Binair naar Decimaal Omrekentool

Hoe werkt de omzetting van binair naar decimaal

Binair (basis-2) gebruikt alleen de cijfers 0 en 1. Elke positie vertegenwoordigt een macht van 2, die dubbel zo groot is als de vorige. Om binair naar decimaal om te zetten, vermenigvuldig elke binair cijfer met zijn plaatswaarde en som de resultaten op.

Forbeeld: Om 1011₂ naar decimaal om te zetten

• Positie 3 (links): 1 × 2³ = 1 × 8 = 8
• Positie 2: 0 × 2² = 0 × 4 = 0
• Positie 1: 1 × 2¹ = 1 × 2 = 2
• Positie 0 (rechts): 1 × 2⁰ = 1 × 1 = 1
• Totaal: 8 + 0 + 2 + 1 = 11

Om decimaal naar binair om te zetten, deel herhaaldelijk door 2 en noteer de resten van onderen naar boven. 11 ÷ 2 = 5 R1, 5 ÷ 2 = 2 R1, 2 ÷ 2 = 1 R0, 1 ÷ 2 = 0 R1 → lees de resten omhoog: 1011.

Deze positie-notatie werkt hetzelfde als decimaal — maar met een andere basis. In decimaal (basis-10) betekent het getal 347 3×10² + 4×10¹ + 7×10⁰ = 300 + 40 + 7. Binair gebruikt dezelfde principes, maar met machten van 2 in plaats van machten van 10.

Referentie tabel voor binair plaatswaarden

De 8-bits byte is de fundamentele eenheid van computeropslag. Hier is de complete tabel met plaatswaarden voor 8-bits getallen (0–255):

Een byte kan elk waarde vertegenwoordigen van 0 (00000000₂) tot 255 (11111111₂). Twee bytes (16 bits) dekken 0–65.535. Vier bytes (32 bits) dekken 0–4.294.967.295.

Uitgebreide machten van 2-tabel

Voor programmeurs en computerwetenschappers is het weten van machten van 2 tot 2⁶⁴ essentieel voor het begrijpen van geheugenadressering, gegevenstypen en systeemlimieten:

Let op de verschillen tussen binair prefixen (KiB, MiB, GiB — machten van 2) en SI prefixen (KB, MB, GB — machten van 10). 1 GB = 1.000.000.000 bytes; 1 GiB = 1.073.741.824 bytes. Deze ~7% verschil verklaart waarom een "500 GB" harde schijf als ~465 GiB wordt weergegeven in je OS (wat typisch binair eenheden intern gebruikt).

Algemene binair waarden in de computer

Deze binair waarden komen vaak voor in programmeren, netwerken en systeembeheer:

Binair, hexadecimaal en octaal vergelijking

Programmeurs gebruiken verschillende getalbases afhankelijk van de context. Hier is hoe de zelfde waarden in elke systeem verschijnen:

Hexadecimaal is de meest voorkomende afkorting voor binair omdat elke hexadecimale cijfer precies 4 binair bits vertegenwoordigt — wat de omzetting gemakkelijk maakt. Octaal vertegenwoordigt 3 bits per cijfer en wordt voornamelijk gebruikt voor Unix-bestandsrechten (bijv. chmod 755 = 111 101 101 in binair = rwxr-xr-x).

Getekende Binair Getallen (Twee's Complement)

Computers vertegenen negatieve getallen met twee's complement — de standaard die is gedefinieerd door IEEE en gebruikt wordt door bijna alle moderne processors. In een 8-bits twee's complement systeem:

Om een getal in twee's complement om te zetten: alle bits omkeren en 1 toevoegen. Bijvoorbeeld, +5 = 00000101 → omkeren → 11111010 → 1 toevoegen → 11111011 = −5.

De bereikten voor gemeenschappelijke gehele getal typen:

Binair in de Dagelijkse Technologie

Binair is de basis van alle moderne computer technologie omdat transistors twee stabiele toestanden hebben (aan/uit, 1/0). Sleuteltoepassingen:

• Bestandsgrootte: 1 kilobyte = 2¹⁰ = 1.024 bytes; 1 megabyte = 2²⁰ = 1.048.576 bytes; 1 gigabyte = 2³⁰ bytes
• Kleuren: RGB-kleuren zijn drie 8-bits waarden. #FF5733 in hex = (255, 87, 51) in decimaal = (11111111, 01010111, 00110011) in binair
• ASCII codering: De letter 'A' = decimaal 65 = binair 01000001; 'a' = 97 = 01100001
• Unicode: De meeste teksttekens passen in 16-bits binair (0–65.535 bereik)
• IP-adressen: IPv4-adressen zijn vier 8-bits binair groepen: 192.168.1.1 = 11000000.10101000.00000001.00000001

Omgaan met binair helpt rechtstreeks bij programmeren (bitwise operaties, vlaggen), netwerken (IP/subnet berekeningen) en werken met laag niveau hardware.

