Калькулятор расстояния (две точки)
Вычислите расстояние между двумя точками по формуле √((x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²). Бесплатный онлайн-калькулятор.
Что такое формула расстояния?
Расстояние между двумя точками на плоскости вычисляется по формуле расстояния: d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²). Это прямое применение теоремы Пифагора: горизонтальное и вертикальное смещения образуют катеты прямоугольного треугольника, а расстояние является гипотенузой.
Для нахождения расстояния между точками (x₁, y₁) и (x₂, y₂) вычислите разность по x (Δx = x₂ − x₁) и по y (Δy = y₂ − y₁). Возведите оба значения в квадрат, сложите и извлеките корень. Возведение в квадрат гарантирует, что отрицательные разности дают положительный результат — расстояние всегда неотрицательно.
Формула работает в любом направлении: горизонтальные отрезки (y₁ = y₂) дают d = |x₂ − x₁|; вертикальные (x₁ = x₂) дают d = |y₂ − y₁|; диагональные требуют полной формулы. Для двух совпадающих точек d = 0.
Это Евклидово расстояние в системе координат Декарта — расстояние «по прямой», в отличие от Манхэттенского расстояния (|Δx| + |Δy|).
Примеры пошагового вычисления
Пример 1 — Пифагорова тройка: Расстояние от (1, 2) до (4, 6).
- Δx = 4 − 1 = 3
- Δy = 6 − 2 = 4
- d = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5
Пример 2 — Иррациональный результат: От (0, 0) до (3, 7): d = √(9 + 49) = √58 ≈ 7,6158
Пример 3 — Отрицательные координаты: От (−3, −4) до (2, 8): Δx = 5, Δy = 12, d = √(25 + 144) = √169 = 13
| Точка A | Точка B | Δx | Δy | Расстояние |
|---|---|---|---|---|
| (0, 0) | (3, 4) | 3 | 4 | 5 (точно) |
| (0, 0) | (5, 12) | 5 | 12 | 13 (точно) |
| (−2, 3) | (4, −5) | 6 | −8 | 10 (точно) |
| (1, 2) | (3, 7) | 2 | 5 | √29 ≈ 5,385 |
Вывод формулы расстояния из теоремы Пифагора
Формула расстояния является прямым следствием теоремы Пифагора (a² + b² = c²). Для двух точек P₁(x₁, y₁) и P₂(x₂, y₂) построим прямоугольный треугольник с горизонтальным катетом |x₂ − x₁| и вертикальным катетом |y₂ − y₁|. По теореме Пифагора: d² = (x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)², откуда d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²).
Расстояние применяется в GPS-навигации, разработке игр, машинном обучении (kNN-алгоритм), робототехнике, физике (перемещение) и компьютерной графике.
Часто задаваемые вопросы
Что такое формула расстояния между двумя точками?
d = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²). Вычтите координаты, возведите в квадрат каждую разность, сложите и извлеките корень.
Важно ли, какая точка будет (x1,y1), а какая — (x2,y2)?
Нет. Расстояние симметрично: d(A,B) = d(B,A). Возведение разностей в квадрат гарантирует одинаковый результат.
Каково расстояние между двумя одинаковыми точками?
Нуль. d = √(0² + 0²) = 0.
Как найти расстояние в трёхмерном пространстве?
d = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)² + (z₂−z₁)²).
В чём разница между расстоянием и перемещением?
Расстояние — скалярная величина (насколько далеко). Перемещение — векторная (насколько далеко и в каком направлении). Формула расстояния даёт модуль вектора перемещения.
Что такое пифагоровы тройки?
Целочисленные наборы (a, b, c), где a²+b²=c². Наиболее известные: 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17. Когда Δx и Δy совпадают с тройкой, расстояние является точным целым числом.
Что такое формула средней точки?
M = ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2). Среднее арифметическое каждой пары координат.
Может ли расстояние быть отрицательным?
Нет. Расстояние всегда неотрицательно. Равно нулю только когда точки совпадают.