مطلق قدر کیلکولیٹر

مطلق قدر کیا ہے؟

کسی نمبر کی مطلق قیمت نمبر لائن پر صفر سے اس کا فاصلہ ہے ، قطع نظر اس کی سمت سے قطع نظر۔ اسے x کے طور پر لکھا جاتا ہے ، مطلق قیمت ہمیشہ غیر منفی ہوتی ہے۔ کسی بھی حقیقی نمبر x کے لئے: اگر x ≥ 0 ہے تو ، پھر x x = x ہے۔ اگر x < 0 ہے تو ، پھر x x = -x (x کا منفی ، جو اسے مثبت بناتا ہے) ۔

مثال کے طور پر: ۰۷ ڈیجیٹل = ۷، ۰-۷ ڈیجیٹل = ۷، ۰ ڈیجیٹل = ۰، ۰-۳،۱۴ ڈیجیٹل = ۳،۱۴۔ مطلق قدر کی نمائندگی کرتا ہے۔ magnitude بغیر کسی علامت کے۔ اس کے بارے میں سوچیں جیسے نمبر اور اصل کے مابین جسمانی فاصلہ نمبر لائن پر ⁇ فاصلہ ہمیشہ مثبت ہوتا ہے۔

اشارے میں: x - y اعداد کی لکیر پر دو پوائنٹس x اور y کے مابین فاصلے کی نمائندگی کرتا ہے۔ یہ تشریح پیچیدہ نمبروں تک پھیلتی ہے جیسے ماڈیولس: a + b = √ (a2 + b2) ، جو پیچیدہ ہوائی جہاز میں اصل سے فاصلے کی نمائندگی کرتی ہے۔ یہ تصور تجزیہ ، ٹوپولوجی ، اور میٹرک اسپیس تھیوری میں بنیادی ہے ، جہاں "فاصلہ افعال" واقف مطلق قدر سے عام ہیں۔

اس سے پہلے ، ریاضی دانوں نے اس تصور کو زبانی طور پر بیان کیا تھا۔ سادہ عمودی بار نوٹیشن اب ریاضی ، طبیعیات ، انجینئرنگ اور کمپیوٹر سائنس میں آفاقی ہے ، جس سے یہ ظاہر ہوتا ہے کہ "بغیر نشان کے طول و عرض" کا خیال واقعی کتنا مرکزی ہے۔

مطلق قدر کی خصوصیات اور قواعد

مطلق قدر کئی اہم الجبری خصوصیات پر عمل کرتا ہے جو ثبوت اور حساب کتاب میں مستقل طور پر استعمال ہوتے ہیں۔ ان قواعد کو سمجھنے سے آپ اعتماد کے ساتھ مطلق قدر کے اظہار میں ہیرا پھیری کرسکتے ہیں۔

• Non-negativity: "ایکس ڈی آئی جی ≥ 0 تمام حقیقی ایکس کے لئے۔ مساوات صرف ایکس = 0 پر برقرار ہے۔
• Identity: ۔x ڈیڈ = 0 اگر اور صرف اگر x = 0.
• یہاں تک کہ فنکشن: یہاں تک کہ فنکشن: ۔ ۔ ۔ مطلق قدر کی تقریب y محور کے ارد گرد توازن رکھتی ہے۔
• Multiplicativity: ۔x × y چیپس = x چیپس × y چیپس۔ کسی مصنوع کی مطلق قیمت مطلق اقدار کی پیداوار کے برابر ہوتی ہے۔
• رقم کی ذیلی ضرب (مثلث عدم مساوات): ۔x + y کیا ہے ≤ x کیا ہے + y کیا ہے۔ تمام ریاضیات میں سب سے اہم عدم مساوات میں سے ایک۔
• الٹی مثلث عدم مساوات: الٹی مثلث عدم مساوات: ہم نے کیا کیا ہے، ہم نے کیا کیا ہے، ہم نے کیا کیا ہے
• Division: │x/y │ │ │x │ │y │ │ (جب y ≠ 0) ۔
• Power: ⁇ ہمیشہ غیر منفی۔ ہمیشہ غیر منفی۔

