লগারিদম ক্যালকুলেটর

লগারিদম কি?

একটি লগারিদম একটি মৌলিক প্রশ্নের উত্তর দেয়:"কোন শক্তি একটি বেস উত্পাদন একটি প্রদত্ত সংখ্যা উত্পাদন করা আবশ্যক? "গাণিতিকভাবে লিখিত, যদি b^x= y, তারপর log_b(y) = x. লোগারিদম হল এক্সপোনেন্ট -- এটা এক্সপোনেন্টিয়েশনকে বিপরীত করে ঠিক যেমন বিয়োগ যোগকে বিপরীত করে।

বাস্তব উদাহরণ:

• লোগ₂(8) = 3 কারণ 23 = 8
• লোগ₁₀(1000) = 3 কারণ 103 = 1000
• লোগ₁₀(0.01) = -2 কারণ 10⁻²= 0.01
• ln(e2) = 2 কারন e2 হল e^2

তিনটি প্রকারের লোগারিদমের সাথে আপনি সবচেয়ে বেশি ঘন ঘন দেখা করবেন:

আমাদের ক্যালকুলেটর তিনটিই একসাথে গণনা করে, প্লাস যে কোন কাস্টম বেস যা আপনি নির্দিষ্ট করেন। কেবল আপনার সংখ্যা লিখুন এবং (বিকল্প) একটি কাস্টম বেস -- log10 এবং ln সবসময় স্বয়ংক্রিয়ভাবে প্রদর্শিত হয়।

লগারিদম আইন ও বৈশিষ্ট্য

ছয়টি মৌলিক নিয়ম লোগারিদমের আচরণকে নিয়ন্ত্রণ করে। এই বৈশিষ্ট্যগুলি আয়ত্ত করা জটিল এক্সপ্রেশনগুলিকে সরলীকরণ এবং লোগারিদমিক সমীকরণ সমাধানের মূল চাবিকাঠি।

আরও দুটি গুরুত্বপূর্ণ পরিচয়:

• বিপরীত সম্পর্ক: b^{লোগ_b(x)}= x এবং লগ_b(b^x) = x -- লগারিদম এবং এক্সপোনেন্সিয়ালগুলো বিপরীত।
• নেতিবাচক যুক্তি:নেতিবাচক সংখ্যা এবং শূন্যের লগারিদমগুলি বাস্তব সংখ্যা ব্যবস্থায় সংজ্ঞায়িত নয়। লগ ((-5) এবং লগ ((0) এর কোন বাস্তব মান নেই।

প্রোডাক্ট রুলের একটি মূল প্রয়োগঃ অজানা এক্সপোনেন্টের জন্য সমাধান করা। 7% বার্ষিক বৃদ্ধির সাথে বিনিয়োগ দ্বিগুণ হতে কত সময় লাগে তা খুঁজে বের করতেঃ 2 = 1.07ⁿ. উভয় পক্ষের লগ নিনঃ লগ ((2) = এন এক্স লগ ((1.07), সুতরাং এন = লগ ((2) / লগ ((1.07) = 0.301/0.0294 ~ 10.2 বছর (72 এর বিখ্যাত নিয়মঃ 72/7 ~ 10.3 বছর) ।

প্রাকৃতিক লগারিদম (ln) এবং ইউলারের সংখ্যা e

ইউলারের সংখ্যা e ~ 2.71828182845... গণিতের অন্যতম গুরুত্বপূর্ণ ধ্রুবক। এটি ক্রমাগত যৌগিক সমস্যা থেকে প্রাকৃতিকভাবে উদ্ভূত হয়: যদি আপনি 100% বার্ষিক সুদে 1 ডলার বিনিয়োগ করেন, প্রতি বছর n বার যৌগিক, ফলাফলটি n -> ∞ হিসাবে e এর কাছে আসে।

