ماشین حساب مثلثات – سینوس، کسینوس، تانژانت و توابع معکوس
سینوس، کسینوس، تانژانت و توابع مثلثاتی معکوس را محاسبه کنید. مثلثهای قائمالزاویه را حل کنید و بین درجه و رادیان تبدیل کنید. ماشین حساب مثلثات آنلاین رایگان.
شش تابع مثلثاتی
مثلثات بر شش تابع اساسی بنا شده است که زوایا را به نسبت اضلاع در مثلث قائمالزاویه مرتبط میکند. برای زاویه θ در مثلث قائمالزاویه با ضلع روبرو O، ضلع مجاور A و وتر H:
| تابع | مخفف | فرمول | معکوس |
|---|---|---|---|
| سینوس | sin θ | O/H | کسکانت (csc) |
| کسینوس | cos θ | A/H | سکانت (sec) |
| تانژانت | tan θ | O/A | کتانژانت (cot) |
| کسکانت | csc θ | H/O | سینوس |
| سکانت | sec θ | H/A | کسینوس |
| کتانژانت | cot θ | A/O | تانژانت |
راهنمای حفظ SOH-CAH-TOA کمک میکند: سینوس = روبرو/وتر، کسینوس = مجاور/وتر، تانژانت = روبرو/مجاور.
مقادیر زوایای رایج
زوایای مشخصی بسیار ظاهر میشوند و ارزش حفظ کردن دارند:
| درجه | رادیان | sin | cos | tan |
|---|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 30° | π/6 | 1/2 | √3/2 | 1/√3 |
| 45° | π/4 | √2/2 | √2/2 | 1 |
| 60° | π/3 | √3/2 | 1/2 | √3 |
| 90° | π/2 | 1 | 0 | تعریف نشده |
| 180° | π | 0 | −1 | 0 |
| 270° | 3π/2 | −1 | 0 | تعریف نشده |
| 360° | 2π | 0 | 1 | 0 |
درجه در مقابل رادیان
زوایا را میتوان بر حسب درجه یا رادیان اندازه گرفت. درجه یک دایره کامل را به 360 قسمت مساوی تقسیم میکند. رادیان زاویه را به عنوان نسبت طول کمان به شعاع اندازه میگیرد — یک دایره کامل برابر 2π رادیان است.
فرمولهای تبدیل:
- درجه به رادیان: رادیان = درجه × π / 180
- رادیان به درجه: درجه = رادیان × 180 / π
رادیان واحد طبیعی در حساب دیفرانسیل و انتگرال و فیزیک است. مشتق sin(x) برابر cos(x) است فقط وقتی x بر حسب رادیان باشد. در برنامهنویسی، اکثر کتابخانههای ریاضی به طور پیشفرض از رادیان استفاده میکنند.
قضیه فیثاغورث و هویتهای مثلثاتی
مهمترین هویت در مثلثات: sin²θ + cos²θ = 1. این مستقیماً از قضیه فیثاغورث (O² + A² = H²) تقسیم بر H² پیروی میکند.
هویتهای کلیدی دیگر:
- زاویه دوگانه: sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ)؛ cos(2θ) = cos²θ − sin²θ
- مجموع زوایا: sin(A+B) = sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B)
- هویت تانژانت: tan(θ) = sin(θ)/cos(θ)
- معکوس: csc(θ) = 1/sin(θ)؛ sec(θ) = 1/cos(θ)؛ cot(θ) = 1/tan(θ)
💡 آیا میدانستید؟
- کلمه «مثلثات» از یونانی میآید: trigonon (مثلث) + metron (اندازه).
- هیپارکوس نیکایی (190 تا 120 قبل از میلاد) اغلب «پدر مثلثات» نامیده میشود — او اولین جدول مثلثاتی شناختهشده را گردآوری کرد.
- ناوبری GPS، گرافیک کامپیوتری، امواج صوتی و مدارهای الکتریکی AC همگی به توابع مثلثاتی متکی هستند.
سؤالات متداول
تفاوت بین sin، cos و tan چیست؟
در مثلث قائمالزاویه: سینوس نسبت ضلع روبرو به وتر است؛ کسینوس مجاور به وتر؛ تانژانت روبرو به مجاور. SOH-CAH-TOA را به خاطر بسپارید. هر تابع مقداری بین −1 و 1 تولید میکند (تان میتواند هر مقداری باشد)، که رابطه بین یک زاویه و طول اضلاع را نشان میدهد.
چطور از توابع مثلثاتی معکوس (آرکسین، آرککسینوس، آرکتانژانت) استفاده کنم؟
توابع معکوس زاویه را با توجه به یک نسبت پیدا میکنند. اگر sin(θ) = 0.5، پس θ = arcsin(0.5) = 30°. وقتی روبرو/وتر را میدانید از آرکسین استفاده کنید؛ وقتی مجاور/وتر را میدانید از آرککسینوس؛ وقتی روبرو/مجاور را میدانید از آرکتانژانت. دکمههای ماشین حساب: sin⁻¹، cos⁻¹، tan⁻¹ (همان آرکسین، آرککسینوس، آرکتانژانت).
چرا tan(90°) وجود ندارد؟
تانژانت = sin/cos. در 90°، cos(90°) = 0 و تقسیم بر صفر تعریف نشده است. در نمودار، تانژانت با نزدیک شدن زاویه به 90° به ±بینهایت نزدیک میشود. به این آسیمپتوت عمودی گفته میشود. به همین ترتیب، tan(270°) تعریف نشده است.
توابع مثلثاتی در زندگی واقعی برای چه استفاده میشوند؟
مثلثات در موارد زیر استفاده میشود: ناوبری (GPS، هوانوردی، دریانوردی)، معماری و ساختوساز (زوایای سقف، محاسبات پله)، فیزیک (امواج، نوسانات، مدارهای AC)، گرافیک کامپیوتری (چرخش سهبعدی، موتورهای بازی)، نجوم (اندازهگیری فاصله ستارگان) و مهندسی (تحلیل سازه، پردازش سیگنال).