مطلق ویلیو مساوات کو حل کرنے کے لئے دونوں معاملات پر غور کرنے کی ضرورت ہے۔ 20x بائی = 5 کا مطلب ہے x = 5 یا x = -5۔ 2x - 3 بائی = 7 کا مطلب ہے 2x - 3 = 7 (لہذا x = 5) یا 2x - 3 = -7 (لہذا x = -2) ۔ ہمیشہ دونوں حلوں کو اصل مساوات میں چیک کریں۔ زیادہ پیچیدہ مساوات جیسے 20x - 2 بائی = 20x + 1 بائی ، دونوں اطراف کو مربع کریں یا سائن علاقوں پر مبنی معاملات پر غور کریں۔

مطلق قدر کی عدم مساوات دو نمونوں پر عمل پیرا ہوتی ہے۔ ۔ ۔ ۔ ایکس بائیو < a (جہاں a > 0) کا مطلب ہے -a < x < a ⁇ ایک محدود وقفہ۔ ۔ ۔ ایکس بائیو > a کا مطلب ہے x < -a یا x > a ⁇ دو غیر محدود شعاعیں۔ یہ غلطی کے تجزیے ، انجینئرنگ میں رواداری کی وضاحتیں ، اور کیلکولس اور تجزیہ میں پڑوس کی وضاحت میں کثرت سے پیدا ہوتے ہیں۔ ۔ ۔ x - c بائیو < δ "x c کے اندر ہے" کی رسمی تعریف ہے ، جو ایک حد کی epsilon-delta تعریف کا دل ہے۔

مرحلہ وار مثالیں مرحلہ وار مثالیں

مثالوں کے ذریعے کام کرنا مطلق قدر کے حساب کتاب اور مساوات کے حل کے بارے میں تفہیم کو مستحکم کرتا ہے۔ یہاں دشواری کی بڑھتی ہوئی سطحوں پر کئی کام کی مثالیں ہیں۔

ایک اہم غلطی جو طلباء کرتے ہیں: ۔-x ڈیسک ہمیشہ -x ⁇ نہیں ہوتا ہے یہ برابر ہے ۔x ڈیسک جو مثبت ہے۔ نیز ، √(x2) = ۔x ڈیسک ، صرف x نہیں ہے۔ مثال کے طور پر ، √((-5) 2) = √25 = 5 = -5 ڈیسک۔ اسے بھولنے سے الجبرا میں غلط سادگی پیدا ہوتی ہے۔

مثلث کی عدم مساوات: یہ کیوں اہم ہے؟

مثلث کی عدم مساوات ٠x+یٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰاٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰٰ

یہ عدم مساوات تجزیہ کی بنیاد ہے۔ اس کا استعمال افعال کی تسلسل ، تسلسل اور سیریز کی تقابلی اور میٹرک خالی جگہوں کے بارے میں بنیادی نتائج کو ثابت کرنے کے لئے کیا جاتا ہے۔ ہر ثبوت یہ ہے کہ کوئی فنکشن مستقل ہے بنیادی طور پر کسی وقت مثلث عدم مساوات کا استعمال کرتا ہے۔ ویکٹر خالی جگہوں پر عام کرنا معمول کی عدم مساوات بن جاتا ہے:سےڈو + ویسےڈو ≤سےڈو +سےڈو +سےڈو.

عملی طور پر ، مثلث کی عدم مساوات مفید حدود مہیا کرتی ہے۔ اگر آپ کو معلوم ہے کہ: a ≤ M اور b ≤ N ، تو: a + b ≤ M + N ⁇ مشترکہ غلطی زیادہ سے زیادہ انفرادی غلطیوں کا مجموعہ ہے۔ یہ عددی تجزیہ ، غلطی کے پھیلاؤ اور انجینئرنگ رواداری میں استعمال ہوتا ہے۔ الٹی مثلث کی عدم مساوات: a ≤ M - b ≤ b - b آپ کو بتاتی ہے کہ طول و عرض میں فرق فرق کی شدت سے محدود ہے۔

