Υπολογιστής σημαντικών αριθμών
Απαραίτητη για τη χημεία, τη φυσική και την επιστημονική σημειογραφία.
Τι Είναι Σημαντικοί Αριθμοί;
Σημαντικά στοιχεία(επίσης ονομάζονται σημαντικά ψηφία ή ψηφία sig) είναι τα σημαντικά ψηφία σε μια μετρούμενη ή υπολογιζόμενη τιμή. Δείχνουν την ακρίβεια μιας μέτρησης και επικοινωνούν πόσο εμπιστοσύνη έχετε στον αναφερόμενο αριθμό. Μια μέτρηση 3,47 μέτρων έχει τρία σημαντικά ψηφία - τα 3, 4 και 7 είναι όλα σημαντικά και φέρουν πληροφορίες σχετικά με την ακρίβεια της μέτρησης.
Οι κανόνες για τον υπολογισμό των σημαντικών αριθμητικών στοιχείων:
- Όλα τα μη μηδενικά ψηφία είναι σημαντικά:Το 1234 έχει 4 ίνες sig· το 98,6 έχει 3 ίνες sig
- Τα μηδενικά μεταξύ μη μηδενικών ψηφίων είναι σημαντικά:Το 1001 έχει 4 σφαιρίδια· το 8.007 έχει 4 σφαιρίδια
- Τα προηγούμενα μηδενικά δεν είναι σημαντικά:Το 0,005 έχει 1 σχήμα σφραγίδας· το 0,0450 έχει 3 σχήματα σφραγίδας σφραγίδας (τα προηγούμενα μηδενικά απλώς τοποθετούν το δεκαδικό)
- Τα τελικά μηδενικά μετά το δεκαδικό ψηφίο είναι σημαντικά:Το 2.500 έχει 4 σύκα sig· το 1,0 έχει 2 σύκα sig
- Τα μηδενικά που ακολουθούν χωρίς δεκαδικό σημείο είναι αμφιλεγόμενα:Το 1500 θα μπορούσε να έχει 2, 3 ή 4 σφραγίδες -- χρησιμοποιήστε επιστημονικό συμβολισμό (1.5 x 103 έναντι 1.500 x 103) για να προσδιορίσετε με ακρίβεια
Σημαντικοί αριθμοί απαντούν στο ερώτημα: "Πόσο ακριβώς γνωρίζω αυτή την τιμή;" Διακρίνουν ένα προσεκτικά μετρημένο 3,00 μέτρα (ο κανόνας είναι ακριβής σε 0,01 μ.) από μια χονδρική εκτίμηση 3 μέτρων (μπορεί να είναι οπουδήποτε από 2,5 έως 3,5 μ.).
Πίνακας ταχείας αναφοράς για τα σύμβολα Sig
Χρησιμοποιήστε αυτόν τον πίνακα για να προσδιορίσετε γρήγορα τον αριθμό των σημαντικών αριθμών σε κοινές μορφές σημειογραφίας:
| Αριθμός | Σκιές Σιγκ | Αιτιολόγηση |
|---|---|---|
| Αριθ. 1234 | 4 | Όλα τα μη μηδενικά ψηφία είναι σημαντικά |
| 1200 χλμ. | 2 (διφορούμενο) | Τα τελικά μηδενικά χωρίς δεκαδική μονάδα είναι ασαφή |
| Δώδεκα χιλιάδες. | 4 | Το δεκαδικό σημείο μετά τα μηδενικά τα καθιστά σημαντικά |
| 1200.0 και | 5 | Όλα τα ψηφία, συμπεριλαμβανομένου του τελικού μηδενός μετά το δεκαδικό |
| 0,0045 | 2 | Τα προηγούμενα μηδενικά δεν είναι σημαντικά· τα 4 και 5 είναι |
| 0,00450 | 3 | Το τελευταίο μηδέν μετά το δεκαδικό ψηφίο είναι σημαντικό: 4, 5, 0 |
| 1.00x103 | 3 | Επιστημονική σημείωση: μόνο ψηφία συντελεστών |
| 10001 και | 5 | Τα εσωτερικά μηδενικά μεταξύ των 1s είναι σημαντικά |
| 0, 1 | 1 | Μόνο ο αριθμός 1 είναι σημαντικός. |
| 100 , 10 | 5 | Το εσωτερικό μηδέν και το τελικό μηδέν μετά το δεκαδικό είναι και τα δύο σημαντικά. |
Όταν υπάρχει ασάφεια (όπως το 1200), χρησιμοποιήστε την επιστημονική σημειογραφία για να την εξαλείψετε. 1.2 x 103 έχει σαφώς 2 σφραγίδες; 1.20 x 103 έχει 3; 1.200 x 103 έχει 4.
Πώς να στρογγυλοποιήσετε σε σημαντικούς αριθμούς
Η στρογγυλοποίηση σε σημαντικούς αριθμούς είναι διαφορετική από την στρογγυλοποίηση σε δεκαδικά ψηφία, αν και ο ίδιος ο κανόνας στρογγυλοποίησης (κοίταξε το επόμενο ψηφίο και εφαρμόσε τη στρογγυλοποίηση του μισού ή του τραπεζίτη) είναι ο ίδιος.
Βήμα προς βήμα διαδικασία:
- Προσδιορισμός του πρώτου σημαντικού ψηφίου (το αριστερό μη μηδενικό ψηφίο)
- Μετρήστε N σημαντικούς αριθμούς από αυτή τη θέση - αυτή είναι η θέση στόχο σας
- Κοιτάξτε το ψηφίο αμέσως στα δεξιά της θέσης στόχο σας
- Εάν είναι 0 - 4, αφήστε το και όλα τα επόμενα ψηφία (στρογγυλοποιήστε προς τα κάτω)
- Εάν είναι 5 - 9, προσθέστε 1 στο ψηφίο-στόχο και αφήστε το υπόλοιπο (στρογγυλοποιήστε προς τα πάνω)
- Αντικαταστήστε οποιεσδήποτε θέσεις πριν από το δεκαδικό με μηδενικά για να διατηρήσει την κλίμακα
Παραδείγματα:
| Αρχικός αριθμός | Στρογγυλοί έως Ν Sig σύκα | Αποτελέσματα | Εξηγήσεις |
|---|---|---|---|
| 12 345 | 3 | 12.300 χιλιάδες | Τρίτο σύμβολο σχήμα = 3; επόμενο ψηφίο = 4 (στρογγυλοποιημένο προς τα κάτω) |
| 0,004567 | 3 | 0,00457 | Τρίτο ψηφίο = 6; επόμενο ψηφίο = 7 (στρογγυλοποιημένο προς τα πάνω: 6->7) |
| 99,95 εκατ. | 3 | 100.0 (ή 1.00x102) | Τρίτο ψηφίο = 9; επόμενο ψηφίο = 5 (στρογγυλοποιημένο προς τα πάνω: 9->10, καταρράκτης) |
| 7,8965 χιλιόγραμμα | 4 | 7.897 | Τέταρτο σχήμα = 6; επόμενο ψηφίο = 5 (στρογγυλοποιημένο προς τα πάνω: 6->7) |
| 0,00000 | 2 | 0,0010 | Δεύτερο σχήμα = 0, επόμενο ψηφίο = 0 (στρογγυλοποιημένο προς τα κάτω) |
Σίγκοι στους υπολογισμούς
Οι σημαντικοί αριθμοί πολλαπλασιάζονται μέσω υπολογισμών σύμφωνα με δύο κανόνες - έναν για τον πολλαπλασιασμό / διαίρεση και έναν για την πρόσθεση / αφαίρεση.
Κανόνας πολλαπλασιασμού και διαίρεσης:Το αποτέλεσμα έχει τον ίδιο αριθμό σημαντικών αριθμών με την είσοδο με τηνελάχιστοΣιγκ σύκα.
- 2,1 x 3,45 = 7,245 -> στρογγυλοποιημένο σε7.2 Κύρια σημεία(2.1 έχει μόνο 2 σύγκινα)
- 100.0 ÷ 4.00 = 25.000 -> στρογγυλοποιημένο σε25 , 0(και τα δύο έχουν 3 σύγκινα· το αποτέλεσμα έχει επίσης 3)
- 5,83 x 1,2 x 0,88 = 6,15456 -> στρογγυλοποιημένο σε6. 2(1.2 και 0.88 έχουν 2 σύγκινα το καθένα)
Κανόνας πρόσθεσης και αφαίρεσης:Το αποτέλεσμα έχει τόσεςδεκαδικά ψηφίαόπως η είσοδος με τοελάχιστα δεκαδικά ψηφία.
- 1,23 + 4,1 = 5,33 -> στρογγυλοποιημένο σε5.3 Ασφάλεια(4.1 έχει μόνο ένα δεκαδικό ψηφίο)
- 100.0 + 23.45 = 123.45 -> στρογγυλοποιημένο σε123,5 εκατ.(100.0 έχει μόνο ένα δεκαδικό ψηφίο)
- 1000 + 3,7 = 1003,7 -> στρογγυλοποιημένο σε1004 χιλιάδες(1000 έχει 0 δεκαδικά ψηφία - αμφιλεγόμενο· αντιμετωπίζεται ως 0 dp)
Στους υπολογισμούς πολλαπλών βημάτων, αποφύγετε την στρογγυλοποίηση στα ενδιάμεσα βήματα. Κρατήστε επιπλέον ψηφία στον υπολογισμό και στρογγυλοποιήστε μόνο το τελικό αποτέλεσμα. Η πρόωρη στρογγυλοποίηση εισάγει σφάλματα που συσσωρεύονται μέσω των επόμενων βημάτων - γνωστά ως διάδοση σφάλματος στρογγυλοποίησης.
Γιατί τα σύκα Σιγκ είναι σημαντικά στην επιστήμη και τη μηχανική
Οι σημαντικοί αριθμοί δεν είναι απλά μια τυπικότητα στην τάξη -- έχουν πραγματικές συνέπειες στην επαγγελματική επιστημονική και μηχανική εργασία.
Στην ιατρική:Η δοσολογία των φαρμάκων είναι μια από τις πιο κρίσιμες εφαρμογές. Μια συνταγή ασθενούς για "0,05 mg / kg" έναντι "0,5 mg / kg" διαφέρει κατά έναν παράγοντα 10 - μια δυνητικά θανατηφόρα διαφορά δόσης για ισχυρά φάρμακα.
Μηχανολόγος:Η κατάρρευση της γέφυρας Tacoma Narrows (1940) και η έκρηξη του πυραύλου Ariane 5 (1996) αναφέρονται συχνά στα μαθήματα μηχανικής ως παραδείγματα σφαλμάτων ακρίβειας.
Στην αναλυτική χημεία:Η αναφορά μιας μέτρησης ως 14,2345 g όταν η ζυγαριά σας είναι ακριβής μόνο σε 0,001 g συνεπάγεται λανθασμένη ακρίβεια.
Σε καθημερινή εκτίμηση:Ακόμη και εκτός της επίσημης επιστήμης, οι σφραγίδες σφραγίδας συμβάλλουν στην επικοινωνία της εμπιστοσύνης. "Η απόσταση είναι περίπου 100 μίλια" (1 σφραγίδα σφραγίδας σφραγίδας) είναι μια χονδρική εκτίμηση. "99,7 μίλια" (3 σφραγίδες σφραγίδας σφραγίδας) υποδηλώνει ακρίβεια από έναν χάρτη. "99,700 μίλια" (5 σφραγίδες σφραγίδας σφραγίδας) θα υποδηλώνει ακρίβεια στο πλησιέστερο 0,001 μίλι, το οποίο είναι παράλογο για τις περισσότερες οδικές αποστάσεις.
