🟢 Beginner

Binary to Decimal Converter

Convert binary numbers to decimal and decimal to binary instantly. Supports up to 64-bit numbers. This free converter gives instant, accurate results.

چگونگی تبدیل دودویی به دسیمی

دودویی (پایه 2) فقط از اعداد 0 و 1 استفاده می‌کند. هر موقعیت یک قدرت از 2 را نشان می‌دهد که از راست به چپ افزایش می‌یابد. برای تبدیل دودویی به دسیمی، هر رقم دودویی را با ارزش جایگاه آن ضرب کنید و نتایج را جمع کنید.

مثال: تبدیل 1011₂ به دسیمی

جایگاه 3 (چپ‌ترین): 1 × 2³ = 1 × 8 = 8
جایگاه 2: 0 × 2² = 0 × 4 = 0
جایگاه 1: 1 × 2¹ = 1 × 2 = 2
جایگاه 0 (راست‌ترین): 1 × 2⁰ = 1 × 1 = 1
مجموعه: 8 + 0 + 2 + 1 = 11

برای تبدیل دسیمی به دودویی، به طور تکراری توسط 2 تقسیم کنید و از پایین به بالا رمانده‌ها را ثبت کنید. 11 ÷ 2 = 5 R1، 5 ÷ 2 = 2 R1، 2 ÷ 2 = 1 R0، 1 ÷ 2 = 0 R1 → رمانده‌ها را از بالا به پایین بخوانید: 1011.

این سیستم نشانگری موقعیت‌دار همانند دسیمی — فقط با پایه‌ای متفاوت — کار می‌کند. در دسیمی (پایه 10)، عدد 347 به این صورت است: 3 × 10² + 4 × 10¹ + 7 × 10⁰ = 300 + 40 + 7. دودویی با همان اصل کار می‌کند اما با قدرت‌های 2 بجای قدرت‌های 10.

مرجع ارزش‌های جایگاه دودویی

بایت 8 بیت واحد بنیادین ذخیره‌سازی رایانه است. جدول کامل ارزش‌های جایگاه برای اعداد 8 بیتی (0–255) را در زیر می‌بینید:

جایگاه بیت	پاور 2	مقدار دسیمی
بیت 7 (MSB)	2⁷	128
بیت 6	2⁶	64
بیت 5	2⁵	32
بیت 4	2⁴	16
بیت 3	2³	8
بیت 2	2²	4
بیت 1	2¹	2
بیت 0 (LSB)	2⁰	1

یک بایت می‌تواند هر مقدار از 0 (00000000₂) تا 255 (11111111₂) را نشان دهد. دو بایت (16 بیت) 0–65,535 را پوشش می‌دهد. چهار بایت (32 بیت) 0–4,294,967,295 را پوشش می‌دهد.

جدول قدرت‌های 2 گسترش‌یافته

برای برنامه‌نویسان و دانشمندان رایانه، دانستن قدرت‌های 2 تا 2⁶⁴ برای درک آدرس‌دهی حافظه، نوع داده‌ها و محدودیت‌های سیستم ضروری است:

پاور	مقدار دسیمی	معنی
2⁰	1	واحد کوچک‌ترین (1 بیت)
2⁸	256	رنج یک بایت (0–255)
2¹⁰	1,024	1 کی‌بی (کبایبی)
2¹⁶	65,536	رنج 16 بیتی; محدودیت پورت TCP
2²⁰	1,048,576	1 مگابایتی (مبایبی)
2²⁴	16,777,216	رنگ 24 بیتی (16.7 میلیون رنگ)
2³⁰	1,073,741,824	1 گیگابایتی (گیگابایبی)
2³²	4,294,967,296	رنج آدرس 32 بیتی; حداکثر IPv4
2⁴⁰	1,099,511,627,776	1 تگابایتی (تگابایبی)
2⁶⁴	18,446,744,073,709,551,616	رنج آدرس 64 بیتی; پردازنده‌های مدرن

توجه کنید که بین پیش‌واژه‌های دودویی (کی‌بی، مگابایتی، گیگابایتی — قدرت‌های 2) و پیش‌واژه‌های SI (کیلوبایت، مگابایت، گیگابایت — قدرت‌های 10) تفاوت وجود دارد. 1 گیگابایت = 1,000,000,000 بایت؛ 1 گیگابایتی = 1,073,741,824 بایت. این ~7% اختلاف باعث می‌شود که یک هارد دیسک 500 گیگابایتی به عنوان ~465 گیگابایتی در سیستم‌عامل شما نشان داده شود (که معمولاً از واحدهای دودویی داخلی استفاده می‌کند).

ارزش‌های دودویی، هگزادسیمال و اکتال در رایانه

برنامه‌نویسان از پایه‌های مختلف عدد به دلیل زمینه استفاده متفاوت استفاده می‌کنند. در زیر می‌توانید ببینید که چگونه یک عدد در هر یک از این سیستم‌ها نشان داده می‌شود:

دسیمی	دودویی	هگزادسیمال	اکتال	مورد استفاده
0	0000	0x0	0o0	صفر / بایت خالی
7	0111	0x7	0o7	پذیرش Unix (rwx)
10	1010	0xA	0o12	—
15	1111	0xF	0o17	حداکثر 4 بیت (نایب)
16	10000	0x10	0o20	—
127	1111111	0x7F	0o177	حداکثر 8 بیت امضا شده
255	11111111	0xFF	0o377	حداکثر 8 بیت بدون امضا
511	111111111	0x1FF	0o777	پذیرش Unix rwxrwxrwx
1023	1111111111	0x3FF	0o1777	حداکثر 10 بیت (ADC)

هگزادسیمال به دلیل این که هر حرف هگزادسیمال به طور دقیق 4 بیت دودویی را نشان می‌دهد، شایع‌ترین پیش‌واژه برای دودویی است. اکتال 3 بیت را به هر حرف نشان می‌دهد و بیشتر برای پذیرش Unix (مثلاً chmod 755 = 111 101 101 در دودویی = rwxr-xr-x) استفاده می‌شود.

مقایسه دودویی، هگزادسیمال و اکتال

دسیمی	دودویی	هگزادسیمال	اکتال	مورد استفاده
0	0000	0x0	0o0	صفر / بیت خالی
7	0111	0x7	0o7	پذیرش Unix (rwx)
10	1010	0xA	0o12	—
15	1111	0xF	0o17	حداکثر 4 بیت (نایب)
16	10000	0x10	0o20	—
127	1111111	0x7F	0o177	حداکثر 8 بیت امضا شده
255	11111111	0xFF	0o377	حداکثر 8 بیت بدون امضا
511	111111111	0x1FF	0o777	پذیرش Unix rwxrwxrwx
1023	1111111111	0x3FF	0o1777	حداکثر 10 بیت (ADC)

اعداد باینری امضا شده (دو کمکی)

رایانه ها اعداد منفی را با استفاده از دو کمکی — استانداردی که توسط IEEE و توسط پردازنده های مدرن تقریباً همه استفاده می شود — نشان می دهند. در یک سیستم دو کمکی 8 بیتی:

باینری	عددی بدون علامت	اعداد منفی (دو کمکی)
00000000	0	0
00000001	1	+1
01111111	127	+127 (بیشترین مثبت)
10000000	128	−128 (کمترین منفی)
10000001	129	−127
11111110	254	−2
11111111	255	−1

برای منفی کردن یک عدد در دو کمکی: تمام بیت ها را معکوس کنید و 1 را اضافه کنید. برای مثال، +5 = 00000101 → معکوس → 11111010 → 1 اضافه کنید → 11111011 = −5.