مساوات کی شرط x + y کا مطلب ہے کہ x + y کا مطلب ہے کہ x + y کا مطلب ہے کہ x اور y کی علامت ایک جیسی ہے (یا کم از کم ایک صفر ہے) ۔ یہ "منحرف مثلث" کی صورت ہے جہاں تینوں پوائنٹس ملحقہ ہیں ، جس کا مطلب ہے کہ x اور y ایک ہی سمت کی طرف اشارہ کرتے ہیں۔

حقیقی دنیا کی ایپلی کیشنز میں مطلق قدر

مطلق قدر سائنس ، انجینئرنگ اور روزمرہ کی زندگی میں ظاہر ہوتا ہے جہاں کہیں بھی آپ سمت کی بجائے مقدار کی پرواہ کرتے ہیں۔ اس کی ایپلی کیشنز کو سمجھنے سے آپ کو یہ پہچاننے میں مدد ملتی ہے کہ اسے کب اور کیوں استعمال کیا جائے۔

طبیعیات ⁇ رفتار بمقابلہ رفتار: رفتار رفتار کی مطلق قدر ہے۔ ایک کار جس کی رفتار -60 میل فی گھنٹہ (60 میل فی گھنٹہ پر پیچھے کی طرف بڑھتی ہے) کی رفتار ہے ۔-60rpm = 60mph۔ رفتار ایک نشان زدہ مقدار ہے (ہدایت معاملات) ؛ رفتار غیر نشان زدہ ہے (صرف طول و عرض) ۔ وہی اصول نقل مکانی بمقابلہ فاصلہ سفر پر لاگو ہوتا ہے۔

فنانس ⁇ بینچ مارکس سے انحراف: بینچ مارکس سے انحراف: سرمایہ کاری کی واپسی کا موازنہ کرتے وقت ، آپ کسی اشارے سے قطع نظر کسی بینچ مارک سے مطلق انحراف چاہتے ہو سکتے ہیں: آپ کتنے دور ہیں ، اوپر یا نیچے؟ کسی فنڈ کی ٹریکنگ غلطی کو عام طور پر مطلق انحراف کے روٹ میڈین اسکوائر کے طور پر بیان کیا جاتا ہے۔

اعدادوشمار ⁇ اوسط مطلق انحراف (ایم اے ڈی): MAD = (1/n) × Σίκος - اوسط۔ متغیر کے برعکس (جو انحرافات کو مربع کرتا ہے) ، MAD اصل اکائیوں کو برقرار رکھتا ہے اور آؤٹ لیئرز کے لئے کم حساس ہے۔ یہ مضبوط اعدادوشمار ، کوالٹی کنٹرول ، اور پیشن گوئی کی درستگی (اوسط مطلق غلطی ، یا MAE) کی پیمائش کے طور پر استعمال ہوتا ہے۔

کمپیوٹر سائنس ⁇ فاصلاتی افعال: دو پوائنٹس کے مابین L1 نورم (مینہٹن فاصلہ) کوآرڈینیٹ کے مطلق اختلافات کا مجموعہ ہے: d = Σ ساقی - bi ساقی۔ یہ امیج پروسیسنگ ، مشین لرننگ (لاسو ریگریشن) ، اور سٹی بلاک روٹنگ کے مسائل میں استعمال ہوتا ہے۔ abs ((() افعال کو ترتیب دینے ، موازنہ آپریشنز ، اور سگنل پروسیسنگ الگورتھم میں بڑے پیمانے پر استعمال کیا جاتا ہے۔

انجینئرنگ ⁇ رواداری: "5.00 ملی میٹر ± 0.02 ملی میٹر" کی مینوفیکچرنگ کی تفصیلات کا مطلب ہے کہ ماپا - 5.00 ڈگری ≤ 0.02۔ رواداری بینڈ کے اندر تمام پیمائش قابل قبول ہیں۔ یہ کوالٹی کنٹرول میں مطلق قدر عدم مساوات کا براہ راست اطلاق ہے۔