প্রাকৃতিক লগারিদম ln(x) = লগ_e(x) হল e এর বিপরীত^x, এটিকে ক্যালকুলেশনের এক্সপোনেন্সিয়াল ফাংশনগুলির প্রাকৃতিক সঙ্গী করে তোলে। মূল সম্পত্তি: d/dx[ln(x) ] = 1/x - অন্য কোনও লগারিদম বেসের জন্য ডেরিভেটিভের চেয়ে সহজ।

বাস্তবে প্রাকৃতিক কাঠঃ

• ক্রমাগত যৌগিক সুদ:A = Pe^rt১০ বছরের জন্য ৫% দরে ১,০০০ ডলার: এ = ১০০০ এক্স ই^৫.৫= $১,৬৪৮.৭২
• তেজস্ক্রিয় ক্ষয়ঃN ((t) = N0 x e^{- লট}. অর্ধেক জীবন: t1/ 2 = ln(2) / λ ~ 0. 693/ λ
• জনসংখ্যা মডেলিংঃP ((t) = P0 x e^rtযেখানে r হল ক্রমাগত বৃদ্ধির হার
• স্বাভাবিক বন্টনঃগাউসিয়ান বেল বক্ররেখার এক্সপোনেন্ট -x2/2 ব্যবহার করে e

সাধারণ লগ (লগ১০) রেফারেন্স টেবিল

সাধারণ লগারিদম (বেস 10) বেশিরভাগ পরিমাপ স্কেলে ব্যবহৃত হয় যার মধ্যে পরিমাণের আদেশ অন্তর্ভুক্ত থাকে। এই টেবিলটি 0.001 থেকে 10,000 পর্যন্ত রেফারেন্স মান দেয়।

লোগারিদমের বাস্তব-বিশ্বের প্রয়োগ

লোগারিদম যেখানেই প্রদর্শিত হয় যেখানে এক্সপোনেন্সিয়াল প্রক্রিয়াগুলিকে মানুষের পাঠযোগ্য রৈখিক স্কেলে পরিমাপ করা দরকার। তারা মানগুলির বিশাল পরিসীমাকে পরিচালনাযোগ্য সংখ্যায় সংকুচিত করে।

পিএইচ এবং রসায়ন

pH = -log10[H+], যেখানে [H+] হল লিটার প্রতি মোলের মধ্যে হাইড্রোজেন আয়ন ঘনত্ব। পিএইচ এর প্রতিটি ইউনিট পরিবর্তন অ্যাসিডিটির 10x পরিবর্তনকে উপস্থাপন করে। পিএইচ 4 (টমেটোর রস) পিএইচ 7 (খাঁটি জল) এর চেয়ে 1,000 গুণ বেশি অ্যাসিডিক। পিএইচ 1 এ ব্যাটারি অ্যাসিড নিরপেক্ষ জলের চেয়ে 1,000,000 গুণ বেশি অ্যাসিডিক।

রিক্টর এবং মোমেন্ট ম্যাগনিটিউড স্কেল

ভূমিকম্পের মাত্রা এম হল লগারিদমিক। মাত্রার প্রতিটি পূর্ণসংখ্যা বৃদ্ধি = 10x আরো স্থল গতির প্রশস্ততা এবং প্রায় 31.6x আরো শক্তি মুক্তি পায়। একটি মাত্রা 9 ভূমিকম্প (বিরল) একটি মাত্রা 7 ভূমিকম্পের প্রায় 1,000x শক্তি মুক্তি দেয়।

ডেসিবেল (সাউন্ড এবং ইলেকট্রনিক্স)

ডেসিবেলে শব্দ তীব্রতা: ডিবি = 10 x log10 ((পি 2 / পি 1) । 10 ডিবি বৃদ্ধি = শাব্দ শক্তির 10 গুণ (তবে প্রায় দ্বিগুণ জোরে অনুভূত হয়) । মানুষের শ্রবণ প্রায় 10 এর একটি পরিসীমা জুড়ে¹²তীব্রতায়, 0-120 ডিবি স্কেলে সংকুচিত।