محدوده های رایج برای انواع صحیح:

نوع	بیت ها	رنج بدون علامت	رنج با علامت
بایت / uint8	8	0 تا 255	−128 تا +127
کوتاه / int16	16	0 تا 65,535	−32,768 تا +32,767
صفر / int32	32	0 تا 4,294,967,295	−2,147,483,648 تا +2,147,483,647
طولانی / int64	64	0 تا 18.4 × 10¹⁸	−9.2 × 10¹⁸ تا +9.2 × 10¹⁸

باینری در فناوری روزمره

باینری بنیان تمام محاسبات مدرن است زیرا ترانزیستورها دو حالت پایدار (فعال/غیرفعال، 1/0) دارند. کاربردهای کلیدی:

اندازه فایل: 1 کیلوبایت = 2¹⁰ = 1,024 بایت; 1 مگابایت = 2²⁰ = 1,048,576 بایت; 1 گیگابایت = 2³⁰ بایت
رنگ ها: رنگ های RGB سه مقدار 8 بیتی هستند. #FF5733 در هگز = (255, 87, 51) در دهدهی = (11111111, 01010111, 00110011) در باینری
کدگذاری ASCII: حرف 'A' = 65 = باینری 01000001; 'a' = 97 = 01100001
یونیکد: بیشتر کاراکترهای متن در 16 بیت باینری (رنج 0 تا 65,535) جا می گیرند
آدرس IP: آدرس های IPv4 چهار گروه 8 بیتی هستند: 192.168.1.1 = 11000000.10101000.00000001.00000001

درک باینری به طور مستقیم در برنامه نویسی (عملیات باینری، پرچم ها)، شبکه (محاسبات IP/شبکه) و کار با سخت افزار سطح پایین کمک می کند.

آریتمتیک باینری: جمع و تفریق

آرایتمتیک باینری همان قوانین آرایتمتیک دهدهی را دنبال می کند، اما با تنها دو رقم. جدول جمع به این صورت است:

A	B	جمع	حمل
0	0	0	0
0	1	1	0
1	0	1	0
1	1	0	1

مثال: 1011 + 0110

از راست به چپ کار می کنیم: 1+0=1، 1+1=10 (0 را بنویسید، 1 را حمل کنید)، 0+1+1=10 (0 را بنویسید، 1 را حمل کنید)، 1+0+1=10 (0 را بنویسید، 1 را حمل کنید). نتیجه: 10001 (دهدهی: 11+6=17 ✓)

تفریق در سخت افزار معمولاً با استفاده از دو کمکی زیراب می شود. برای محاسبه A−B، پردازنده A + (−B) را محاسبه می کند، جایی که −B دو کمکی زیراب B است. این اجازه می دهد تا یک مدار جمع کننده واحد را برای هر دو جمع و تفریق استفاده کنید.

عملیات باینری

زبان های برنامه نویسی عملیات باینری را که بیت های فردی را دستکاری می کنند، ارائه می دهند. این ها برای برنامه نویسی سطح پایین، سیستم های تعبیه شده و بهینه سازی عملکرد ضروری هستند:

عملیات	نماد	مثال (8 بیت)	نتیجه	مورد استفاده
AND	&	10110101 & 11110000	10110000	پوشش بیت ها، استخراج فیلد ها
OR	\|	10110101 \| 00001111	10111111	تنظیم بیت ها، ترکیب پرچم ها
XOR	^	10110101 ^ 11111111	01001010	تغییر بیت ها، رمزگذاری ساده
NOT	~	~10110101	01001010	معکوس بیت
پایین تر شیفت	<<	00000101 << 2	00010100	ضرب توسط 2ⁿ
بالاتر شیفت	>>	00010100 >> 2	00000101	تقسیم توسط 2ⁿ

شیفت کردن بیت به طور قابل توجهی سریعتر از ضرب و تقسیم در بسیاری از پردازنده ها است. x << 1 معادل x × 2 است و x >> 1 معادل x ÷ 2 (تقسیم صحیح) است. بازی های ویندوزی و نرم افزار تعبیه شده از این عملیات ها به طور گسترده برای عملکرد استفاده می کنند.

باینری کد شده دهدهی (BCD)

باینری کد شده دهدهی هر رقم دهدهی را با استفاده از الگویی 4 بیتی باینری نشان می دهد. در حالیکه باینری خالص ساختار دهدهی را حفظ نمی کند:

دهدهی	باینری خالص	BCD
0	0000	0000
5	0101	0101
9	1001	1001
10	1010	0001 0000
42	101010	0100 0010
99	1100011	1001 1001
255	11111111	0010 0101 0101

BCD کمتر از باینری خالص (10 از 16 ممکن 4 بیتی استفاده می شود) فشرده است، اما نمایش دهدهی را ساده می کند — هر نیمه باینری مستقیماً به یک رقم نمایشی تبدیل می شود. BCD در ساعت های دیجیتال، کالباس ها، سیستم های مالی (در آن جا که نمایش دقیق دهدهی مهم است) و پایگاه های داده های قدیمی (COBOL، IBM EBCDIC) استفاده می شود.

فلوئینگ پوینت باینری (IEEE 754)

اعداد دهدهی با بخش های کسر (مانند 3.14) در باینری با استاندارد IEEE 754 ذخیره می شود. یک عدد باینری 32 بیتی (فلوئینگ نقطه ای تک دقت) سه بخش دارد:

فیلد	بیت ها	目的
علامت	1	0 = مثبت، 1 = منفی
امپلکس	8	امپلکس متمایز شده (متمایز = 127)
مانتسا (معنی دارنده)	23	بخش کسر (1 پیش فرض leading)

مثال: عدد دهدهی −6.5 در IEEE 754 تک دقت:

علامت = 1 (منفی)
6.5 در باینری = 110.1₂ = 1.101 × 2² (معمول سازی شده)
امپلکس = 2 + 127 (متمایز) = 129 = 10000001₂
مانتسا = 10100000000000000000000 (23 بیت، 1 leading پیش فرض حذف شده)
نمایش کامل: 1 10000001 10100000000000000000000

این است که چرا 0.1 + 0.2 ≠ 0.3 در بیشتر زبان های برنامه نویسی — بخش کسر 0.1 در باینری (مانند 1/3 در دهدهی = 0.333… ) دارای نمایانگر نامتناهی است، بنابراین باید تقریب زده شود، خطا های کوچک ایجاد می کند. برای محاسبات مالی، از کتابخانه های آرایه دهدهی (مدول decimal پایتون، BigDecimal جاوا) بجای آرایه نقطه ای استفاده کنید.

کدگذاری کاراکتر: از ASCII به UTF-8

متن به عنوان اعداد باینری مapped به کاراکترها ذخیره می شود. تکامل کدگذاری کاراکتر نشان دهنده گسترش جهانی رایانه است:

کدگذاری	سال	بیت ها در هر کاراکتر	کاراکترهای پشتیبانی شده	نکات
ASCII	1963	7 (در 8 ذخیره شده)	128	حروف انگلیسی، اعداد، علامت های نگارشی
ASCII گسترش یافته (ISO 8859-1)	1987	8	256	کاراکترهای اروپایی غربی (é، ñ، ü)
UTF-8	1993	8–32 (متغیر)	1,112,064	compatible با backward با ASCII؛ استاندارد وب
UTF-16	1996	16–32 (متغیر)	1,112,064	در جاوا، ویندوز، جاوا اسکریپت داخلی استفاده می شود
UTF-32	2000	32 (ثابت)	1,112,064	عرض ثابت؛ فضایی برای متن لاتین را ضایع می کند

UTF-8 کاراکترهای ASCII را در یک بایت (مثبت با ASCII عادی) ، کاراکترهای اروپایی را در 2 بایت ، کاراکترهای چینی را در 3 بایت و کاراکترهای اموجی را در 4 بایت کدگذاری می کند. بیش از 98 درصد از تمام صفحات وب از کدگذاری UTF-8 استفاده می کنند (بر اساس W3Techs، 2024).

گیت های منطقی باینری

گیت های منطقی بلوک های فیزیکی همه مدارهای دیجیتال هستند. هر گیت یک عملیات باینری ساده بر روی یک یا دو ورودی بیت انجام می دهد:

گیت	نماد	جدول حقیقت (A,B → خروجی)	توضیح
AND	A·B	0,0→0; 0,1→0; 1,0→0; 1,1→1	خروجی فقط در صورت اینکه هر دو ورودی 1 باشد
OR	A+B	0,0→0; 0,1→1; 1,0→1; 1,1→1	خروجی در صورت اینکه حداقل یک ورودی 1 باشد
NOT	¬A	0→1; 1→0	ورودی را معکوس می کند
NAND	¬(A·B)	0,0→1; 0,1→1; 1,0→1; 1,1→0	اند و نه؛ گیت جهانی
XOR	A⊕B	0,0→0; 0,1→1; 1,0→1; 1,1→0	خروجی در صورت اینکه ورودی ها متفاوت باشند

گیت NAND به عنوان گیت جهانی شناخته می شود زیرا هر عمل منطقی دیگر می تواند با استفاده از فقط گیت های NAND ساخته شود. پردازنده های مدرن شامل میلیارد ها ترانزیستور که به صورت NAND و NOR گیت ها ترکیب شده اند، که سپس به صورت افزودن ها، چندگانه ها، فلاپ فلوپ ها و همه بلوک های ساختاری دیگر پردازنده ترکیب می شوند. ترانزیستور اپل M3 حدود 25 میلیارد ترانزیستور دارد — هر یک از آنها یک سوئیچ باینری میکروسکوپی است که یا فعال (1) یا غیرفعال (0) است.

گیت XOR دارای خاصیتی است: خروجی را در صورت اینکه ورودی ها متفاوت باشند، تولید می کند. این باعث می شود که آن را بنیانگذار افزودن باینری (مجموعه بیت های افزودن)، تشخیص خطا (پاریتا) و رمزگذاری ساده (رمزگذاری XOR) شود.

تاریخ باینری: از لایبنیتس تا رایانه‌های مدرن

سیستم باینری یک تاریخچه فکری غنی دارد:

سال	شخص/رویداد	مخاطب
~300 قبل از میلاد	پینگالا ( ریاضی‌دان هندی)	استفاده از سیستم باینری مانند برای طبقه‌بندی مترهای شعر
1679	گوتفرید لایبنیتس	توصیف رسمی حساب باینری مدرن؛ دیدگاه‌های خود را به چینگ چینی دید
1847	جورج بویل	انتشار "تحلیل ریاضیاتی منطق" — اساس منطق بولین
1937	کلدوی شانون (توصیفه کارشناسی ارشد MIT)	نمایش توانایی منطق بولین برای مدل‌سازی مدارهای سوئیچینگ الکتریکی
1945	جان وون نئومان	پیشنهاد معماری رایانه باینری ذخیره‌ساز (معماری وون نئومان)
1971	اینتل 4004	پردازنده میکروکامپیوتر تجاری اولین — 2,300 ترانزیستور، 4 بیت باینری
2024	پردازنده‌های مدرن	میلیون‌ها ترانزیستور؛ معماری باینری 64 بیت استاندارد

دیدگاه لایبنیتس که تمام اعداد می‌توانند با استفاده از تنها 0 و 1 بیان شوند، صرفاً ریاضی بود — او هیچگاه رایانه‌های الکترونیکی را تصور نکرده بود. توصیفه کارشناسی ارشد شانون در سال 1937، منطق بولین (باینری) را به مدارهای سوئیچینگ الکتریکی متصل کرد و پایه نظری برای تمام الکترونیک دیجیتال ایجاد کرد. این توصیفه کارشناسی ارشد ممکن است "توصیفه کارشناسی ارشد مهم‌ترین قرن بیستم" باشد.

باینری در شبکه: آدرس‌های IP و ماسک‌های زیر شبکه

فهم باینری برای مدیریت شبکه ضروری است. آدرس‌های IP و ماسک‌های زیر شبکه 32 بیت باینری هستند:

توضیح	دستگاه دهدهی	باینری
آدرس IP	192.168.1.100	11000000.10101000.00000001.01100100
ماسک زیر شبکه (/24)	255.255.255.0	11111111.11111111.11111111.00000000
آدرس شبکه	192.168.1.0	11000000.10101000.00000001.00000000
آدرس پخش	192.168.1.255	11000000.10101000.00000001.11111111

آدرس شبکه با عمل AND کردن آدرس IP و ماسک زیر شبکه محاسبه می‌شود. آدرس پخش تمام بیت‌های میزبان را 1 می‌کند. تعداد آدرس‌های قابل استفاده = 2^(32-پیش‌فرض) - 2. برای یک زیر شبکه /24: 2^8 - 2 = 254 آدرس میزبان قابل استفاده.