مشین لرننگ ⁇ نقصان کے افعال: اوسط مطلق غلطی (ایم اے ای) نقصان کی تقریب ہر تربیتی مثال کے لئے پیش گوئی شدہ - اصل غلطی کا استعمال کرتی ہے۔ اوسط مربع غلطی (ایم ایس ای) کے برعکس ، یہ سائز سے قطع نظر تمام غلطیوں کے ساتھ یکساں طور پر سلوک کرتا ہے اور آؤٹ لیئرز کے لئے مضبوط ہے۔ لاسو ریگولرائزیشن نے نقصان کی تقریب میں ساسکوی کو شامل کیا ، جس سے چھوٹے وزن کو بالکل صفر تک سکڑایا جاتا ہے اور بکھرے ہوئے ماڈل تیار کیے جاتے ہیں۔

مطلق ویلیو فنکشن: گراف اور کیلکولس

y = x کا گراف ایک V کی شکل تشکیل دیتا ہے ، جس کی ابتداء میں چوٹی ہوتی ہے۔ x ≥ 0 کے لئے ، یہ y = x (سلوپ + 1) پر عمل کرتا ہے؛ x < 0 کے لئے ، یہ y = -x (سلوپ -1) پر عمل کرتا ہے۔ فنکشن ہر جگہ مستقل ہے لیکن x = 0 پر متغیر نہیں ہے ⁇ ایک تیز کونے ہے جہاں بائیں اور دائیں مشتقات متفق نہیں ہیں (+ 1 اور -1) ۔

"x" کی تبدیلیاں معیاری قواعد پر عمل کرتی ہیں: y = x - h + k چوٹی کو (h, k) میں منتقل کرتی ہے۔ y = a) h + k) x کے جھکاووں کو ترازو دیتا ہے (a) کے لئے steeper > 1 ، a) کے لئے flatter 1 ، a کے لئے جھکا ہوا 0) ۔ یہ مطلق قدر افعال تعارفی الجبرا اور ٹکڑے ٹکڑے فنکشن کے کام میں عام ہیں۔

کیلکولس میں ، d/dx ⁇ x ≠ 0 کے لئے d/dx ⁇ x/dx ⁇ = x/dx ⁇ = sign ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ، اور x = 0 ، اور undefined at x = 0 at x = 0 ، اور undefined at x = x = 0 ۔

انٹیگریشن: ∫ پاش پاش پاش dx = (x پاش پاش پاش) / 2 + C = (پاش پاش2/2) · نشان (x) + C۔ مطلق قدر والے قطعی انٹیگرلز میں انٹیگرل کو اندر کے اظہار کے صفر پر تقسیم کرنے کی ضرورت ہوتی ہے۔ ∫−23 ∫x پاش dx: x=0 → ∫−20 (-x) dx + ∫03 x dx = [x2/2]−20 + [x2/2]03 = (0 - 2) + (4.5 - 0) = 6.5 پر تقسیم کریں۔ یہ تقسیم کرنے کی تکنیک حقیقی تجزیہ میں ضروری ہے۔

پروگرامنگ زبانوں میں مطلق قدر

ہر بڑی پروگرامنگ زبان بلٹ ان مطلق قدر افعال مہیا کرتی ہے۔ استعمال کرنے کے لئے صحیح فنکشن ⁇ اور ممکنہ رکاوٹوں ⁇ کو جاننا درست ، موثر کوڈ لکھنے کے لئے ضروری ہے۔

ایک تنقیدی جاوا gotcha: Math.abs(Integer.MIN_VALUE) Integer.MIN_VALUE (-2،147،483،648) لوٹاتا ہے ، مثبت نمبر نہیں ہے۔ اس کی وجہ یہ ہے کہ دو کی تکمیل انٹیجر نمائندگی میں سب سے زیادہ منفی قدر کے لئے کوئی مثبت ہم منصب نہیں ہے۔ مضبوط کوڈ لکھتے وقت ہمیشہ اس ایج کیس کو سنبھالیں۔

NumPy (Python) میں ، np.abs ((() ویکٹرائزڈ ہے اور صفوں پر کام کرتا ہے: np.abs (((np.array (([-1, -2, 3])) array (([1, 2, 3])) لوٹاتا ہے۔ یہ لوپنگ سے کہیں زیادہ موثر ہے۔ اسی طرح ، SQL کا ABS ((() فنکشن پورے کالموں پر کام کرتا ہے ، جس سے مجموعی سوالات میں مطلق انحراف کا حساب لگانا آسان ہوجاتا ہے۔