מחשבון טריגונומטריה – sin, cos, tan ופונקציות הפוכות
חשב סינוס, קוסינוס, טנגנס ופונקציות טריגונומטריות הפוכות. פתור משולשי ישר זווית והמר בין מעלות לרדיאנים. מחשבון טריגונומטריה חינמי.
שש הפונקציות הטריגונומטריות
הטריגונומטריה בנויה על שש פונקציות בסיסיות הקושרות זוויות ליחסי צלעות במשולש ישר זווית. עבור זווית θ במשולש ישר זווית עם צלע נגדית O, צלע סמוכה A, ויתר H:
| פונקציה | קיצור | נוסחה | הדדית |
|---|---|---|---|
| סינוס | sin θ | O/H | קוסקנט (csc) |
| קוסינוס | cos θ | A/H | סקנט (sec) |
| טנגנס | tan θ | O/A | קוטנגנס (cot) |
| קוסקנט | csc θ | H/O | סינוס |
| סקנט | sec θ | H/A | קוסינוס |
| קוטנגנס | cot θ | A/O | טנגנס |
עזר הזיכרון SOH-CAH-TOA עוזר: Sine = Opposite/Hypotenuse, Cosine = Adjacent/Hypotenuse, Tangent = Opposite/Adjacent.
ערכי זוויות נפוצים
זוויות מסוימות מופיעות לעיתים קרובות וכדאי לשנן:
| מעלות | רדיאנים | sin | cos | tan |
|---|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 30° | π/6 | 1/2 | √3/2 | 1/√3 |
| 45° | π/4 | √2/2 | √2/2 | 1 |
| 60° | π/3 | √3/2 | 1/2 | √3 |
| 90° | π/2 | 1 | 0 | לא מוגדר |
| 180° | π | 0 | −1 | 0 |
| 270° | 3π/2 | −1 | 0 | לא מוגדר |
| 360° | 2π | 0 | 1 | 0 |
מעלות לעומת רדיאנים
ניתן למדוד זוויות במעלות או ברדיאנים. מעלות מחלקות מעגל מלא ל-360 חלקים שווים. רדיאנים מודדים זווית כיחס אורך קשת לרדיוס – מעגל מלא שווה 2π רדיאנים.
נוסחאות המרה:
- מעלות לרדיאנים: רדיאנים = מעלות × π / 180
- רדיאנים למעלות: מעלות = רדיאנים × 180 / π
רדיאנים הם היחידה הטבעית בחשבון דיפרנציאלי ופיזיקה. הנגזרת של sin(x) היא cos(x) רק כאשר x הוא ברדיאנים. בתכנות, רוב ספריות המתמטיקה משתמשות ברדיאנים כברירת מחדל.
משפט פיתגורס וזהויות טריגונומטריות
הזהות החשובה ביותר בטריגונומטריה: sin²θ + cos²θ = 1. זה נובע ישירות ממשפט פיתגורס (O² + A² = H²) חלוק ב-H².
זהויות מרכזיות נוספות:
- זווית כפולה: sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ); cos(2θ) = cos²θ − sin²θ
- סכום זוויות: sin(A+B) = sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B)
- זהות טנגנס: tan(θ) = sin(θ)/cos(θ)
- הדדיות: csc(θ) = 1/sin(θ); sec(θ) = 1/cos(θ); cot(θ) = 1/tan(θ)
💡 האם ידעת?
- המילה "טריגונומטריה" מגיעה מיוונית: trigonon (משולש) + metron (מידה).
- היפרכוס מניקיאה (190–120 לפנה"ס) נחשב לעיתים "אבי הטריגונומטריה" – הוא ערך את לוח הטריגונומטריה הידוע הראשון.
- ניווט GPS, גרפיקת מחשב, גלי קול ומעגלי חשמל AC כולם מסתמכים על פונקציות טריגונומטריות.
שאלות נפוצות
מה ההבדל בין sin, cos ו-tan?
במשולש ישר זווית: סינוס הוא יחס הצלע הנגדית ליתר; קוסינוס הוא סמוך ליתר; טנגנס הוא נגדי לסמוך. זכור SOH-CAH-TOA. כל פונקציה מייצרת ערך בין −1 ל-1 (tan יכול להיות כל ערך), המייצג את הקשר בין זווית ואורכי צלעות.
כיצד משתמשים בפונקציות טריג הפוכות (arcsin, arccos, arctan)?
פונקציות הפוכות מוצאות את הזווית בהינתן יחס. אם sin(θ) = 0.5, אז θ = arcsin(0.5) = 30°. השתמש ב-arcsin כאשר ידוע נגדי/יתר; ב-arccos כאשר ידוע סמוך/יתר; ב-arctan כאשר ידוע נגדי/סמוך. לחצני מחשבון: sin⁻¹, cos⁻¹, tan⁻¹ (זהים ל-arcsin, arccos, arctan).
מדוע tan(90°) אינו קיים?
טנגנס = sin/cos. ב-90°, cos(90°) = 0, וחלוקה באפס אינה מוגדרת. בגרף, הטנגנס מתקרב ל-±אינסוף ככל שהזווית מתקרבת ל-90°. זה נקרא אסימפטוטה אנכית. באופן דומה, tan(270°) אינו מוגדר.
לשם מה משתמשים בפונקציות טריג בחיים האמיתיים?
טריגונומטריה משמשת ב: ניווט (GPS, תעופה, שיט), אדריכלות ובנייה (זוויות גגות, חישובי מדרגות), פיזיקה (גלים, תנודות, מעגלי AC), גרפיקת מחשב (סיבוב תלת-מימד, מנועי משחקים), אסטרונומיה (מדידת מרחקים לכוכבים) והנדסה (ניתוח מבני, עיבוד אותות).