اندازه‌های زیر شبکه رایج:

CIDR	ماسک زیر شبکه	میزبان	استفاده معمول
/32	255.255.255.255	1	مسیر تک میزبان
/30	255.255.255.252	2	پیوند نقطه به نقطه
/24	255.255.255.0	254	LAN استاندارد
/16	255.255.0.0	65,534	شبکه گسترده دانشگاهی
/8	255.0.0.0	16,777,214	تخصیص کلاس A

سوال‌های متداول

چطور می‌توانم 1100 را به دهدهی تبدیل کنم؟

1100 در باینری: 1×8 + 1×4 + 0×2 + 0×1 = 8 + 4 = 12. بنابراین 1100 در باینری = 12 در دهدهی.

255 در باینری چیست؟

255 در باینری 11111111 است — هشت بیت را به 1 تنظیم کنید. این حداکثر مقدار یک بایت و در شبکه (ماسک زیر شبکه 255.255.255.0) و رنگ‌ها (رنگ سرخ کامل = 255، 0، 0) ظاهر می‌شود.

چطور می‌توانم 100 را به باینری تبدیل کنم؟

در حال تکرار تقسیم کنید: 100÷2=50 ر0، 50÷2=25 ر0، 25÷2=12 ر1، 12÷2=6 ر0، 6÷2=3 ر0، 3÷2=1 ر1، 1÷2=0 ر1. از بالا به پایین بیت‌ها را بخوانید: 1100100₂. تأیید کنید: 64+32+4 = 100. ✓

تفاوت بین باینری و هگزادسیمال چیست؟

باینری از پایه 2 (صفر تا یک) استفاده می‌کند؛ هگزادسیمال از پایه 16 (صفر تا 9، A تا F) استفاده می‌کند. هگزادسیمال کوتاه‌نامه‌ای برای باینری است — هر رقم هگزادسیمال دقیقاً 4 بیت باینری را نشان می‌دهد. برای مثال، هگزادسیمال FF = باینری 11111111 = دهدهی 255.

چرا رایانه‌ها از باینری استفاده می‌کنند و نه از دهدهی؟

موجودی‌های الکترونیکی به طور طبیعی باینری هستند: یک ترانزیستور either on (1) یا off (0) است، و ولتاژ either بالا یا پایین است. دهدهی نیاز به 10 سطح ولتاژ مختلف دارد که در سخت‌افزار قابل پیاده‌سازی است. باینری tolerant against noise و به طور کامل منطق true/false را نشان می‌دهد.

چه چیزی دو کمپلمان است؟

دو کمپلمان روش استاندارد برای نشان دادن اعداد منفی (مثبت و منفی) در باینری است. برای پیدا کردن دو کمپلمان (منفی) یک عدد: تمام بیت‌ها را معکوس کنید و 1 را اضافه کنید. در یک سیستم 8 بیتی، +5 00000101 است، و -5 11111011 است. بیت سمت چپ علامت است: 0 = مثبت، 1 = منفی. این سیستم اجازه می‌دهد تا یک مدار جمع‌کننده برای هر دو جمع و تفریق استفاده شود.

چطور می‌توانم باینری را به هگزادسیمال تبدیل کنم؟

بیت‌های باینری را به گروه‌های 4 از راست به چپ تقسیم کنید، سپس هر گروه را به هگزادسیمال تبدیل کنید. مثال: 10110101₂ → 1011 0101 → B5₁₆. گروه‌بندی‌ها هستند: 0000=0، 0001=1، 0010=2، ...، 1001=9، 1010=A، 1011=B، 1100=C، 1101=D، 1110=E، 1111=F.