팩토리얼 계산기
비음수 정수의 팩토리얼을 계산합니다. n! = n × (n-1) × … × 2 × 1. 단계별 결과를 즉시 제공하는 무료 온라인 수학 계산기.
팩토리얼 이해하기
비음수 정수 n의 팩토리얼은 n!로 표기하며 1부터 n까지의 모든 양의 정수의 곱입니다: n! = n × (n−1) × (n−2) × ... × 2 × 1. 특별한 경우: 0! = 1로 정의됩니다(계산이 아닌 정의).
팩토리얼은 매우 빠르게 성장합니다. 5! = 120; 10! = 3,628,800; 20! ≈ 2.43 × 10¹⁸. 이 계산기는 BigInt 산술을 사용하여 170!까지 정확한 정수 결과를 제공합니다.
| n | n! | 근사 |
|---|---|---|
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 |
| 5 | 120 | 1.2 × 10² |
| 10 | 3,628,800 | 3.6 × 10⁶ |
| 15 | 1,307,674,368,000 | 1.3 × 10¹² |
| 20 | 2,432,902,008,176,640,000 | 2.4 × 10¹⁸ |
| 52 | 카드 덱 순열 수 | 8.07 × 10⁶⁷ |
팩토리얼의 응용
순열: n개의 물체를 r개 선택하여 순서대로 배열하는 방법: P(n,r) = n! / (n-r)!. 예: 10명 중 3명을 1등, 2등, 3등으로 뽑는 방법 = 10! / 7! = 720.
조합: n개에서 r개를 순서 없이 선택하는 방법: C(n,r) = n! / (r!(n-r)!). 예: 52장 카드에서 5장을 선택하는 방법 = 52! / (5! × 47!) = 2,598,960.
확률: 사건의 확률은 팩토리얼로 계산됩니다. 6개 카드에서 4개를 특정 순서로 받을 확률 = 1 / P(6,4) = 1/360.
이항 계수: (a + b)ⁿ 전개식의 계수 = C(n, k) = n! / (k!(n-k)!). 파스칼 삼각형의 숫자는 이항 계수입니다.
자주 묻는 질문
0! = 1인 이유는?
0개 원소의 집합을 배열하는 방법은 빈 배열 하나 뿐이므로 0! = 1로 정의됩니다. 또한 n! = n × (n-1)! 재귀 관계에서 1! = 1 × 0!이면 0! = 1이 되어야 합니다. 이 정의는 조합론 공식을 일관되게 만듭니다.
팩토리얼은 음수에 정의되나요?
표준 팩토리얼은 음수 정수에 정의되지 않습니다. 그러나 감마 함수 Γ(n) = (n-1)!는 음의 정수를 제외한 복소수로 확장됩니다.
매우 큰 팩토리얼 근사 방법은?
스털링 근사식: ln(n!) ≈ n×ln(n) − n + 0.5×ln(2πn). 이 공식은 큰 n에서 매우 정확합니다. n = 100에 대해 ln(100!) ≈ 363.74 (정확한 값은 363.74).