מחשבון קומבינציות C(n,r)
חשב קומבינציות C(n,r) ופרמוטציות P(n,r) לניתוח סטטיסטי וסמינריון. מחשבון מתמטיקה חינמי לחישוב מספר הדרכים לבחירת פריטים.
קומבינציות ופרמוטציות: ההבדל
בקומבינטוריקה, ישנן שתי שאלות בסיסיות:
קומבינציה C(n,r): כמה דרכים ישנן לבחור r פריטים מתוך n, ללא קשר לסדר?
C(n,r) = n! / (r! × (n−r)!)
פרמוטציה P(n,r): כמה דרכים ישנן לסדר r פריטים מתוך n, כאשר הסדר חשוב?
P(n,r) = n! / (n−r)!
דוגמה: בחירת 3 חברים מתוך קבוצה של 10:
C(10,3) = 10! / (3! × 7!) = 120 דרכים (ללא קשר לסדר)
P(10,3) = 10! / 7! = 720 דרכים (כאשר מי שנבחר ראשון/שני/שלישי חשוב)
| n | r | C(n,r) | P(n,r) |
|---|---|---|---|
| 5 | 2 | 10 | 20 |
| 10 | 3 | 120 | 720 |
| 52 | 5 | 2,598,960 | 311,875,200 |
| 49 | 6 | 13,983,816 | 10,068,347,520 |
השורה האחרונה מסבירה מדוע הסתברות הזכייה בלוטו (6 מתוך 49) היא 1 ל-13,983,816!
שאלות נפוצות
מה ההבדל בין קומבינציה לפרמוטציה?
בקומבינציה הסדר לא חשוב (בחירת חברים לוועדה). בפרמוטציה הסדר חשוב (מירוץ — מי ראשון/שני/שלישי). P(n,r) = C(n,r) × r! כי כל קומבינציה יכולה להיות מסודרת ב-r! דרכים.
מהו עצרת (factorial)?
n! = n × (n-1) × (n-2) × ... × 2 × 1. לדוגמה, 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120. בהגדרה, 0! = 1.
מתי משתמשים בקומבינציות?
כאשר הסדר אינו חשוב: בחירת לוטו, הרכבת צוותים, בחירת תפריט, חישוב הסתברות ורשתות, עצי החלטה בסטטיסטיקה.