เครื่องคิดระยะทาง (สองจุด)
คำนวณระยะทางระหว่างสองจุดโดยใช้สูตรระยะทาง √((x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²)
สูตรระยะทางคืออะไร?
สูตรระยะทางคำนวณระยะทางเส้นตรง (ยุคลิด) ระหว่างสองจุดในระนาบพิกัด: d = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²)
สูตรนี้มาจากทฤษฎีบทพีทาโกรัส โดยลบพิกัด ยกกำลังสองแต่ละผลต่าง บวกกำลังสองทั้งสอง แล้วถอดรากที่สอง
ตัวอย่าง: ระยะทางจาก (1, 2) ถึง (4, 6): d = √((4−1)² + (6−2)²) = √(9 + 16) = √25 = 5
ตัวอย่างการคำนวณทีละขั้นตอน
ตัวอย่างที่ 1: จาก (0,0) ถึง (3,4): d = √(3² + 4²) = √(9+16) = √25 = 5
ตัวอย่างที่ 2: จาก (−2,1) ถึง (3,13): d = √((3−(−2))² + (13−1)²) = √(25+144) = √169 = 13
ตัวอย่างที่ 3: จาก (1.5, 2.5) ถึง (4.5, 6.5): d = √(3² + 4²) = 5
การอนุมานสูตรระยะทางจากทฤษฎีบทพีทาโกรัส
สูตรระยะทางเป็นการประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสโดยตรง เมื่อคุณมีสองจุดในระนาบ xy คุณสามารถสร้างสามเหลี่ยมมุมฉากได้โดย: ด้านนอนแนวนอนมีความยาว |x₂−x₁| ด้านตั้งแนวตั้งมีความยาว |y₂−y₁| และเส้นทแยงมุมคือระยะทางที่ต้องการ โดย d² = (Δx)² + (Δy)²
ระยะทาง 3 มิติและสูตรจุดกึ่งกลาง
ระยะทาง 3 มิติ: d = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)² + (z₂−z₁)²)
สูตรจุดกึ่งกลาง: M = ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2)
สูตรระยะทาง n มิติ: d = √(Σᵢ(xᵢ₂−xᵢ₁)²)
การประยุกต์ใช้ในชีวิตจริง
สูตรระยะทางใช้ใน GPS และการทำแผนที่ การออกแบบเกมคอมพิวเตอร์ การประมวลผลภาพ ปัญญาประดิษฐ์ (k-nearest neighbors) การเดินเรือ และงานออกแบบวิศวกรรม
Triple พีทาโกรัสที่พบบ่อย
| a | b | c |
|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 |
| 5 | 12 | 13 |
| 8 | 15 | 17 |
| 7 | 24 | 25 |
| 6 | 8 | 10 |
ระยะทางในเมตริกต่างๆ: ยุคลิด vs แมนฮัตตัน vs เชบีเชฟ
ระยะทางยุคลิด: √((Δx)² + (Δy)²) — เส้นตรง
ระยะทางแมนฮัตตัน: |Δx| + |Δy| — เหมือนเดินในตึก
ระยะทางเชบีเชฟ: max(|Δx|, |Δy|) — เหมือนการเคลื่อนที่ของราชหมากรุก
คำถามที่พบบ่อย
สูตรระยะทางระหว่างสองจุดคืออะไร?
d = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²) ลบพิกัด ยกกำลังสองแต่ละผลต่าง บวกกำลังสองทั้งสอง แล้วถอดรากที่สอง ได้ระยะทางเส้นตรง (ยุคลิด) ระหว่างสองจุด
ลำดับของ (x₁,y₁) และ (x₂,y₂) มีผลหรือไม่?
ไม่มี สูตรระยะทางให้ผลเหมือนกันทั้งสองทิศทาง เพราะผลต่างถูกยกกำลังสอง: (x₂−x₁)² = (x₁−x₂)² ระยะทางมีความสมมาตร d(A,B) = d(B,A)
ระยะทางระหว่างสองจุดที่เหมือนกันคือเท่าไร?
ศูนย์ ถ้า (x₁,y₁) = (x₂,y₂) ดังนั้น d = √((0)² + (0)²) = 0 จุดหนึ่งอยู่ห่างจากตัวมันเองเป็นศูนย์เสมอ
หาระยะทางใน 3 มิติอย่างไร?
ขยายสูตร: d = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)² + (z₂−z₁)²) ตัวอย่าง ระยะทางจาก (1,2,3) ถึง (4,6,3): d = √(9+16+0) = √25 = 5
ความแตกต่างระหว่างระยะทางและการกระจัดคืออะไร?
ระยะทางเป็นสเกลาร์ (ขนาดเท่านั้น) การกระจัดเป็นเวกเตอร์ (ขนาดและทิศทาง) สูตรระยะทางให้ขนาดของการกระจัด เส้นทางที่แตกต่างกันระหว่างสองจุดอาจมีความยาวต่างกัน แต่ระยะทางตรงเท่ากัน
Triple พีทาโกรัสคืออะไรและสำคัญอย่างไร?
Triple พีทาโกรัสคือชุดจำนวนเต็ม (a, b, c) ที่ a² + b² = c² ตัวที่พบบ่อย: 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17 เมื่อ Δx และ Δy ตรงกับ triple พีทาโกรัส ระยะทางจะเป็นจำนวนเต็มพอดี
สูตรจุดกึ่งกลางคืออะไร?
จุดกึ่งกลาง M ระหว่าง (x₁,y₁) และ (x₂,y₂) คือ M = ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2) เป็นค่าเฉลี่ยของแต่ละคู่พิกัด และอยู่ห่างจากแต่ละจุดปลายเท่าๆ กัน
การคำนวณระยะทางใช้ใน GPS และการทำแผนที่อย่างไร?
GPS ใช้พิกัดละติจูด/ลองจิจูด สำหรับระยะทางสั้น สูตรพีทาโกรัสเพียงพอ สำหรับระยะทางไกล สูตร Haversine คำนึงถึงความโค้งของโลก: d = 2R × arcsin(√(sin²(Δlat/2) + cos(lat₁)cos(lat₂)sin²(Δlon/2)))
ระยะทางแมนฮัตตัน vs ยุคลิดต่างกันอย่างไร?
ระยะทางยุคลิด = √((Δx)² + (Δy)²) — เส้นตรง ระยะทางแมนฮัตตัน = |Δx| + |Δy| — เหมือนเดินในตึก ระยะทางแมนฮัตตัน ≥ ระยะทางยุคลิดเสมอ ใช้แมนฮัตตันสำหรับการเดินในกริด ใช้ยุคลิดสำหรับระยะทางทางกายภาพตรง
สูตรระยะทางเป็นลบได้หรือไม่?
ไม่ได้ ระยะทางเป็นค่าบวกเสมอ ฟังก์ชันรากที่สองให้ค่าที่ไม่เป็นลบ และผลรวมของกำลังสองเป็น ≥ 0 เสมอ ระยะทางเท่ากับศูนย์เมื่อสองจุดเหมือนกันเท่านั้น