কম্পিউটার বিজ্ঞান এবং অ্যালগরিদম বিশ্লেষণ

বাইনারি অনুসন্ধান O ((log2 n) সময়ে চালিত হয়। এক মিলিয়ন বাছাই করা আইটেমগুলির মধ্যে অনুসন্ধান করাঃ log2 ((1,000,000) ~ 20 তুলনা। মার্জ বাছাইয়ের সাথে n আইটেমগুলি বাছাই করাঃ O ((log n) । n স্বতন্ত্র মান উপস্থাপনের জন্য প্রয়োজনীয় বিটের সংখ্যাঃ log2 ((n) বিট।

অর্থনীতি: ৭২-এর নিয়ম

একটি বিনিয়োগ প্রায় 72/r বছরে দ্বিগুণ হয়, যেখানে r হল বার্ষিক রিটার্ন শতাংশ। এটি সরাসরি লোগারিদম থেকে আসেঃ দ্বিগুণ সময় = ln(2) / r ~ 0.693/r। 100 দ্বারা গুণ করলে 72 (আনুমানিক) এর নিয়ম পাওয়া যায়। 8% বার্ষিক প্রবৃদ্ধিঃ 72/8 = 9 বছর দ্বিগুণ হতে হবে।

ধাপে ধাপে লগারিদমিক সমীকরণের সমাধান

লোগারিদমিক সমীকরণগুলি অর্থ, বিজ্ঞান এবং প্রকৌশলে দেখা যায়। এখানে চারটি সাধারণ সমীকরণ সমাধান রয়েছে।

সাধারণ কৌশল: একপাশে লগারিদম বিচ্ছিন্ন করুন, তারপর এক্সপোনেন্সিয়াল ফর্মে রূপান্তর করুন (যদি লগ_b(x) = c, তাহলে x = b^cআপনার উত্তর পরীক্ষা করুন -- লোগারিদমের ধনাত্মক যুক্তি প্রয়োজন, তাই বহিরাগত সমাধান উত্থিত হতে পারে।

লগারিদম বনাম এক্সপোনেন্টঃ বিপরীত অপারেশন

লগারিদম এবং এক্সপোনেন্সিয়াল হল বিপরীত ক্রিয়াকলাপ -- প্রত্যেকটি অপরটির বিপরীত, যেমন গুণ এবং বিভাজন বিপরীত।

• যদি ১০২=১০০ হয়, তাহলে লগ১০ (১০০) = ২
• যদি e3 ~ 20.09, তাহলে ln(20.09) ~ 3
• যদি ২৮ = ২৫৬ হয়, তাহলে log2(২৫৬) = ৮
• 10^(log10(x)) = x এবং log10(10^x) = x -- নিখুঁত বাতিলকরণ

বৈজ্ঞানিক ক্যালকুলেটরে:

• log10(x) গণনা করতে:লোগচাবি
• ln(x গণনা করতে):LNচাবি
• লগ গণনা করতে_b(x): ব্যবহারের ভিত্তির পরিবর্তনঃ log (x) ÷ log (b)
• বিপরীত দিকে (অ্যান্টিলগ): প্রেস10^x(সাধারণ কাঠের জন্য) অথবাe^x(প্রাকৃতিক কাঠের জন্য)

পরিসংখ্যান ও তথ্য বিশ্লেষণে লগারিদম

লগ ট্রান্সফরমেশনগুলি পরিসংখ্যানের একটি শক্তিশালী সরঞ্জাম যা তির্যক তথ্য এবং গুণিতক সম্পর্কগুলির সাথে মোকাবিলা করে।

