Калькулятор тригонометрії – Sin, Cos, Tan та зворотні функції
Розрахуйте синус, косинус, тангенс та зворотні тригонометричні функції. Розв'яжіть прямокутні трикутники та конвертуйте між градусами і радіанами. Безкоштовний онлайн-калькулятор тригонометрії.
Шість тригонометричних функцій
Тригонометрія базується на шести фундаментальних функціях, що пов'язують кути зі співвідношеннями сторін прямокутного трикутника. Для кута θ у прямокутному трикутнику з протилежним катетом O, прилеглим катетом A та гіпотенузою H:
| Функція | Скорочення | Формула | Обернена |
|---|---|---|---|
| Синус | sin θ | O/H | косеканс (csc) |
| Косинус | cos θ | A/H | секанс (sec) |
| Тангенс | tan θ | O/A | котангенс (cot) |
| Косеканс | csc θ | H/O | синус |
| Секанс | sec θ | H/A | косинус |
| Котангенс | cot θ | A/O | тангенс |
Мнемонічний засіб SOH-CAH-TOA допоможе запам'ятати: Синус = Протилежний/Гіпотенуза, Косинус = Прилеглий/Гіпотенуза, Тангенс = Протилежний/Прилеглий.
Значення кутів, що часто зустрічаються
Певні кути зустрічаються часто, і їх варто запам'ятати:
| Градуси | Радіани | sin | cos | tan |
|---|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 30° | π/6 | 1/2 | √3/2 | 1/√3 |
| 45° | π/4 | √2/2 | √2/2 | 1 |
| 60° | π/3 | √3/2 | 1/2 | √3 |
| 90° | π/2 | 1 | 0 | не визначено |
| 180° | π | 0 | −1 | 0 |
| 270° | 3π/2 | −1 | 0 | не визначено |
| 360° | 2π | 0 | 1 | 0 |
Градуси та радіани
Кути можна вимірювати в градусах або радіанах. Градуси ділять повне коло на 360 рівних частин. Радіани вимірюють кут як відношення довжини дуги до радіуса — повне коло дорівнює 2π радіанів.
Формули перетворення:
- Градуси в радіани: радіани = градуси × π / 180
- Радіани в градуси: градуси = радіани × 180 / π
Радіани є природною одиницею в математичному аналізі та фізиці. Похідна sin(x) дорівнює cos(x) лише тоді, коли x виражено в радіанах. У програмуванні більшість математичних бібліотек за замовчуванням використовують радіани.
Теорема Піфагора та тригонометричні тотожності
Найважливіша тотожність у тригонометрії: sin²θ + cos²θ = 1. Вона випливає безпосередньо з теореми Піфагора (O² + A² = H²), поділеної на H².
Інші ключові тотожності:
- Подвійний кут: sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ); cos(2θ) = cos²θ − sin²θ
- Сума кутів: sin(A+B) = sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B)
- Тотожність тангенса: tan(θ) = sin(θ)/cos(θ)
- Обернені: csc(θ) = 1/sin(θ); sec(θ) = 1/cos(θ); cot(θ) = 1/tan(θ)
💡 Чи знаєте ви?
- Слово «тригонометрія» походить від грецького: trigonon (трикутник) + metron (вимірювання).
- Гіппарх Нікейський (190–120 до н. е.) часто називається «батьком тригонометрії» — він склав першу відому тригонометричну таблицю.
- GPS-навігація, комп'ютерна графіка, звукові хвилі та змінні електричні кола — все це спирається на тригонометричні функції.
Часті запитання
Яка різниця між sin, cos та tan?
У прямокутному трикутнику: синус — відношення протилежного катета до гіпотенузи; косинус — прилеглого до гіпотенузи; тангенс — протилежного до прилеглого. Пам'ятайте SOH-CAH-TOA. Кожна функція дає значення між −1 і 1 (тангенс може бути будь-яким числом), відображаючи залежність між кутом і довжинами сторін.
Як використовувати зворотні тригонометричні функції (arcsin, arccos, arctan)?
Зворотні функції знаходять кут за відомим відношенням. Якщо sin(θ) = 0,5, то θ = arcsin(0,5) = 30°. Використовуйте arcsin, коли знаєте протилежний/гіпотенуза; arccos — прилеглий/гіпотенуза; arctan — протилежний/прилеглий. Кнопки калькулятора: sin⁻¹, cos⁻¹, tan⁻¹ (те саме, що arcsin, arccos, arctan).
Чому tan(90°) не існує?
Тангенс = sin/cos. При 90° cos(90°) = 0, а ділення на нуль є невизначеним. На графіку тангенс прямує до ±нескінченності при наближенні кута до 90°. Це називається вертикальною асимптотою. Так само tan(270°) є невизначеним.
Де в реальному житті використовуються тригонометричні функції?
Тригонометрія використовується в: навігації (GPS, авіація, мореплавство), архітектурі та будівництві (кути даху, розрахунки сходів), фізиці (хвилі, коливання, змінний струм), комп'ютерній графіці (3D обертання, ігрові рушії), астрономії (вимірювання відстаней до зірок) та техніці (аналіз конструкцій, обробка сигналів).