Σήφι Sig στην Εργαστηριακή Επιστήμη: Πρακτικά Παραδείγματα
Σε ένα εργαστήριο χημείας, κάθε εργαλείο μέτρησης έχει μια καθορισμένη ακρίβεια, και αυτό καθορίζει πόσα σχήματα είναι κατάλληλα για καταγραφή.
| Μέσο | Τυπική ακρίβεια | Παράδειγμα ανάγνωσης | Σκιές Σιγκ |
|---|---|---|---|
| Διοικητής (δείγματα χιλιοστών) | +/- 0,5 mm | 14,2 εκατοστά | 3 |
| Βαθμιασμένη φιάλη (10 mL) | +/- 0,2 ml | 8,4 ml | 2 |
| Αναλυτικό ισοζύγιο | +/- 0,0001 g | 12,3456 g | 6 |
| Ψηφιακό θερμόμετρο | +/-0,1 βαθμοίC | 36,7 βαθμούςC | 3 |
| Μπουρέτα (τιτλοποίηση) | +/- 0,05 ml | 23,45 ml | 4 |
| Βαρόμετρος | +/-0,1 mmHg | 760,1 mmHg | 4 |
Μια βασική εργαστηριακή δεξιότητα είναι η ανάγνωση αναλογικών οργάνων σε ένα δεκαδικό πέρα από τη μικρότερη διαίρεση.
Συνήθη Λάθη με Σημαντικούς Αριθμούς
Το να καταλαβαίνεις τι δεν πρέπει να κάνεις είναι εξίσου σημαντικό με το να γνωρίζεις τους κανόνες:
Λάθος 1 -- Σύγχυση σφραγίδων με δεκαδικά ψηφία:"2 sig figs" δεν σημαίνει "2 δεκαδικά ψηφία". 2.4 x 105 έχει 2 sig figs αλλά δεν υπάρχουν ορατά δεκαδικά ψηφία στην τυπική μορφή (240.000). Πάντα να μετράτε από το πρώτο μη μηδενικό ψηφίο.
Λάθος 2 -- Εφαρμογή των κανόνων του πολλαπλασιασμού στην πρόσθεση:Πολλοί μαθητές εφαρμόζουν τον κανόνα του "μικρού αριθμού" σε όλες τις πράξεις. Αλλά η πρόσθεση / αφαίρεση χρησιμοποιεί τον κανόνα της δεκαδικής θέσης. 10.0 + 0.345 = 10.3 (όχι 10.3 ή 10.345 - όριο σε 1 δεκαδική θέση επειδή το 10.0 έχει μόνο 1).
Λάθος 3 -- Στρογγυλοποίηση ενδιάμεσων αποτελεσμάτων:Η στρογγυλοποίηση 2.1 x 3.45 = 7.2, στη συνέχεια ο πολλαπλασιασμός 7.2 x 1.23 = 8.856 -> 8.9 εισάγει περισσότερο σφάλμα από τον υπολογισμό 2.1 x 3.45 x 1.23 = 8.90... -> 8.9 απευθείας.
Λάθος 4 - Λάθος αναγνώριση ακριβών αριθμών:Οι μετρούμενες ποσότητες και οι καθορισμένοι συντελεστές μετατροπής είναι ακριβείς και δεν περιορίζουν τα σχήματα σφ. "12 αυγά" είναι ακριβές (όχι 2 σχήματα σφ.) "1 μέτρο = 100 εκατοστά" είναι ακριβές. "π = 3.14159"... είναι ακριβές για σκοπούς υπολογισμού. Μόνο οι μετρούμενες ποσότητες φέρουν περιορισμούς σφ.
Συχνές ερωτήσεις
Πόσες σφραγίδες έχει το 0.00450;
Τρία σημαντικά ψηφία: 4, 5 και το τελευταίο 0. Τα προηγούμενα μηδενικά δεν είναι σημαντικά (είναι κάτοχοι θέσης), αλλά το τελευταίο μηδενικό μετά το 5 είναι σημαντικό επειδή ακολουθεί ένα μη μηδενικό ψηφίο μετά το δεκαδικό σημείο - υποδεικνύει ότι η μέτρηση ήταν ακριβής στο εκατό χιλιοστό της θέσης.
