Trigonometri Hesaplayıcı – Sin, Cos, Tan ve Ters Fonksiyonlar
Sinüs, kosinüs, tanjant ve ters trigonometrik fonksiyonları hesaplayın. Dik üçgenleri çözün ve derece ile radyan arasında dönüşüm yapın. Ücretsiz online trig hesaplayıcısı.
Altı Trigonometrik Fonksiyon
Trigonometri, açıları dik üçgendeki kenar oranlarıyla ilişkilendiren altı temel fonksiyon üzerine kurulmuştur. Karşı kenar O, komşu kenar A ve hipotenüs H olan bir dik üçgende θ açısı için:
| Fonksiyon | Kısaltma | Formül | Tersi |
|---|---|---|---|
| Sinüs | sin θ | K/H | kosekant (csc) |
| Kosinüs | cos θ | A/H | sekant (sec) |
| Tanjant | tan θ | K/A | kotanjant (cot) |
| Kosekant | csc θ | H/K | sinüs |
| Sekant | sec θ | H/A | kosinüs |
| Kotanjant | cot θ | A/K | tanjant |
SOH-CAH-TOA bellek yardımcısı faydalıdır: Sinüs = Karşı/Hipotenüs, Kosinüs = Komşu/Hipotenüs, Tanjant = Karşı/Komşu.
Yaygın Açı Değerleri
Belirli açılar sık sık karşımıza çıkar ve ezberlenmeye değer:
| Derece | Radyan | sin | cos | tan |
|---|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 30° | π/6 | 1/2 | √3/2 | 1/√3 |
| 45° | π/4 | √2/2 | √2/2 | 1 |
| 60° | π/3 | √3/2 | 1/2 | √3 |
| 90° | π/2 | 1 | 0 | tanımsız |
| 180° | π | 0 | −1 | 0 |
| 270° | 3π/2 | −1 | 0 | tanımsız |
| 360° | 2π | 0 | 1 | 0 |
Derece ve Radyan
Açılar derece veya radyan cinsinden ölçülebilir. Dereceler tam çemberi 360 eşit parçaya böler. Radyanlar açıyı yay uzunluğunun yarıçapa oranı olarak ölçer — tam çember 2π radyana eşittir.
Dönüşüm formülleri:
- Dereceden radyana: radyan = derece × π / 180
- Radyandan dereceye: derece = radyan × 180 / π
Radyanlar hesap ve fizikte doğal birimdir. sin(x)'in türevi yalnızca x radyan cinsinden olduğunda cos(x)'tir. Programlamada çoğu matematik kütüphanesi varsayılan olarak radyan kullanır.
Pisagor Teoremi ve Trigonometrik Özdeşlikler
Trigonometrideki en önemli özdeşlik: sin²θ + cos²θ = 1. Bu, H²'ye bölünen Pisagor teoreminden (K² + A² = H²) doğrudan türetilir.
Diğer önemli özdeşlikler:
- Çift açı: sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ); cos(2θ) = cos²θ − sin²θ
- Açıların toplamı: sin(A+B) = sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B)
- Tanjant özdeşliği: tan(θ) = sin(θ)/cos(θ)
- Karşılıklı: csc(θ) = 1/sin(θ); sec(θ) = 1/cos(θ); cot(θ) = 1/tan(θ)
💡 Biliyor muydunuz?
- "Trigonometri" kelimesi Yunancadan gelir: trigonon (üçgen) + metron (ölçüm).
- Nikealı Hiparkhos (MÖ 190–120) genellikle "trigonometrinin babası" olarak anılır — bilinen ilk trigonometri tablosunu derlemiştir.
- GPS navigasyon, bilgisayar grafikleri, ses dalgaları ve AC elektrik devreleri trigonometrik fonksiyonlara dayanır.
Sık Sorulan Sorular
Sin, cos ve tan arasındaki fark nedir?
Dik üçgende: sinüs, karşı kenarın hipotenüse oranıdır; kosinüs, komşu kenarın hipotenüse oranıdır; tanjant, karşı kenarın komşu kenara oranıdır. SOH-CAH-TOA'yı hatırlayın. Her fonksiyon −1 ile 1 arasında bir değer üretir (tan herhangi bir değer alabilir) ve açı ile kenar uzunlukları arasındaki ilişkiyi temsil eder.
Ters trigonometrik fonksiyonları (arcsin, arccos, arctan) nasıl kullanırım?
Ters fonksiyonlar, verilen bir orana karşılık gelen açıyı bulur. sin(θ) = 0,5 ise θ = arcsin(0,5) = 30°. Karşı/hipotenüsü biliyorsanız arcsin; komşu/hipotenüsü biliyorsanız arccos; karşı/komşuyu biliyorsanız arctan kullanın. Hesap makinesi düğmeleri: sin⁻¹, cos⁻¹, tan⁻¹ (arcsin, arccos, arctan ile aynıdır).
Tan(90°) neden tanımsızdır?
Tanjant = sin/cos. 90°'de cos(90°) = 0 ve sıfıra bölme tanımsızdır. Grafikte tanjant, açı 90°'ye yaklaştıkça ±sonsuza yaklaşır. Buna dikey asimptot denir. Benzer şekilde, tan(270°) de tanımsızdır.
Trigonometrik fonksiyonlar gerçek hayatta ne için kullanılır?
Trigonometri şu alanlarda kullanılır: navigasyon (GPS, havacılık, denizcilik), mimarlık ve inşaat (çatı açıları, merdiven hesaplamaları), fizik (dalgalar, salınımlar, AC devreleri), bilgisayar grafikleri (3D döndürme, oyun motorları), astronomi (yıldızlara uzaklık ölçme) ve mühendislik (yapısal analiz, sinyal işleme).