• লগ-স্বাভাবিক বন্টনঃযদি একটি ভেরিয়েবলের লগারিদম স্বাভাবিকভাবে বিতরণ করা হয়, তবে ভেরিয়েবলটি লগ-স্বাভাবিকভাবে বিতরণ করা হয়। স্টক মূল্য, আয়, শহরের আকার এবং জৈবিক পরিমাপগুলি প্রায়শই লগ-স্বাভাবিক বন্টন অনুসরণ করে।
• লগ স্কেল চার্টঃযখন ডেটা আকারের একাধিক অর্ডার জুড়ে থাকে (উদাহরণস্বরূপ, COVID-19 কেস গণনা 100 থেকে 1,000,000 পর্যন্ত যায়), একটি লগ স্কেল প্রবণতাটি দৃশ্যমান করে তোলে - প্রতিটি সমান ব্যবধান একটি স্থির সংযোজনের পরিবর্তে 10x গুণককে উপস্থাপন করে।
• রিগ্রেশন:লগ-লাইনার রিগ্রেশন (লগ ওয়াই = এ + বিএক্স) এক্সপোনেন্সিয়াল বৃদ্ধিকে মডেল করে। লগ-লগ রিগ্রেশন (লগ ওয়াই = এ + বি এক্স লগ এক্স) প্যারেটো বিতরণের মতো পাওয়ার-আইন সম্পর্ককে মডেল করে।
• তথ্য এন্ট্রপিঃশ্যানন এন্ট্রপি এইচ = -Σ p(x) লগ 2 ((p(x)) বিটগুলিতে তথ্য সামগ্রী পরিমাপ করে। একটি ন্যায্য মুদ্রার এন্ট্রপি 1 বিট; একটি ন্যায্য ডাই এর এন্ট্রপি লগ 2 ((6) ~ 2.585 বিট রয়েছে।

লগারিদম ইতিহাস এবং গাণিতিক তাৎপর্য

১৬১৪ সালে স্কটিশ গণিতবিদ জন নেপিয়ার লোগারিদম আবিষ্কার করেন, যা স্বাধীনভাবে জোস্ট বুর্জির দ্বারা বিকশিত হয়েছিল এবং লোগারিদম টেবিলের মাধ্যমে জনপ্রিয় হয়েছিল যা জ্যোতির্বিজ্ঞানী, ন্যাভিগেটর এবং প্রকৌশলীদের জন্য গণনামূলক বোঝা নাটকীয়ভাবে হ্রাস করেছিল। ক্যালকুলেটরগুলির আগে, বড় সংখ্যাগুলিকে গুণ করার জন্য কেবল তাদের লোগারিদমগুলি যুক্ত করার প্রয়োজন ছিল - গণিতের দিনগুলিকে মিনিটে রূপান্তরিত করে।

জন নেপিয়ারের সংজ্ঞাটি আধুনিক কনভেনশন থেকে পৃথক ছিল, 1 / ই এর কাছাকাছি একটি বেস ব্যবহার করে। হেনরি ব্রিগস (নেপিয়ারের সাথে কাজ করে) 1617 সালে সাধারণ লগারিদম (বেস 10) চালু করেছিলেন, 1624 সালে 1 থেকে 20,000 এবং 90,000 থেকে 100,000 এর জন্য 14 ডিজিটের লগ টেবিল প্রকাশ করেছিলেন। এই টেবিলগুলি 300+ বছর ধরে ব্যবহৃত হয়েছিল যতক্ষণ না 1970 এর দশকে বৈদ্যুতিন ক্যালকুলেটরগুলি তাদের অপ্রচলিত করে দেয়।

স্লাইড রুল - ১৭শ থেকে ২০শ শতাব্দী পর্যন্ত ব্যবহৃত একটি যান্ত্রিক এনালগ কম্পিউটার - হল লগারিদম সংযোজনের একটি শারীরিক বাস্তবায়ন। স্লাইড রুলের উপর A x B গুণ করার অর্থ হল একটি স্কেল সেট করা log ((A), যোগ করা log ((B), এবং antilog ((log ((A) + log ((B)) = AxB। নাসা প্রকৌশলীরা অ্যাপোলো মিশনের জন্য ট্র্যাজেক্টরি গণনা করতে স্লাইড নিয়ম ব্যবহার করেছিলেন।

