아니라 피타고라스 정리(a² + b² = c²)의 직접적인 결과입니다. 두 점 P₁(x₁, y₁)과 P₂(x₂, y₂)가 주어지면, P₁에서 수평선을, P₂에서 수직선을 그어 P₃(x₂, y₁)에서 만나도록 직각삼각형을 구성합니다. 피타고라스 정리에 의해 d² = (x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²이고, 제곱근을 취하면 d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)입니다.
확장: 3D 거리와 중점 공식
2D 거리 공식은 자연스럽게 3차원으로 확장됩니다. 3D 공간에서 (x₁, y₁, z₁)과 (x₂, y₂, z₂): d = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)² + (z₂−z₁)²). 중점 공식은 거리 공식의 보완입니다: M = ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2). 좌표의 평균을 취하면 됩니다.
| 차원 | 거리 공식 |
|---|---|
| 1D (수직선) | d = |x₂ − x₁| |
| 2D (평면) | d = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²) |
| 3D (공간) | d = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)² + (z₂−z₁)²) |
| nD (일반) | d = √(Σᵢ(x₂ᵢ−x₁ᵢ)²) |
거리 계산의 실생활 응용
거리 공식은 기술, 과학, 공학, 일상 탐색에 걸쳐 수많은 실세계 계산의 기반이 됩니다.
GPS 및 내비게이션: 소규모에서 GPS 좌표는 직교 좌표로 근사할 수 있습니다. 더 큰 거리에는 지구의 구형 곡률을 고려한 하버사인 공식이 사용됩니다.
게임 개발: 충돌 감지, 경로 찾기, AI 행동은 객체 사이의 거리를 지속적으로 계산합니다. 두 원형 객체는 중심 사이의 거리가 반지름의 합보다 작을 때 충돌합니다.
물리 시뮬레이션: 중력, 전자기력, 용수철 힘은 모두 물체 사이의 거리에 의존합니다. 시뮬레이션 엔진은 각 타임스텝에서 입자 쌍의 거리를 계산합니다.
피타고라스 삼중수 참조표
| a (Δx) | b (Δy) | c (거리) | 배수 |
|---|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 | 6-8-10, 9-12-15 |
| 5 | 12 | 13 | 10-24-26 |
| 8 | 15 | 17 | 16-30-34 |
| 7 | 24 | 25 | 14-48-50 |
| 20 | 21 | 29 | 40-42-58 |
| 9 | 40 | 41 | 18-80-82 |
다양한 거리 척도: 유클리드 vs 맨해튼 vs 체비쇼프
유클리드 거리(이 계산기) = √((Δx)² + (Δy)²). 물리적 거리, GPS, 역학에 최적.
맨해튼 거리(L1 노름) = |Δx| + |Δy|. 격자 기반 내비게이션(도시 블록), 창고 로봇에 최적.
체비쇼프 거리(L∞ 노름) = max(|Δx|, |Δy|). 체스 킹 이동, 특정 제조 작업에 최적.
| 척도 | 공식 | 최적 용도 |
|---|---|---|
| 유클리드 | √((Δx)² + (Δy)²) | 물리적 거리, GPS, 물리학 |
| 맨해튼 (L1) | |Δx| + |Δy| | 격자 내비게이션, 도시 거리 |
| 체비쇼프 (L∞) | max(|Δx|, |Δy|) | 체스, 특정 제조 |
| 민코프스키 (Lp) | (|Δx|ᵖ + |Δy|ᵖ)^(1/p) | 일반적; p=2는 유클리드, p=1은 맨해튼 |
이 거리 계산기 사용 방법
두 점의 x, y 좌표를 입력한 후 계산 버튼을 클릭하면 √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²)로 계산된 직선 유클리드 거리가 즉시 표시됩니다.
- 양수 및 음수 좌표 모두 지원됩니다.
- 소수 좌표도 완전히 지원됩니다 (예: x₁ = 1.5, y₁ = 2.7).
- 두 점이 동일하면 결과는 0입니다.
- 특정 단위의 거리를 구하려면 모든 좌표가 같은 단위여야 합니다.
자주 묻는 질문
두 점 사이의 거리 공식은?
d = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²). 좌표를 빼고 각 차이를 제곱한 후 더하고 제곱근을 취합니다.
(x₁,y₁)과 (x₂,y₂) 중 어느 것이 어느 점인지 중요한가요?
아니요. 차이가 제곱되기 때문에 거리 공식은 어느 쪽이든 같은 결과를 줍니다: (x₂−x₁)² = (x₁−x₂)². 거리는 대칭입니다.
동일한 두 점 사이의 거리는?
영(0)입니다. (x₁,y₁) = (x₂,y₂)이면 d = √(0² + 0²) = 0.
3D 공간에서 거리는 어떻게 구하나요?
공식을 확장합니다: d = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)² + (z₂−z₁)²).
거리와 변위의 차이는?
거리는 스칼라(크기만)이고, 변위는 벡터(크기와 방향)입니다. 거리 공식은 변위의 크기를 제공합니다.
피타고라스 삼중수란 무엇이며 왜 중요한가요?
a² + b² = c²를 만족하는 정수 집합(a, b, c)입니다. 대표적으로 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17. Δx와 Δy가 삼중수를 형성하면 거리는 정확한 정수가 됩니다.
중점 공식은?
(x₁,y₁)과 (x₂,y₂) 사이의 중점 M은 M = ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2)입니다. 각 좌표 쌍의 평균입니다.
거리 계산은 GPS에서 어떻게 사용되나요?
GPS는 위도/경도 좌표를 사용합니다. 짧은 거리에는 피타고라스 근사가 적절합니다. 긴 거리에는 지구의 곡률을 고려한 하버사인 공식이 사용됩니다.
맨해튼 거리와 유클리드 거리의 차이는?
유클리드 거리 = 직선 거리. 맨해튼 거리 = 수평 + 수직 이동의 합(도시 블록처럼). 맨해튼 거리 ≥ 유클리드 거리이며, 수평 또는 수직 이동만 할 때만 같습니다.
거리 공식이 음수가 될 수 있나요?
아니요. 거리는 항상 음수가 아닙니다. 두 점이 동일할 때만 0이 됩니다.
물리학과 공학 응용에서의 거리
거리 공식은 역제곱 법칙(중력, 전자기력), 로봇공학 및 경로 계획, 측량 및 토지 측정, 컴퓨터 그래픽(레이 추적, 충돌 감지)에 지속적으로 사용됩니다. GPU는 사실적인 이미지를 실시간으로 생성하기 위해 프레임당 수백만 건의 거리 계산을 처리합니다.