เครื่องคำนวณค่าสัมบูรณ์
คำนวณค่าสัมบูรณ์ของตัวเลขหรือนิพจน์ใดก็ได้ |x| คืนค่าขนาดที่ไม่เป็นลบ เครื่องมือคณิตศาสตร์ฟรีนี้ให้ผลลัพธ์ที่แม่นยำทันที
ค่าสัมบูรณ์คืออะไร?
ค่าสัมบูรณ์ของจำนวนคือระยะทางจากศูนย์บนเส้นจำนวน โดยไม่คำนึงถึงทิศทาง เขียนเป็น |x| ค่าสัมบูรณ์จะเป็นจำนวนบวกเสมอ สำหรับจำนวนจริง x ใด ๆ: ถ้า x ≥ 0 แล้ว |x| = x ถ้า x < 0 แล้ว |x| = -x (ค่าลบของ x ซึ่งทำให้เป็นบวก)
ตัวอย่าง: |7| = 7, |-7| = 7, |0| = 0, |-3.14| = 3.14 ค่าสัมบูรณ์แสดงถึง ขนาด โดยไม่คำนึงถึงเครื่องหมาย คิดว่าเป็นระยะทางทางกายภาพระหว่างจำนวนและจุดกำเนิดบนเส้นจำนวน — ระยะทางเป็นบวกเสมอ
ในรูปแบบการเขียน: |x - y| แสดงถึงระยะห่างระหว่างจุดสองจุด x และ y บนเส้นจำนวน การตีความนี้ขยายไปยังจำนวนเชิงซ้อนในฐานะโมดูลัส: |a + bi| = √(a² + b²) แสดงถึงระยะห่างจากจุดกำเนิดในระนาบจำนวนเชิงซ้อน แนวคิดนี้เป็นพื้นฐานในการวิเคราะห์ ท็อปออโลยี และทฤษฎีพื้นที่เมตริก ซึ่ง "ฟังก์ชันระยะทาง" ถูกทำให้ทั่วไปจากค่าสัมบูรณ์ที่คุ้นเคย
การเขียน |x| ถูกนำเสนอโดย Karl Weierstrass ในปี 1841 ก่อนหน้านี้ นักคณิตศาสตร์อธิบายแนวคิดนี้ด้วยคำพูด การเขียนแนวตั้งง่าย ๆ นี้เป็นสากลในทุกสาขาวิชาคณิตศาสตร์ ฟิสิกส์ วิศวกรรมศาสตร์ และวิทยาการคอมพิวเตอร์ สะท้อนให้เห็นว่าแนวคิดของ "ขนาดโดยไม่มีเครื่องหมาย" เป็นสิ่งสำคัญอย่างแท้จริง
คุณสมบัติและกฎของค่าสัมบูรณ์
ค่าสัมบูรณ์มีคุณสมบัติทางพีชคณิตที่สำคัญหลายประการซึ่งใช้กันอย่างต่อเนื่องในการพิสูจน์และการคำนวณ การทำความเข้าใจกฎเหล่านี้ช่วยให้คุณสามารถจัดการนิพจน์ค่าสัมบูรณ์ได้อย่างมั่นใจ
- ไม่เป็นลบ: |x| ≥ 0 สำหรับ x จริงทั้งหมด ความเท่ากันเกิดขึ้นเฉพาะที่ x = 0
- เอกลักษณ์: |x| = 0 ก็ต่อเมื่อ x = 0
- ฟังก์ชันคู่: |-x| = |x| ฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์มีความสมมาตรรอบแกน y
- การคูณ: |x × y| = |x| × |y| ค่าสัมบูรณ์ของผลคูณเท่ากับผลคูณของค่าสัมบูรณ์
- การคูณย่อยของผลบวก (ความไม่เท่ากันของสามเหลี่ยม): |x + y| ≤ |x| + |y| หนึ่งในความไม่เท่ากันที่สำคัญที่สุดในทั้งหมดของคณิตศาสตร์
- ความไม่เท่ากันของสามเหลี่ยมย้อนกลับ: ||x| - |y|| ≤ |x - y|
- การหาร: |x / y| = |x| / |y| (เมื่อ y ≠ 0)
- กำลัง: |x²| = x² = |x|² เป็นบวกเสมอ
การแก้สมการค่าสัมบูรณ์ต้องพิจารณาทั้งสองกรณี |x| = 5 หมายความว่า x = 5 หรือ x = -5 |2x - 3| = 7 หมายความว่า 2x - 3 = 7 (ดังนั้น x = 5) หรือ 2x - 3 = -7 (ดังนั้น x = -2) ตรวจสอบทั้งสองโซลูชันในสมการต้นฉบับเสมอ สำหรับสมการที่ซับซ้อนยิ่งขึ้นเช่น |x - 2| = |x + 1| ให้ยกกำลังสองทั้งสองข้างหรือพิจารณากรณีตามภูมิภาคเครื่องหมาย
ความไม่เท่ากันของค่าสัมบูรณ์มีสองรูปแบบ |x| < a (โดยที่ a > 0) หมายความว่า -a < x < a — ช่วงที่มีขอบเขต |x| > a หมายความว่า x < -a หรือ x > a — สองแนวที่ไม่มีขอบเขต เกิดขึ้นบ่อยครั้งในการวิเคราะห์ข้อผิดพลาด ข้อกำหนดความอดทนในวิศวกรรม และการกำหนดพื้นที่ใกล้เคียงในแคลคูลัสและการวิเคราะห์ การเขียน |x - c| < δ เป็นคำจำกัดความอย่างเป็นทางการของ "x อยู่ภายใน δ ของ c" ซึ่งเป็นหัวใจของคำจำกัดความเอปซิลอน-เดลตาของขีดจำกัด
ตัวอย่างทีละขั้นตอน
การทำงานผ่านตัวอย่างช่วยให้เข้าใจการคำนวณค่าสัมบูรณ์และการแก้สมการได้มั่นคงขึ้น ต่อไปนี้เป็นตัวอย่างที่ทำงานหลายตัวอย่างที่มีระดับความยากที่เพิ่มขึ้น
| นิพจน์ | โซลูชันทีละขั้นตอน | ผลลัพธ์ |
|---|---|---|
| |-42| | เนื่องจาก -42 < 0 ให้ใช้ |x| = -x: -(-42) = 42 | 42 |
| |3.14 - 7| | 3.14 - 7 = -3.86; เนื่องจากเป็นลบ ให้ใช้การลบ: 3.86 | 3.86 |
| |x| = 9 | x = 9 หรือ x = -9 (สองโซลูชัน) | x ∈ {-9, 9} |
| |2x + 4| = 10 | กรณีที่ 1: 2x+4=10 → x=3; กรณีที่ 2: 2x+4=-10 → x=-7 | x ∈ {-7, 3} |
| |x - 3| < 5 | -5 < x-3 < 5 → -2 < x < 8 | x ∈ (-2, 8) |
| |3x - 6| ≥ 9 | 3x-6 ≥ 9 (x≥5) หรือ 3x-6 ≤ -9 (x≤-1) | x ≤ -1 หรือ x ≥ 5 |
| |(-3)² - 12| | (-3)² = 9; 9 - 12 = -3; |-3| = 3 | 3 |
| |i| ในจำนวนเชิงซ้อน | |0 + 1i| = √(0² + 1²) = √1 = 1 | 1 |
ความผิดพลาดสำคัญที่นักเรียนมักทำ: |-x| ไม่ใช่ -x เสมอ — มันเท่ากับ |x| ซึ่งเป็นบวก นอกจากนี้ √(x²) = |x| ไม่ใช่แค่ x ตัวอย่างเช่น √((-5)²) = √25 = 5 = |-5| การลืมสิ่งนี้ทำให้เกิดการลดรูปที่ไม่ถูกต้องในพีชคณิต
ความไม่เท่ากันของสามเหลี่ยม: ทำไมจึงสำคัญ
ความไม่เท่ากันของสามเหลี่ยม |x + y| ≤ |x| + |y| ถือว่าเป็นคุณสมบัติที่สำคัญที่สุดของค่าสัมบูรณ์ ชื่อของมันมาจากเรขาคณิต: ในสามเหลี่ยมใด ๆ ความยาวของด้านใด ๆ จะน้อยกว่าหรือเท่ากับผลบวกของอีกสองด้าน รุ่น 1D (ค่าสัมบูรณ์) เป็นกรณีที่เสื่อมของความจริงทางเรขาคณิตนี้
ความไม่เท่ากันนี้เป็นหลักเหลี่ยมของการวิเคราะห์ ใช้เพื่อพิสูจน์ความต่อเนื่องของฟังก์ชัน ความลู่ของลำดับและอนุกรม และผลลัพธ์พื้นฐานเกี่ยวกับพื้นที่เมตริก การพิสูจน์ทุกครั้งที่ฟังก์ชันมีความต่อเนื่องโดยพื้นฐานแล้วใช้ความไม่เท่ากันของสามเหลี่ยมในบางจุด การทั่วไปไปยังพื้นที่เวกเตอร์กลายเป็นความไม่เท่ากันของบรรทัด: ||u + v|| ≤ ||u|| + ||v||
ในทางปฏิบัติ ความไม่เท่ากันของสามเหลี่ยมให้ขอบเขตที่มีประโยชน์ หากคุณรู้ว่า |a| ≤ M และ |b| ≤ N แล้ว |a + b| ≤ M + N — ข้อผิดพลาดที่รวมกันมีมากที่สุดเท่ากับผลรวมของข้อผิดพลาดแต่ละอัน นี่ใช้ในการวิเคราะห์เชิงตัวเลข การแพร่กระจายของข้อผิดพลาด และความอดทนทางวิศวกรรม ความไม่เท่ากันของสามเหลี่ยมแบบย้อนกลับ ||a| - |b|| ≤ |a - b| บอกคุณว่าความแตกต่างในขนาดถูกจำกัดโดยขนาดของความแตกต่าง
เงื่อนไขความเท่ากัน |x + y| = |x| + |y| จะเกิดขึ้นเมื่อ x และ y มีเครื่องหมายเหมือนกันเท่านั้น (หรืออย่างน้อยหนึ่งตัวเป็นศูนย์) นี่เป็นกรณี "สามเหลี่ยมที่เสื่อม" ซึ่งจุดทั้งสามจุดอยู่บนเส้นตรง — หมายความว่า x และ y ชี้ไปในทิศทางเดียวกัน
ค่าสัมบูรณ์ในการใช้งานจริง
ค่าสัมบูรณ์ปรากฏตลอดทั้งวิทยาศาสตร์ วิศวกรรม และชีวิตประจำวันทุกที่ที่คุณสนใจในขนาดมากกว่าทิศทาง การทำความเข้าใจการใช้งานของมันช่วยให้คุณรู้ได้ว่าจะใช้เมื่อไรและทำไม
ฟิสิกส์ — ความเร็วกับความเร็วเชิงเวกเตอร์: ความเร็วคือค่าสัมบูรณ์ของความเร็วเชิงเวกเตอร์ รถที่มีความเร็ว -60 ไมล์ต่อชั่วโมง (เคลื่อนย้ายไปข้างหลังด้วยความเร็ว 60 ไมล์ต่อชั่วโมง) มีความเร็ว |-60| = 60 ไมล์ต่อชั่วโมง ความเร็วเชิงเวกเตอร์เป็นปริมาณที่มีเครื่องหมาย (ทิศทางสำคัญ); ความเร็วไม่มีเครื่องหมาย (เพียงแค่ขนาด) หลักการเดียวกันนี้ใช้กับการเปลี่ยนตำแหน่งกับระยะทางที่เดินทาง
การเงิน — การเบี่ยงเบงจากเกณฑ์มาตรฐาน: เมื่อเปรียบเทียบผลตอบแทนการลงทุน คุณอาจต้องการค่าเบี่ยงเบงสัมบูรณ์จากเกณฑ์มาตรฐานโดยไม่คำนึงถึงเครื่องหมาย: คุณอยู่ห่างออกไปมากแค่ไหน ขึ้นหรือลง? ข้อผิดพลาดในการติดตามของกองทุนมักแสดงเป็นรากที่สองของค่าเฉลี่ยของค่าเบี่ยงเบงสัมบูรณ์
สถิติ — ค่าเบี่ยงเบงสัมบูรณ์เฉลี่ย (MAD): MAD = (1/n) × Σ|xᵢ - mean| ต่างจากความแปรปรวน (ซึ่งสแควร์ค่าเบี่ยงเบง) MAD รักษาหน่วยเดิมและไว้ต่อตัวเลขผิดปกติน้อยกว่า ใช้ในสถิติที่แข็งแกร่ง การควบคุมคุณภาพ และเป็นตัววัดความแม่นยำของการคาดการณ์ (ค่าเบี่ยงเบงสัมบูรณ์เฉลี่ย หรือ MAE)
วิทยาการคอมพิวเตอร์ — ฟังก์ชันระยะทาง: บรรทัด L1 (ระยะทางแมนฮัตตัน) ระหว่างจุดสองจุดคือผลรวมของความแตกต่างของพิกัด: d = Σ|aᵢ - bᵢ| ใช้ในการประมวลผลภาพ การเรียนรู้ของเครื่อง (การกลับกลาย lasso) และปัญหาการกำหนดเส้นทางในเมือง ฟังก์ชัน abs() ใช้กันอย่างแพร่หลายในการเรียงลำดับ การดำเนินการเปรียบเทียบ และอัลกอริธึมการประมวลผลสัญญาณ
วิศวกรรม — ความอดทน: ข้อกำหนดการผลิต "5.00 มม. ± 0.02 มม." หมายถึง |วัด - 5.00| ≤ 0.02 การวัดทั้งหมดภายในช่วงความอดทนเป็นที่ยอมรับ นี่เป็นการใช้ความไม่เท่ากันของค่าสัมบูรณ์โดยตรงเพื่อควบคุมคุณภาพ
การเรียนรู้ของเครื่อง — ฟังก์ชันการสูญเสีย: ฟังก์ชันการสูญเสีย Mean Absolute Error (MAE) ใช้ |คาดการณ์ - จริง| สำหรับตัวอย่างการฝึกอบรมแต่ละตัว ต่างจาก Mean Squared Error (MSE) ซึ่งจัดการกับข้อผิดพลาดทั้งหมดเท่ากันโดยไม่คำนึงถึงขนาดและมีความแข็งแกร่งต่อตัวเลขผิดปกติ การปรับปรุง lasso เพิ่ม Σ|wᵢ| ลงในฟังก์ชันการสูญเสีย ทำให้น้ำหนักเล็ก ๆ ลดลงเป็นศูนย์อย่างแม่นยำและสร้างโมเดลที่เบาบาง
ฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์: กราฟและแคลคูลัส
กราฟของ y = |x| มีรูปร่างตัว V โดยมีจุดยอดอยู่ที่จุดกำเนิด สำหรับ x ≥ 0 มันมีลักษณะตาม y = x (ความชัน +1); สำหรับ x < 0 มันมีลักษณะตาม y = -x (ความชัน -1) ฟังก์ชันนี้ต่อเนื่องทุกที่ แต่ไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้ที่ x = 0 — มีมุมคมที่จุดซึ่งอนุพันธ์ทางซ้ายและขวาไม่ตรงกัน (+1 และ -1)
การแปลงของ |x| ทำตามกฎมาตรฐาน: y = |x - h| + k ทำให้จุดยอดเลื่อนไปที่ (h, k) y = a|x| ปรับความชัน (ชันขึ้นสำหรับ |a| > 1, ชันลงสำหรับ |a| < 1, สะท้อนสำหรับ a < 0) ฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์เหล่านี้พบได้ทั่วไปในพีชคณิตระดับเบื้องต้นและงานฟังก์ชันแบบแยกชิ้น
ในแคลคูลัส d/dx |x| = x/|x| = sign(x) สำหรับ x ≠ 0 และไม่สามารถกำหนดค่าได้ที่ x = 0 ฟังก์ชันไซก์นัม sign(x) คืนค่า +1 สำหรับ x บวก, -1 สำหรับ x ลบ และ 0 สำหรับ x = 0 ในทฤษฎีการกระจาย (ฟังก์ชันทั่วไป) อนุพันธ์ที่ 0 จัดการโดยใช้ฟังก์ชันดิแรกเดลตา: d/dx |x| เป็นฟังก์ชันขั้นเฮวิไซด์ (เลื่อนและปรับขนาด) และอนุพันธ์ลำดับสองเกี่ยวข้องกับฟังก์ชันเดลตา
การรวม: ∫|x| dx = (x|x|)/2 + C = (|x|²/2)·sign(x) + C การรวมแบบจำกัดที่เกี่ยวข้องกับค่าสัมบูรณ์ต้องแยกการรวมที่จุดศูนย์ของนิพจน์ภายใน สำหรับ ∫₋₂³ |x| dx: แยกที่ x=0 → ∫₋₂⁰ (-x) dx + ∫₀³ x dx = [x²/2]₋₂⁰ + [x²/2]₀³ = (0 - 2) + (4.5 - 0) = 6.5 เทคนิคการแยกนี้สำคัญในการวิเคราะห์จริง
