分散計算機 – 母分散・標本分散
データセットの分散と標準偏差を計算します。母分散とサンプル分散の両方に対応。無料のオンライン統計計算機。
分散とは何か
分散はデータセットの広がりを測る指標です。値が平均からどれだけ離れているかを示します。分散が小さいほど、データ点が平均の近くに集まっています。分散が大きいほど、データが広く散らばっています。
分散は平均からの偏差の二乗の平均として計算されます：
- 母分散（σ²）：σ² = Σ(xᵢ − μ)² / N
- 標本分散（s²）：s² = Σ(xᵢ − x̄)² / (N−1)
xᵢは各データ点、μ（またはx̄）は平均、Nは値の個数です。標準偏差は分散の平方根です。元のデータと同じ単位で表されるため、より解釈しやすくなります。
母分散と標本分散の違い
主な違いは分母です。NとN−1の違いはベッセルの補正と呼ばれます：
| 種類 | 分母 | 使うべき場合 | 記号 |
|---|---|---|---|
| 母分散 | N | 母集団全体のデータがある場合 | σ² |
| 標本分散 | N−1 | より大きな母集団からのサンプルがある場合 | s² |
実際には、ほとんどの現実データはサンプルです。N−1（標本分散）を使うと、真の母分散の不偏推定量が得られます。サンプルにNを使うと（母分散として計算すると）真の分散を系統的に過小評価します。
例：新薬を50人の患者で試験する場合は標本分散（s²）を使います。あるクラス全員の成績を分析する場合は母分散（σ²）を使います。
分散計算のステップバイステップ
データセット：4, 7, 13, 2, 8 を例に：
- 平均を計算する：(4+7+13+2+8) ÷ 5 = 34/5 = 6.8
- 平均からの偏差を求める：(4−6.8)=−2.8；(7−6.8)=0.2；(13−6.8)=6.2；(2−6.8)=−4.8；(8−6.8)=1.2
- 偏差を二乗する：7.84；0.04；38.44；23.04；1.44
- 二乗和を求める：7.84+0.04+38.44+23.04+1.44 = 70.8
- 母分散：70.8 ÷ 5 = 14.16
- 標本分散：70.8 ÷ 4 = 17.7
- 標準偏差：√14.16 = 3.76（母集団）または √17.7 = 4.21（標本）
分散の実用的な応用
| 分野 | 応用 | 例 |
|---|---|---|
| 金融 | 投資リスク | 分散が大きい = 株式リターンの変動が大きい |
| 製造 | 品質管理 | 分散が小さい = 製品寸法が安定している |
| 医療 | 臨床試験 | 患者の反応のばらつきを測定する |
| スポーツ科学 | パフォーマンス分析 | シーズンを通じた選手パフォーマンスのばらつき |
| 教育 | テスト結果分析 | 学生の成績の広がりを把握する |
💡 知っていましたか？
- 分散という概念は1918年にロナルド・フィッシャーが導入しました。「分散（variance）」という用語を生んだのも同じ論文です。
- 金融では、分散はモダンポートフォリオ理論の基礎です。ポートフォリオの分散は個々の資産の分散だけでなく、資産間の相関にも依存します。
- 変動係数（CV = 標準偏差 ÷ 平均 × 100%）を使えば、単位やスケールが異なるデータセット間でもばらつきを比較できます。
よくある質問
分散と標準偏差の違いは何ですか？
分散は平均からの偏差の二乗の平均、標準偏差はその平方根です。標準偏差は元のデータと同じ単位（例：円・kg・秒）で表されるため、より解釈しやすいです。分散は数学的操作（独立変数の分散は直接加算できる）に有用で、標準偏差は専門外の人に広がりを説明するのに適しています。
標本分散と母分散のどちらを使えばよいですか？
分析対象のグループ全員のデータがある場合は母分散を使います（例：1つの会社の全従業員）。データがより大きなグループの一部である場合は標本分散を使います（例：全有権者の意見を推定するための500人調査）。実際の研究や統計では、ほとんどの場合で標本分散が適切です。
分散は負の値になりますか？
なりません。分散は二乗値から計算されるため、常にゼロ以上です。分散 = 0 はすべてのデータ点が同一の場合（ばらつきがない）のみです。負の分散は数学的に不可能であり、計算エラーを示します。
分散が「高い」「低い」とはどういう意味ですか？
高低はデータのスケールと文脈によります。分散10はcm単位の身長データでは「低い」ですが、m単位では「高い」です。変動係数（標準偏差÷平均×100%）はスケールに依存しないため、異なるデータセット間の比較が可能です。品質管理では、各測定値に対して許容分散範囲が仕様で定義されています。