حاسبة المثلثات – الجيب وجيب التمام والظل والدوال العكسية
احسب الجيب وجيب التمام والظل والدوال المثلثية العكسية. حلّ المثلثات القائمة وحوّل بين الدرجات والراديان. حاسبة مثلثات مجانية.
الدوال المثلثية الست
يقوم علم المثلثات على ست دوال أساسية تربط الزوايا بنسب أضلاع المثلث القائم. لزاوية θ في مثلث قائم بضلع مقابل O، وضلع مجاور A، ووتر H:
| الدالة | الاختصار | الصيغة | المعكوس |
|---|---|---|---|
| الجيب | sin θ | O/H | قاطع التمام (csc) |
| جيب التمام | cos θ | A/H | القاطع (sec) |
| الظل | tan θ | O/A | ظل التمام (cot) |
| قاطع التمام | csc θ | H/O | الجيب |
| القاطع | sec θ | H/A | جيب التمام |
| ظل التمام | cot θ | A/O | الظل |
تساعد قاعدة SOH-CAH-TOA على التذكر: الجيب = المقابل/الوتر، جيب التمام = المجاور/الوتر، الظل = المقابل/المجاور.
قيم الزوايا الشائعة
بعض الزوايا تظهر كثيراً وتستحق الحفظ:
| الدرجات | الراديان | sin | cos | tan |
|---|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 30° | π/6 | 1/2 | √3/2 | 1/√3 |
| 45° | π/4 | √2/2 | √2/2 | 1 |
| 60° | π/3 | √3/2 | 1/2 | √3 |
| 90° | π/2 | 1 | 0 | غير معرّف |
| 180° | π | 0 | −1 | 0 |
| 270° | 3π/2 | −1 | 0 | غير معرّف |
| 360° | 2π | 0 | 1 | 0 |
الدرجات مقابل الراديان
يمكن قياس الزوايا بالدرجات أو الراديان. تقسّم الدرجات الدائرة الكاملة إلى 360 جزءاً متساوياً. يقيس الراديان الزاوية كنسبة طول القوس إلى نصف القطر — الدائرة الكاملة تساوي 2π راديان.
صيغ التحويل:
- من الدرجات إلى الراديان: راديان = درجة × π / 180
- من الراديان إلى الدرجات: درجة = راديان × 180 / π
الراديان هو الوحدة الطبيعية في حساب التفاضل والتكامل والفيزياء. مشتقة sin(x) هي cos(x) فقط عندما يكون x بالراديان. في البرمجة، تستخدم معظم المكتبات الرياضية الراديان افتراضياً.
نظرية فيثاغورس والمتطابقات المثلثية
أهم متطابقة في علم المثلثات: sin²θ + cos²θ = 1. تنبثق مباشرةً من نظرية فيثاغورس (O² + A² = H²) مقسومةً على H².
متطابقات رئيسية أخرى:
- ضعف الزاوية: sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ)؛ cos(2θ) = cos²θ − sin²θ
- مجموع الزاويتين: sin(A+B) = sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B)
- متطابقة الظل: tan(θ) = sin(θ)/cos(θ)
- المعكوسات: csc(θ) = 1/sin(θ)؛ sec(θ) = 1/cos(θ)؛ cot(θ) = 1/tan(θ)
💡 هل تعلم؟
- كلمة "trigonometry" مشتقة من اليونانية: trigonon (مثلث) + metron (قياس).
- يُعدّ هيبارخوس النيقي (190-120 ق.م) "أبا علم المثلثات" — فقد جمع أول جدول مثلثي معروف.
- تعتمد الملاحة بـGPS ورسومات الحاسوب والموجات الصوتية والدوائر الكهربائية المتردّدة على الدوال المثلثية.
الأسئلة الشائعة
ما الفرق بين الجيب وجيب التمام والظل؟
في المثلث القائم: الجيب هو نسبة الضلع المقابل إلى الوتر؛ جيب التمام هو نسبة المجاور إلى الوتر؛ الظل هو نسبة المقابل إلى المجاور. تذكّر SOH-CAH-TOA. كل دالة تنتج قيمة بين −1 و1 (الظل يمكن أن يكون أي قيمة).
كيف أستخدم الدوال المثلثية العكسية (arcsin، arccos، arctan)؟
الدوال العكسية تجد الزاوية عند معرفة النسبة. إذا كان sin(θ) = 0.5، فـ θ = arcsin(0.5) = 30°. استخدم arcsin عند معرفة المقابل/الوتر؛ arccos عند معرفة المجاور/الوتر؛ arctan عند معرفة المقابل/المجاور. أزرار الآلة الحاسبة: sin⁻¹، cos⁻¹، tan⁻¹.
لماذا لا يُعرَّف tan(90°)؟
الظل = جيب / جيب تمام. عند 90°، cos(90°) = 0، والقسمة على صفر غير معرّفة. على الرسم البياني، يقترب الظل من ±اللانهاية كلما اقتربت الزاوية من 90°. يُسمى هذا بالمقارب الرأسي. كذلك tan(270°) غير معرّف.
ما تطبيقات الدوال المثلثية في الحياة العملية؟
تُستخدم المثلثات في: الملاحة (GPS، الطيران، الإبحار)، الهندسة المعمارية والإنشاء (زوايا الأسطح، حسابات الدرج)، الفيزياء (الموجات، التذبذبات، الدوائر المتردّدة)، رسومات الحاسوب (الدوران ثلاثي الأبعاد)، علم الفلك، وهندسة الإشارات.