ค่าสัมบูรณ์ในภาษาโปรแกรม
ภาษาโปรแกรมที่สำคัญทุกภาษามีฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์ในตัว การรู้ว่าใช้ฟังก์ชันใดอย่างถูกต้อง — และปัญหาที่อาจเกิดขึ้น — เป็นสิ่งสำคัญในการเขียนโค้ดที่ถูกต้องและมีประสิทธิภาพ
| ภาษา | จำนวนเต็ม | ลอยตัว/คูณสอง | หมายเหตุ |
|---|---|---|---|
| Python | abs(-5) | abs(-3.14) | ใช้ได้กับจำนวนเชิงซ้อนด้วย: abs(3+4j) = 5.0 |
| JavaScript | Math.abs(-5) | Math.abs(-3.14) | คืนค่า NaN สำหรับข้อมูลที่ไม่ใช่ตัวเลข |
| Java | Math.abs(-5) | Math.abs(-3.14) | คำเตือน: Math.abs(Integer.MIN_VALUE) คืนค่าเป็นลบ! |
| C/C++ | abs(-5) (stdlib) | fabs(-3.14) (math.h) | ใช้ฟังก์ชันที่ถูกต้อง — การผสมชนิดข้อมูลทำให้เกิดข้อผิดพลาดที่ไม่เห็นได้ชัด |
| SQL | ABS(-42) | ABS(-3.14) | ใช้ได้กับชนิดข้อมูลตัวเลขทั้งหมดใน RDBMS ที่สำคัญ |
| Excel | =ABS(-42) | =ABS(-3.14) | สามารถใช้ในสูตรอาร์เรย์ |
| R | abs(-5) | abs(-3.14) | เวกเตอร์: abs(c(-1,2,-3)) = c(1,2,3) |
ข้อผิดพลาดที่สำคัญของ Java: Math.abs(Integer.MIN_VALUE) คืนค่า Integer.MIN_VALUE (-2,147,483,648) ไม่ใช่จำนวนบวก เนื่องจากการแสดงจำนวนเต็มแบบสองเสริมไม่มีคู่ที่เป็นบวกสำหรับค่าลบสุด ควรจัดการกรณีขอบนี้เมื่อเขียนโค้ดที่แข็งแกร่งเสมอ
ใน NumPy (Python) np.abs() เป็นเวกเตอร์และทำงานบนอาร์เรย์: np.abs(np.array([-1, -2, 3])) คืนค่า array([1, 2, 3]) ซึ่งมีประสิทธิภาพมากกว่าการทำงานแบบลูป ในทำนองเดียวกัน ฟังก์ชัน ABS() ของ SQL ทำงานบนคอลัมน์ทั้งหมด ทำให้ง่ายต่อการคำนวณค่าเบี่ยงเบนสัมบูรณ์ในการสอบถามแบบรวม
คำถามที่พบบ่อย
ค่าสัมบูรณ์สามารถเป็นลบได้หรือไม่
ไม่สามารถ ตามความหมาย ค่าสัมบูรณ์จะไม่เป็นลบเสมอ |x| ≥ 0 สำหรับจำนวนจริงทุกตัว x ค่าสัมบูรณ์แสดงถึงระยะทาง และระยะทางไม่เคยเป็นลบ หากคุณได้ผลลัพธ์เป็นลบ คุณทำผิดพลาดทางพีชคณิตแล้ว
|0| คืออะไร
ค่าสัมบูรณ์ของศูนย์คือศูนย์: |0| = 0 ศูนย์ไม่ใช่จำนวนบวกหรือลบ และระยะห่างจากตัวมันเองคือศูนย์ เป็นจำนวนเดียวที่ค่าสัมบูรณ์เท่ากับศูนย์ ตามคุณสมบัติตัวตน
ฉันจะแก้สมการที่มีค่าสัมบูรณ์ได้อย่างไร
แบ่งเป็นสองกรณี สำหรับ |x - 3| = 5: กรณีที่ 1: x - 3 = 5 ดังนั้น x = 8 กรณีที่ 2: x - 3 = -5 ดังนั้น x = -2 ทั้งสองคำตอบถูกต้อง ตรวจสอบทั้งสองกรณีในสมการต้นฉบับเสมอ
ค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเชิงซ้อนคืออะไร
สำหรับจำนวนเชิงซ้อน z = a + bi ค่าสัมบูรณ์ (เรียกอีกอย่างว่า modulus) คือ |z| = √(a² + b²) นี่คือระยะทางจากจุดกำเนิดไปยังจุด (a, b) ในระนาบจำนวนเชิงซ้อน ตัวอย่างเช่น |3 + 4i| = √(9 + 16) = √25 = 5
√(x²) เท่ากับ x หรือไม่
ไม่ใช่ — √(x²) = |x| ไม่ใช่ x ตัวอย่างเช่น √((-5)²) = √25 = 5 = |-5| ไม่ใช่ -5 นี่เป็นข้อผิดพลาดที่พบบ่อยในพีชคณิต รากที่สองจะคืนค่าที่ไม่เป็นลบเสมอ ดังนั้น √(x²) = |x| สำหรับจำนวนจริงทุกตัว x
ฉันจะวาดกราฟ y = |x - 2| + 3 ได้อย่างไร
นี่เป็นรูปตัว V ที่มีจุดยอดอยู่ที่ (2, 3) สำหรับ x ≥ 2: y = (x - 2) + 3 = x + 1 (ความชัน +1) สำหรับ x < 2: y = -(x - 2) + 3 = -x + 5 (ความชัน -1) วาดจุดยอด จากนั้นวาดสองเส้นแนวตั้งขึ้นที่ ±45°
|x| < 3 หมายถึงอะไรบนเส้นจำนวน
|x| < 3 หมายความว่า x อยู่ในระยะทาง 3 จากศูนย์ ดังนั้น -3 < x < 3 บนเส้นจำนวน นี่คือช่วงเปิด (-3, 3) แสดงถึงจุดทั้งหมดที่อยู่ใกล้กว่า 3 หน่วยจากจุดกำเนิด
ค่าเบี่ยงเบนสัมบูรณ์เฉลี่ยคืออะไร และใช้เมื่อใด
Mean Absolute Deviation (MAD) = ค่าเฉลี่ยของ |xᵢ - mean| สำหรับจุดข้อมูลทั้งหมด วัดการแพร่กระจายของข้อมูลในหน่วยต้นฉบับ ซึ่งแตกต่างจากความแปรปรวนที่สแควร์ค่าเบี่ยงเบน MAD เป็นที่ต้องการเมื่อคุณต้องการการวัดการแพร่กระจายที่แข็งแกร่งต่อค่าผิดปกติและง่ายต่อการตีความ ใช้กันอย่างแพร่หลายในความแม่นยำของการพยากรณ์ (ในฐานะ Mean Absolute Error) และการควบคุมคุณภาพ
ทำไมค่าสัมบูรณ์จึงไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้ที่ศูนย์
อนุพันธ์ของ |x| ที่ x = 0 ไม่มีอยู่จริง เนื่องจากขอบเขตด้านซ้ายของความชันคือ -1 (จากชิ้น y = -x) ในขณะที่ขอบเขตด้านขวาคือ +1 (จาก y = x) เนื่องจากขอบเขตเหล่านี้ไม่ตรงกัน อนุพันธ์จึงไม่ได้กำหนดที่ x = 0 จากทางเรขาคณิต มีมุมแหลม — ไม่มีเส้นสัมผัสที่เป็นเอกลักษณ์
ค่าสัมบูรณ์เกี่ยวข้องกับระยะทางอย่างไร
ค่าสัมบูรณ์ |a - b| ให้ระยะทางระหว่าง a และ b บนเส้นจำนวน นี่เป็นรากฐานของแนวคิดเกี่ยวกับเมตริก (ฟังก์ชันระยะทาง) ในคณิตศาสตร์ เมตริก d(a, b) ต้องเป็นไปตาม: ไม่เป็นลบ d(a,a) = 0 สมมาตร d(a,b) = d(b,a) และความไม่เท่ากันของสามเหลี่ยม d(a,c) ≤ d(a,b) + d(b,c) ค่าสัมบูรณ์เป็นไปตามเงื่อนไขทั้งหมดเหล่านี้