Είναι σημαντικά τα τελικά μηδενικά;
Τα τελικά μηδενικά είναι σημαντικά αν εμφανίζονται μετά από ένα δεκαδικό σημείο (π.χ. 2.500 έχει 4 σφαιρίδια). Χωρίς δεκαδικό σημείο, τα τελικά μηδενικά είναι αμφιλεγόμενα (π.χ. 2500 θα μπορούσε να έχει 2, 3 ή 4 σφαιρίδια). Χρησιμοποιήστε επιστημονική σημειογραφία για να είναι σαφής: 2.5 x 103 έχει 2 σφαιρίδια· 2.500 x 103 έχει 4.
Γιατί τα σύκα είναι σημαντικά στην επιστήμη;
Η αναφορά 14,2345 cm όταν ο κανόνας σας διαβάζει μόνο στο πλησιέστερο χιλιοστό (0,1 cm) υποδηλώνει λανθασμένη ακρίβεια. Παραπλανεί τους αναγνώστες σχετικά με την βεβαιότητα της μέτρησης σας. Η σωστή χρήση των σφραγίδων σφραγίδων διασφαλίζει ότι τα αναφερόμενα αποτελέσματα αντικατοπτρίζουν με ακρίβεια την ανάλυση του οργάνου και την αβεβαιότητα της μέτρησης.
Πώς μπορώ να εφαρμόσω sig figs όταν πολλαπλασιάζω;
Το αποτέλεσμα έχει τον ίδιο αριθμό ψηφίων με την είσοδο με τον μικρότερο αριθμό.42(2 σχήματα, που αντιστοιχούν στην λιγότερο ακριβή είσοδο).
Πώς μπορώ να εφαρμόσω τις σφραγίδες σφραγίδας όταν προσθέτω;
Ευθυγραμμίστε τα δεκαδικά ψηφία· το αποτέλεσμα στρογγυλοποιείται στην ίδια δεκαδική θέση με την λιγότερο ακριβή είσοδο.23,4 εκατ.(23.4 έχει ακρίβεια μόνο στα δέκατα).
Ο αριθμός 1 θεωρείται ότι έχει ένα σημαντικό αριθμό;
Αν το 1 είναι μια μετρούμενη τιμή (π.χ. "1 kg μετρούμενη σε μια χονδρή κλίμακα"), ναι - το 1 έχει 1 σχήμα. Αν είναι ένας ακριβής ακέραιος αριθμός (π.χ. "1 άτομο" ή ο ακέραιος αριθμός 1 σε έναν τύπο), είναι ακριβής και δεν περιορίζει την ακρίβεια του υπολογισμού. Το πλαίσιο καθορίζει αν ένα 1 είναι μια μετρούμενη τιμή ή μια ακριβής καταμέτρηση.
Τι γίνεται με τους σημαντικούς αριθμούς και το μηδέν;
Ο αριθμός μηδέν από μόνος του είναι ακριβής. Ο αριθμός 0 ως μέρος ενός αριθμού έχει διαφορετική σημασία ανάλογα με τη θέση: δεν είναι σημαντικός ως επικεφαλής μηδέν (0.0045) · σημαντικός ως εσωτερικός μηδέν (1.04) · σημαντικός ως τελικός μηδέν μετά το δεκαδικό (2.50) · αμφιλεγόμενος ως τελικός μηδέν χωρίς δεκαδικό (150).
Πόσους σημαντικούς αριθμούς πρέπει να χρησιμοποιώ στους καθημερινούς υπολογισμούς;
Για μη επιστημονικά πλαίσια, χρησιμοποιήστε όσους ψηφία είναι χρήσιμα. Ένα λογαριασμό παντοπωλείου στο εκατοστό είναι καλό (2 δεκαδικά ψηφία). Μια μέτρηση μαγειρέματος "2 κουταλιές της σούπας" είναι καλή. Σημαντικοί αριθμοί είναι πιο σημαντικοί στην επιστημονική και μηχανική εργασία όπου η ακρίβεια μέτρησης πρέπει να επικοινωνεί και να διαδίδεται σωστά μέσω υπολογισμών.
