Convertisseur binaire en décimal

Comment fonctionne la conversion binaire en décimale

Le système binaire (base-2) utilise uniquement les chiffres 0 et 1. Chaque position représente une puissance de 2, doublant de droite à gauche.

Exemple: convertir 10112 en décimal

• Position 3 (le plus à gauche): 1 x 23 = 1 x 8 = 8
• position 2: 0 x 22 = 0 x 4 = 0
• Position 1: 1 x 21 = 1 x 2 = 2
• Position 0 (le plus à droite): 1 x 20 = 1 x 1 = 1
• Total: 8 + 0 + 2 + 1 est égal à 11

Pour les caractères décimaux et binaires, divisez à plusieurs reprises par 2 et enregistrez les résidus de bas en haut. 11 ÷ 2 = 5 R1, 5 ÷ 2 = 2 R1, 2 ÷ 2 = 1 R0, 1 ÷ 2 = 0 R1 -> lecture des résidus vers le haut:Nom de l'entreprise.

Ce système de notation fonctionne de la même manière que le système décimal, mais avec une base différente. En décimal (base-10), le nombre 347 signifie 3x102 + 4x101 + 7x100 = 300 + 40 + 7.

Valeur de référence de l'emplacement binaire

Le byte de 8 bits est l'unité fondamentale du stockage informatique. Voici la table complète des valeurs de place pour les nombres de 8 bits (0 - 255):

Un octet peut représenter n'importe quelle valeur de 0 (000000002) à 255 (111111112). Deux octets (16 bits) couvrent 0 - 65,535. Quatre octets (32 bits) couvrent 0 - 4,294,967,295.

Pouvoirs élargis du tableau 2

Pour les programmeurs et les informaticiens, connaître les puissances de 2 à 264 est essentiel pour comprendre l'adressage de la mémoire, les types de données et les limites du système:

Notez la différence entre les préfixes binaires (KiB, MiB, GiB - puissances de 2) et les préfixes SI (KB, MB, GB - puissances de 10). 1 GB = 1 000 000 000 d'octets; 1 GiB = 1 073 741 824 d'octets. Cette différence d'environ 7% explique pourquoi un disque dur "500 GB" apparaît comme ~465 GiB dans votre système d'exploitation (qui utilise généralement des unités binaires en interne).

Les valeurs binaires communes dans l'informatique

Ces valeurs binaires apparaissent fréquemment dans la programmation, le réseautage et l'administration de systèmes:

Comparaison binaire, hexadécimale et octale

Les programmeurs utilisent différentes bases numériques selon le contexte. Voici comment les mêmes valeurs apparaissent dans chaque système:

L'hexadécimal est le raccourci le plus courant pour le binaire parce que chaque chiffre hexadécimal correspond exactement à 4 bits binaires, ce qui rend la conversion triviale.chmod 755= 111 101 101 en binaire = rwxr-xr-x).

Numéros binaires signés (complément de deux)

Les ordinateurs représentent les nombres négatifs en utilisantle complément de deux-- la norme définie par l'IEEE et utilisée par pratiquement tous les processeurs modernes.

Pour nier un nombre dans le complément de deux: inverser tous les bits et ajouter 1. Par exemple, +5 = 00000101 -> inverser -> 11111010 -> ajouter 1 -> 11111011 = -5.

Les plages pour les types d'entiers communs:

Le binaire dans la technologie de tous les jours

Le binaire est le fondement de tous les calculs modernes car les transistors ont deux états stables (allumé/éteint, 1/0).

• Taille des fichiers:1 kilobyte = 210 = 1 024 octets; 1 mégaoctet = 220 = 1 048 576 octets; 1 gigabyte = 230 octets
• Les couleurs:Les couleurs RVB sont trois valeurs de 8 bits. #FF5733 en hex = (255, 87, 51) en décimal = (11111111, 01010111, 00110011) en binaire
• Le code ASCII est le suivant:La lettre "A" = décimale 65 = binaire 01000001; "a" = 97 = 01100001
• Nom de code Unicode:La plupart des caractères de texte s'adaptent au code binaire à 16 bits (intervalle 0 - 65 535)
• Adresses IP:Les adresses IPv4 sont composées de quatre groupes binaires de 8 bits: 192.168.1.1 = 11000000.10101000.00000001.00000001

La compréhension du binaire aide directement à la programmation (opérations par bits, drapeaux), à la mise en réseau (calculs IP / sous-réseau) et au travail avec du matériel de bas niveau.

Arithmétique binaire: addition et soustraction

L'arithmétique binaire suit les mêmes règles que la décimale, mais avec seulement deux chiffres.

Exemple: 1011 + 0110

Travail de droite à gauche: 1+0=1, 1+1=10 (écrire 0 porter 1), 0+1+1=10 (écrire 0 porter 1), 1+0+1=10 (écrire 0 porter 1). Résultat:Autres produits(points décimaux: 11 + 6 = 17)

Pour calculer A-B, le processeur calcule A + (-B), où -B est le complément de B. Cela permet à un seul circuit d'addition de gérer à la fois l'addition et la soustraction.

Opérations par bits

Les langages de programmation fournissent des opérateurs par bits qui manipulent des bits individuels.

Le déplacement de bits est significativement plus rapide que la multiplication / division dans de nombreux processeurs.x << 1est équivalent àx × 2, etx >> 1est équivalent àx ÷ 2Les moteurs de jeux et les firmwares intégrés utilisent largement ces opérations pour la performance.

Décimal codé binaire (BCD)

Le code binaire décimal représente chaque chiffre décimal en utilisant son propre modèle binaire à 4 bits.

Le BCD est moins économe en espace que le binaire pur (10 des 16 combinaisons possibles de 4 bits sont utilisées), mais il simplifie l'affichage décimal - chaque grignotage correspond directement à un chiffre affiché.

Binarie à virgule flottante (IEEE 754)

Les nombres décimaux avec des parties fractionnaires (comme 3.14) sont stockés en binaire en utilisant leRéseau électriqueUn float de 32 bits (à précision unique) se compose de trois parties:

Exemple: le nombre décimal-6,5 àdans la norme IEEE 754 de précision unique:

1. Signe = 1 (négatif)
2. 6,5 en binaire est égal à 110,12 est égal à 1,101 x 22 (normalisé)
3. L'exposant est égal à 2 + 127 (bias) = 129 = 100000012.
4. Mantissa = 10100000000000000000000 (23 bits, le premier 1 implicite est omis)
5. Représentation complète:1 10000001 10100000000000000000000 le nombre d'employés dans le secteur de l'agriculture

C'est pourquoi 0.1 + 0.2 ≠ 0.3 dans la plupart des langages de programmation - la fraction décimale 0.1 a une représentation répétitive infinie en binaire (comme 1/3 en décimal = 0.333 ...), il doit donc être arrondi, introduisant de petites erreurs.decimalle module de JavaBigDecimal) au lieu de virgule flottante.

Codage des caractères: de l'ASCII à l'UTF-8

Le texte est stocké sous forme de nombres binaires associés à des caractères. L'évolution du codage des caractères reflète l'expansion mondiale de l'informatique:

UTF-8 code les caractères ASCII en un seul octet (identique à l'ASCII ordinaire), les caractères européens en 2 octets, les caractères CJK en 3 octets et les emoji en 4 octets. Plus de 98% de toutes les pages Web utilisent le codage UTF-8 (selon W3Techs, 2024).

Porte logique binaire

Les portes logiques sont les blocs de construction physiques de tous les circuits numériques. Chaque porte effectue une opération binaire simple sur un ou deux bits d'entrée:

La porte NAND est appeléeporte universelleLes processeurs modernes contiennent des milliards de transistors disposés dans des portes NAND et NOR, qui sont ensuite combinés en adders, multiplexeurs, flip-flops et tous les autres éléments constitutifs d'un processeur. La puce Apple M3 contient environ 25 milliards de transistors - chacun d'entre eux est un commutateur binaire microscopique qui est activé (1) ou désactivé (0).

La porte XOR a une propriété spéciale: elle donne 1 lorsque les deux entrées sont différentes. Cela en fait le fondement de l'addition binaire (le bit de somme d'un demi-additif), de la détection d'erreur (vérification de parité) et du cryptage simple (chiffre XOR).

Histoire du binaire: de Leibniz à l'informatique moderne

Le système binaire a une riche histoire intellectuelle:

L'idée de Leibniz que tous les nombres pouvaient être exprimés en utilisant seulement 0 et 1 était purement mathématique - il n'a jamais imaginé d'ordinateurs électroniques. La thèse de maîtrise de 1937 de Shannon reliait la logique booléenne (binaire) aux relais électriques, créant ainsi les fondements théoriques de toute l'électronique numérique.

Le binaire dans les réseaux: adresses IP et masques de sous-réseau

La compréhension du binaire est essentielle pour l'administration du réseau. Les adresses IPv4 et les masques de sous-réseau sont des nombres binaires de 32 bits:

L'adresse réseau est calculée par ANDing l'IP avec le masque de sous-réseau. L'adresse de diffusion définit tous les bits hôte à 1. Le nombre d'adresses hôte utilisables = 2^{(32-préfixe)}Pour un réseau 24h/24: 28 - 2 = 254 hôtes utilisables.

Taille des sous-réseaux communs: