حاسبة المسافة (نقطتان)
احسب المسافة بين نقطتين باستخدام صيغة المسافة √((x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²).
ما هي صيغة المسافة؟
تُحسب المسافة بين نقطتين في المستوى الثنائي الأبعاد باستخدام صيغة المسافة: d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²). هذه الصيغة تطبيق مباشر لنظرية فيثاغورس — الفارقان الأفقي والرأسي بين النقطتين يُشكّلان ضلعَي مثلث قائم الزاوية، والمسافة هي وتره.
لإيجاد المسافة بين (x₁, y₁) و(x₂, y₂)، احسب فرق إحداثيات x (Δx = x₂ − x₁) وفرق إحداثيات y (Δy = y₂ − y₁). ارفع كلاً منهما للقوة الثانية، اجمعهما، ثم استخرج الجذر التربيعي. عملية التربيع تضمن أن الفوارق السالبة تُعطي قيماً موجبة — المسافة دائماً غير سالبة.
سُمّيت هذه الصيغة نسبةً إلى رينيه ديكارت، وهي مسافة إقليدية في نظام الإحداثيات الديكارتي — المسافة "بخط مستقيم"، على عكس مسافة مانهاتن (|Δx| + |Δy|) التي تحسب الخطوات الأفقية والرأسية فقط.
أمثلة محلولة خطوة بخطوة
مثال 1 — ثالوث فيثاغورس: أوجد المسافة من (1, 2) إلى (4, 6).
- Δx = 4 − 1 = 3
- Δy = 6 − 2 = 4
- d = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5
مثال 2 — نتيجة غير نسبية: أوجد المسافة من (0, 0) إلى (3, 7).
- Δx = 3, Δy = 7
- d = √(9 + 49) = √58 ≈ 7.616
مثال 3 — إحداثيات سالبة: أوجد المسافة من (−3, −4) إلى (2, 8).
- Δx = 2 − (−3) = 5
- Δy = 8 − (−4) = 12
- d = √(25 + 144) = √169 = 13
| النقطة A | النقطة B | Δx | Δy | المسافة |
|---|---|---|---|---|
| (0, 0) | (3, 4) | 3 | 4 | 5 (دقيقة) |
| (0, 0) | (5, 12) | 5 | 12 | 13 (دقيقة) |
| (−2, 3) | (4, −5) | 6 | −8 | 10 (دقيقة) |
| (1, 2) | (3, 7) | 2 | 5 | √29 ≈ 5.385 |
اشتقاق صيغة المسافة من نظرية فيثاغورس
صيغة المسافة ليست قانوناً مستقلاً — بل هي نتيجة مباشرة لنظرية فيثاغورس (a² + b² = c²) مطبَّقة على الهندسة الإحداثية. بمعرفتين P₁(x₁, y₁) وP₂(x₂, y₂)، ارسم خطاً أفقياً من P₁ وخطاً رأسياً من P₂ ليلتقيا عند P₃(x₂, y₁). هذا يُنشئ زاوية قائمة عند P₃. الضلع الأفقي طوله |x₂ − x₁| والرأسي |y₂ − y₁|. بنظرية فيثاغورس: d² = (x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²، ومنها: d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²).
الامتدادات: المسافة ثلاثية الأبعاد وصيغة نقطة المنتصف
تمتدّ صيغة المسافة الثنائية طبيعياً إلى ثلاثة أبعاد. للنقطتين (x₁, y₁, z₁) و(x₂, y₂, z₂) في الفضاء ثلاثي الأبعاد: d = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)² + (z₂−z₁)²).
صيغة نقطة المنتصف: M = ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2). ببساطة متوسط الإحداثيات. إذا كان P₁ = (1, 2) وP₂ = (7, 8)، فإن M = (4, 5).
| الأبعاد | صيغة المسافة |
|---|---|
| 1D (خط الأعداد) | d = |x₂ − x₁| |
| 2D (مستوى) | d = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²) |
| 3D (فضاء) | d = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)² + (z₂−z₁)²) |
| nD (عام) | d = √(Σᵢ(x₂ᵢ−x₁ᵢ)²) |
التطبيقات العملية لحسابات المسافة
نظام GPS والملاحة: عند المسافات القصيرة، يُعطي تقريب الإحداثيات الديكارتية نتائج جيدة. للمسافات الأطول، تُراعي صيغة هافرساين انحناء الكرة الأرضية.
تطوير الألعاب: يُحسب كشف التصادم والتوجيه ومسارات الذكاء الاصطناعي باستمرار باستخدام المسافات بين الأجسام. جسمان دائريان يتصادمان عندما تكون المسافة بين مركزيهما أقل من مجموع نصفَي قطريهما.
الهندسة والبناء: قياس المسافات بين نقطتين في المخطط، تحديد أطوال الكابلات بين الأبراج، قياس القُطريات — كل ذلك يستخدم صيغة المسافة الثنائية أو الثلاثية الأبعاد.
التعلم الآلي: المسافة الإقليدية بين نقاط البيانات في الفضاء عالي الأبعاد تُشكّل أساس خوارزميات k-NN والتجميع ك-means.
مسافات فيثاغورس المرجعية الشائعة
| a (Δx) | b (Δy) | c (المسافة) | نسخ مكبَّرة |
|---|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 | 6-8-10، 9-12-15 |
| 5 | 12 | 13 | 10-24-26 |
| 8 | 15 | 17 | 16-30-34 |
| 7 | 24 | 25 | 14-48-50 |
الأسئلة الشائعة
ما هي صيغة المسافة بين نقطتين؟
d = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²). اطرح الإحداثيات، ارفع كل فرق للقوة الثانية، اجمع المربّعين، ثم استخرج الجذر التربيعي.
هل يهمّ أي نقطة هي (x₁,y₁) وأيّها (x₂,y₂)؟
لا. تُعطي الصيغة النتيجة ذاتها بأي ترتيب لأن الفوارق تُربَّع: (x₂−x₁)² = (x₁−x₂)². المسافة متماثلة: d(A,B) = d(B,A).
ما المسافة بين نقطتين متطابقتين؟
صفر. إذا كان (x₁,y₁) = (x₂,y₂)، فإن d = √(0+0) = 0.
كيف أجد المسافة في الفضاء ثلاثي الأبعاد؟
امدد الصيغة: d = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)² + (z₂−z₁)²).
ما الفرق بين المسافة والإزاحة؟
المسافة كمّية قياسية (تقيس البُعد فقط). الإزاحة كمّية متجهة (تقيس البُعد والاتجاه). تُعطي صيغة المسافة مقدار الإزاحة.
ما هي ثلاثيات فيثاغورس؟
مجموعات أعداد صحيحة (a, b, c) حيث a² + b² = c². شائعة: 3-4-5، 5-12-13، 8-15-17. عندما يُطابق Δx وΔy ثلاثية فيثاغورس، تكون المسافة عدداً صحيحاً دقيقاً.
ما هي صيغة نقطة المنتصف؟
M = ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2). متوسط كل زوج من الإحداثيات.
ما الفرق بين المسافة المانهاتنية والإقليدية؟
الإقليدية = √((Δx)² + (Δy)²) — المسافة بخط مستقيم. المانهاتنية = |Δx| + |Δy| — مجموع الخطوات الأفقية والرأسية كمشي في شوارع المدينة. المانهاتنية ≥ الإقليدية دائماً.