Ποια είναι η διαφορά ανάμεσα στην ακρίβεια και την ακρίβεια;
Η ακρίβεια αναφέρεται στο πόσο κοντά είναι μια μέτρηση στην πραγματική τιμή. Η ακρίβεια αναφέρεται στο πόσο επαναλαμβανόμενες ή συνεπείς είναι οι μετρήσεις. Μια μέτρηση μπορεί να είναι ακριβής αλλά όχι ακριβής (π.χ., μετρώντας σταθερά 14,32 εκατοστά όταν το πραγματικό μήκος είναι 15 εκατοστά - συνεπής αλλά λάθος).
Πώς λειτουργούν οι σημαντικοί αριθμοί σε λογάριθμους;
Για log10(x), ο αριθμός των δεκαδικών ψηφίων στο αποτέλεσμα ισούται με τον αριθμό των σφραγίδων σφραγίδας σφραγίδας σε x. Για παράδειγμα, log(4.56 x 103) = 3.659 - το "3" πριν από το δεκαδικό (το χαρακτηριστικό) είναι ακριβές· μόνο το ".659" (3 δεκαδικά ψηφία) φέρει τις πληροφορίες σφραγίδας σφραγίδας από τα 3 σφραγίδες σφραγίδας σφραγίδας σε 4.56.
Σίγκοι σε καθημερινή μέτρηση
Εκτός του εργαστηρίου, σημαντικοί αριθμοί εξακολουθούν να καθοδηγούν τον τρόπο με τον οποίο αναφέρουμε μετρήσεις σε καθημερινά πλαίσια. Όταν ένας εργολάβος αναφέρει την κουζίνα σας σε "περίπου 25 τετραγωνικά μέτρα", αυτός ο μοναδικός σημαντικός αριθμός υποδηλώνει αβεβαιότητα +/- 5 m2. Όταν μια εφαρμογή πλοήγησης αναφέρει τη διαδρομή σας ως "12.3 χλμ", υποδηλώνει ότι η μέτρηση είναι ακριβής στα πλησιέστερα 100 μέτρα. Αυτές οι διαφορές έχουν σημασία κατά την παραγγελία υλικών, τον υπολογισμό του χρόνου ταξιδιού ή τη σύγκριση προσφορών.
Στην επισήμανση διατροφής, οι τιμές στρογγυλοποιούνται σύμφωνα με τις ρυθμιστικές κατευθυντήριες γραμμές. Ένα τρόφιμο που φέρει την ετικέτα "100 θερμίδες ανά μερίδα" μπορεί στην πραγματικότητα να περιέχει 97 - 103 θερμίδες· η στρογγυλοποίηση είναι σκόπιμη και νομικά καθορισμένη. Παρομοίως, μια ετικέτα "20 g πρωτεΐνης" μπορεί να αντιπροσωπεύει οπουδήποτε από 17,5 έως 22,4 g ανάλογα με τους κανόνες στρογγυλοποίησης του FDA.
Οι μηχανικοί και οι επιθεωρητές χρησιμοποιούν σημαντικούς αριθμούς σιωπηρά μέσω των προδιαγραφών ανοχής. Ένα μηχανοποιημένο μέρος που καθορίζεται ως "10.00 mm" (4 sig figs) πρέπει να είναι ακριβές σε +/-0.005 mm. Μια διάσταση που καθορίζεται ως "10 mm" (διφορούμενα sig figs) μπορεί να έχει ανοχή +/-0.5 mm. Η ακρίβεια κοστίζει χρήματα στην κατασκευή· ο καθορισμός περισσότερων sig figs από ό, τι είναι απαραίτητο αυξάνει το κόστος παραγωγής χωρίς λειτουργικό όφελος.