মূল লগারিদম মাইলস্টোনঃ

• ১৬১৪:নেপিয়ার মিরিফিসি লোগারিথমোরাম ক্যানোনিস ডেস্ক্রিপটিও (প্রথম লোগারিথম টেবিল) প্রকাশ করেন
• ১৬২৪:ব্রিগস Arithmetica Logarithmica (বেস-১০ লগ টেবিল) প্রকাশ করেন
• ১৬৬৮:নিকোলাস মার্কেটার সিরিজ সম্প্রসারণ ln ((1+x) = x - x2/2 + x3/3 - ... আবিষ্কার করেন
• ১৭৪৮:ইউলার ই এবং প্রাকৃতিক লগারিদমকে ইনট্রোডাক্সিও ইন অ্যানালাইসিস ইনফিনিটোরামে প্রতিষ্ঠা করেন
• ১৯৭০-এর দশকঃইলেকট্রনিক ক্যালকুলেটরগুলি লগ টেবিলগুলি প্রতিস্থাপন করে; স্লাইড বিধিগুলি অপ্রচলিত হয়ে যায়

সাধারণ লোগারিদম ভুল এবং কিভাবে তাদের এড়ানো যায়

শিক্ষার্থী এবং পেশাদাররা একইভাবে লোগারিদম নিয়ে কাজ করার সময় পূর্বাভাসযোগ্য ভুল করে। এই ফাঁদ সম্পর্কে সচেতন হওয়া গণনায় ব্যয়বহুল ভুল প্রতিরোধ করেঃ

• log ((A + B) ≠ log ((A) + log ((B):উৎপাদনের নিয়মটি কেবলমাত্র গুণের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য, যোগের ক্ষেত্রে নয়। লগ ((A + B) এর কোন সহজ সরলীকরণ নেই। এটি সবচেয়ে সাধারণ বীজগণিত ত্রুটিগুলির মধ্যে একটিঃ লগ ((3 + 7) ≠ লগ ((3) + লগ ((7) ।
• log ((A x B) ≠ log ((A) x log ((B):উৎপাদনের নিয়ম বলে যে log (A x B) = log (A) + log (B) (সংযোজন, গুণ নয়) log (২ x ৮) = log (১৬) = log (২) + log (৮) = ০.৩০১ + ০.৯০৩ = ১.২০৪। কিন্তু log (২) x log (৮) = ০.৩০১ x ০.৯০৩ = ০.২৭২ -- সম্পূর্ণ ভিন্ন।
• বেস ভুলে যাওয়া:যখন একটি সূত্র "লগ" নির্দিষ্ট করে, সর্বদা প্রেক্ষাপট থেকে বেস নির্ধারণ করুন। গণিতে, "লগ" প্রায়শই প্রাকৃতিক লগ (বেস ই) বোঝায়। প্রকৌশল এবং প্রয়োগকৃত বিজ্ঞানে, "লগ" সাধারণত বেস 10 বোঝায়। কম্পিউটার বিজ্ঞানে, এটি প্রায়শই বেস 2 বোঝায়। বেসটি ভুলভাবে সনাক্ত করা ফলাফলটিতে 3+ এর একটি ফ্যাক্টর পর্যন্ত ত্রুটি তৈরি করে।
• নেতিবাচক যুক্তি:log ((-x) বাস্তব সংখ্যার জন্য অনির্ধারিত, নেতিবাচক সংখ্যা যতই ছোট হোক না কেন। যদি আপনার গণনা একটি লগ ফাংশনের নেতিবাচক যুক্তি দেয়, তবে প্রথমে আপনার চিহ্নগুলি পরীক্ষা করুন।
• log ((x/y) ≠ log ((x) /log ((y):log ((x/y) = log ((x) - log ((y) (বিয়োগ) । log ((x) / log ((y) আসলে বেস পরিবর্তনের সূত্রঃ log_yএই দুটি সম্পূর্ণ ভিন্ন অপারেশন।

আপনার কাজ যাচাই করাঃ বিপরীতটি যাচাই করে লগ গণনা যাচাই করুন। আপনি যদি log2 ((64) = 6 দাবি করেন তবে যাচাই করুনঃ 26 = 64। আপনি যদি ln ((x) = 2.5 দাবি করেন তবে যাচাই করুনঃ e ^ 2.5 ~ 12.18, সুতরাং x অবশ্যই 12.18 হতে হবে। বিশেষত পরীক্ষার সেটিংস বা সমালোচনামূলক প্রকৌশল গণনাগুলিতে সর্বদা এক্সপোনেন্সিয়াল বিপরীতের সাথে স্যানিটি-চেক করুন।

লোগারিদম স্কেল তুলনাঃ আকারের আদেশকে দৃষ্টিকোণ থেকে স্থাপন করা

লগারিদমের সবচেয়ে শক্তিশালী বৈশিষ্ট্যগুলির মধ্যে একটি হ'ল একই স্কেলে ব্যাপকভাবে বিভিন্ন পরিমাণ প্রকাশ করার ক্ষমতা। এখানে বেশ কয়েকটি লগারিদমিক স্কেলের তুলনা রয়েছে যা লগ কম্প্রেশন কীভাবে কাজ করে তা তুলে ধরেঃ

লগ১০ কলামটি -১৫ থেকে +২৭ পর্যন্ত বিস্তৃত - মাত্র ৪২ ইউনিটের একটি পরিসর যা ভৌত আকারের একটি পরিসরকে প্রতিনিধিত্ব করে যা পরিমাণের ৪২ অর্ডার (১০৪২) । লগারিদম ছাড়া, একই চার্টে একটি প্রোটনের আকার এবং পর্যবেক্ষণযোগ্য মহাবিশ্বের আকারের প্লট করা শারীরিকভাবে অসম্ভব হবে। এই কারণেই পদার্থবিজ্ঞানী, মহাবিশ্ববিজ্ঞানী এবং জ্যোতির্বিজ্ঞানীরা লগ স্কেলের উপর ভিত্তি করে মৌলিক ভিজ্যুয়ালাইজেশন এবং গণনা সরঞ্জাম হিসাবে নির্ভর করেন।

দৈনন্দিন জীবনে, ডেসিবেল স্কেল (শব্দ), ভূমিকম্পের মাত্রা স্কেল, নক্ষত্রের উজ্জ্বলতার মাত্রা স্কেল (জ্যোতির্বিজ্ঞান), এবং পিএইচ স্কেল (রসায়ন) সবই লগারিদম ব্যবহার করে ঠিক এই কারণে: অত্যন্ত বিস্তৃত পরিসীমাকে স্বজ্ঞাত একক-অঙ্কের বা দ্বি-অঙ্কের সংখ্যায় সংকুচিত করে যা মানুষ সহজেই তুলনা এবং যোগাযোগ করতে পারে। প্রতিবার যখন আপনি "6 মাত্রার ভূমিকম্প 5 মাত্রার চেয়ে 10 গুণ বেশি শক্তিশালী" পড়েন, আপনি লগারিদমিক যুক্তি ব্যবহার করছেন - এবং এখন আপনি এর পিছনে গণিত জানেন। লগারিদম মেশিন লার্নিংয়ের জন্যও মৌলিকঃ ক্রস-এন্ট্রপি ক্ষতি ফাংশন (নিউরাল নেটওয়ার্ক প্রশিক্ষণে ব্যবহৃত হয়) yi -Σ x log(pi হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়, যেখানে পাই হল পূর্বাভাসিত সম্ভাবনা। একটি বড় ভাষার মডেল, একটি ইমেজ ক্লাসিফায়ার, বা একটি সুপারিশ সিস্টেম প্রশিক্ষণ সবই শেষ পর্যন্ত লগারিদমিক ক্ষতির ফাংশনকে ন্যূনতম করার সাথে জড়িত। প্রতিটি আধুনিক এআই পণ্য যার সাথে আপনি প্রতিদিন ইন্টারঅ্যাক্ট করেন - সার্চ ইঞ্জিন থেকে চ্যাটবট পর্যন্ত - লগারিদমিক গণিত ব্যবহার করে প্রশিক্ষিত হয়েছিল।