Binair Rekenen: Optellen en Aftrekken

Binair rekenen volgt dezelfde regels als decimaal, maar met slechts twee cijfers. De optellen tabel is:

Forbeeld: 1011 + 0110

Van rechts naar links werken: 1+0=1, 1+1=10 (schrijf 0 overdracht 1), 0+1+1=10 (schrijf 0 overdracht 1), 1+0+1=10 (schrijf 0 overdracht 1). Resultaat: 10001 (decimaal: 11+6=17)

Aftrekken in hardware wordt typisch uitgevoerd door het twee's complement van het aftrekken getal toe te voegen. Om A−B te berekenen, berekent de processor A + (−B), waar −B het twee's complement van B is. Dit maakt het mogelijk om een enkelvoudig adder circuit te gebruiken voor zowel optellen als aftrekken.

Bitwise Operaties

Programmeertalen bieden bitwise operatoren die individuele bits manipuleren. Deze zijn fundamenteel voor laag niveau programmeren, embedded systemen en prestatie optimalisatie:

Bit verschuiven is aanzienlijk sneller dan vermenigvuldigen/delen in veel processors. x << 1 is gelijk aan x × 2, en x >> 1 is gelijk aan x ÷ 2 (gehele deling). Game engines en embedded firmware gebruiken deze operaties uitgebreid voor prestaties.

Binair-Gecodeerde Decimaal (BCD)

Binair-Gecodeerde Decimaal vertegenwoordigt elk decimaal cijfer met zijn eigen 4-bits binair patroon. In tegenstelling tot zuiver binair, bewaart BCD de decimale structuur:

BCD is minder ruimte-efficiënt dan zuiver binair (10 van de 16 mogelijke 4-bits combinaties worden gebruikt), maar het vereenvoudigt decimale weergave — elk nibble wordt rechtstreeks gemapt naar een weergegeven cijfer. BCD wordt gebruikt in digitale klokken, rekenmachines, financiële systemen (waar exacte decimale vertegenwoordiging belangrijk is) en oude mainframe databases (COBOL, IBM EBCDIC).

Character Encoding: Van ASCII naar UTF-8

Tekst wordt opgeslagen als binair getallen die zijn gekoppeld aan tekens. De evolutie van karaktercodering weerspiegelt de wereldwijde uitbreiding van de computer:

UTF-8 codeert ASCII-tekens in een enkel byte (identiek aan gewoon ASCII), Europese tekens in 2 bytes, CJK-tekens in 3 bytes en emoji in 4 bytes. Meer dan 98% van alle webpagina's gebruikt UTF-8 codering (volgens W3Techs, 2024).

Binair Logische Poorten

Logische poorten zijn de fysieke bouwblokken van alle digitale circuits. Elke poort voert een eenvoudige binair operatie uit op één of twee invoerbits:

De NAND-poort wordt een universele poort genoemd omdat elke andere logische functie kan worden opgebouwd met alleen NAND-poorten. Moderne CPUs bevatten miljarden transistors die zijn samengevoegd tot NAND- en NOR-poorten, die vervolgens worden gecombineerd tot adders, multiplexers, flip-flops en alle andere bouwblokken van een processor. De Apple M3-chip bevat ongeveer 25 miljard transistors — elk een microscopisch binair schakelaar die 1 is (aan) of 0 (uit).

De XOR-poort heeft een speciale eigenschap: het geeft 1 uit wanneer de twee invoerbits verschillen. Dit maakt het de basis van binair optellen (de sombit van een half adder), foutdetectie (pariteitcontrole) en eenvoudige encryptie (XOR-cijfer).

Geschiedenis van Binary: Van Leibniz tot Moderne Rekenmachines

De binair systeem heeft een rijke intellectuele geschiedenis:

Leibniz' inzicht dat alle getallen konden worden uitgedrukt met alleen 0 en 1 was puur wiskundig — hij had nooit elektronische computers voor ogen. Shannons 1937 masterproef verbond Boolean (binair) logica met elektrische relais, creëerde de theoretische basis voor alle digitale elektronica. Het is genoemd "misschien wel het belangrijkste masterproef van de twintigste eeuw."

Binair in Netwerken: IP-adressen en Subnetmasks

Omgaan met binair is essentieel voor netwerkbeheer. IPv4-adressen en subnetmasks zijn 32-bits binair getallen:

Het netwerkadres wordt berekend door het IP-adres met de subnetmask te ANDen. Het uitzendadres zet alle hostbits op 1. Het aantal bruikbare hostadressen = 2^(32−prefix) − 2. Voor een /24-netwerk: 2⁸ − 2 = 254 bruikbare hosts.

Algemene subnetgroottes: