ماشین حساب فاصله (دو نقطه)
محاسبه فاصله بین دو نقطه با استفاده از فرمول فاصله √((x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²).
فرمول فاصله چیست؟
فاصله بین دو نقطه در یک صفحه دوبعدی با استفاده از فرمول فاصله محاسبه میشود: d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²). این فرمول کاربرد مستقیم قضیه فیثاغورث است — جداسازیهای افقی و عمودی بین دو نقطه پاهای یک مثلث قائمالزاویه را تشکیل میدهند و فاصله وتر است.
برای یافتن فاصله بین نقاط (x₁, y₁) و (x₂, y₂)، تفاوت در مختصات x (Δx = x₂ − x₁) و تفاوت در مختصات y (Δy = y₂ − y₁) را محاسبه کنید. هر دو تفاوت را به توان ۲ برسانید، جمع کنید و جذر بگیرید.
این فرمول فاصله اقلیدسی (خط مستقیم) را در دستگاه مختصات دکارتی — که به رنه دکارت نسبت داده شده — اندازه میگیرد.
مثالهای گام به گام
مثال ۱ — سهتایی فیثاغوری: فاصله از (1, 2) تا (4, 6) را بیابید.
- Δx = 4 − 1 = 3
- Δy = 6 − 2 = 4
- d = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5
مثال ۲ — نتیجه گنگ: فاصله از (0, 0) تا (3, 7).
d = √(9 + 49) = √58 ≈ 7.6158
مثال ۳ — مختصات منفی: فاصله از (−3, −4) تا (2, 8).
Δx = 5، Δy = 12، d = √169 = 13
| نقطه A | نقطه B | Δx | Δy | فاصله |
|---|---|---|---|---|
| (0, 0) | (3, 4) | 3 | 4 | 5 (دقیق) |
| (0, 0) | (5, 12) | 5 | 12 | 13 (دقیق) |
| (1, 2) | (3, 7) | 2 | 5 | √29 ≈ 5.385 |
اشتقاق فرمول فاصله از قضیه فیثاغورث
فرمول فاصله یک قانون ریاضی جداگانه نیست — این نتیجه مستقیم قضیه فیثاغورث (a² + b² = c²) است که توسط دکارت در قرن هفدهم به هندسه مختصاتی تعمیم داده شده است.
با دادن دو نقطه P₁(x₁, y₁) و P₂(x₂, y₂)، یک مثلث قائمالزاویه بسازید. پای افقی طول |x₂ − x₁| و پای عمودی طول |y₂ − y₁| دارد. طبق قضیه فیثاغورث: d² = (x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²
تعمیم: فاصله سهبعدی و فرمول نقطه میانی
برای نقاط (x₁, y₁, z₁) و (x₂, y₂, z₂) در فضای سهبعدی: d = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)² + (z₂−z₁)²)
فرمول نقطه میانی: نقطه میانی M بین P₁P₂ برابر است با: M = ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2). میانگین مختصات را حساب کنید.
| بعد | فرمول فاصله |
|---|---|
| ۱ بعدی | d = |x₂ − x₁| |
| ۲ بعدی | d = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²) |
| ۳ بعدی | d = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)² + (z₂−z₁)²) |
| n بعدی | d = √(Σᵢ(x₂ᵢ−x₁ᵢ)²) |
سوالات متداول
فرمول فاصله بین دو نقطه چیست؟
d = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²). مختصات را تفریق کنید، هر تفاوت را به توان ۲ برسانید، جمع کنید و جذر بگیرید. این فاصله خط مستقیم (اقلیدسی) بین دو نقطه را میدهد.
آیا مهم است کدام نقطه (x₁,y₁) و کدام (x₂,y₂) باشد؟
خیر. فرمول فاصله از هر طرف همان نتیجه را میدهد چون تفاوتها به توان ۲ میرسند. فاصله متقارن است: d(A,B) = d(B,A).
فاصله بین دو نقطه یکسان چقدر است؟
صفر. d = √((0)² + (0)²) = 0. یک نقطه همیشه فاصله صفر از خودش دارد.
چگونه فاصله در فضای سهبعدی را بیابم؟
فرمول را گسترش دهید: d = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)² + (z₂−z₁)²).
تفاوت بین فاصله و جابجایی چیست؟
فاصله یک اسکالر است (فقط اندازه) — چقدر دو نقطه از هم دورند. جابجایی یک بردار است (اندازه و جهت). فرمول فاصله اندازه جابجایی را میدهد.
سهتاییهای فیثاغوری چیستند و چرا اهمیت دارند؟
مجموعههای عددی (a, b, c) که a² + b² = c² را برآورده میکنند. رایجترینها: ۳-۴-۵، ۵-۱۲-۱۳، ۸-۱۵-۱۷. وقتی Δx و Δy یک سهتایی فیثاغوری تشکیل دهند، فاصله یک عدد صحیح دقیق است.
فرمول نقطه میانی چیست؟
نقطه میانی M بین (x₁,y₁) و (x₂,y₂) برابر است با M = ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2). میانگین هر جفت مختصات.
فاصله اقلیدسی در مقابل فاصله منهتن چیست؟
اقلیدسی = فاصله خط مستقیم. منهتن = مجموع گامهای افقی و عمودی (مانند بلوکهای شهری). فاصله منهتن ≥ فاصله اقلیدسی همیشه. از منهتن برای ناوبری شبکهای استفاده کنید؛ از اقلیدسی برای فاصله فیزیکی خط مستقیم.
آیا فرمول فاصله میتواند منفی باشد؟
خیر. فاصله همیشه غیرمنفی است. اگر نتیجه منفی میگیرید، فرمول را دوباره بررسی کنید.