Quadratic Formula Calculator
Lutasin ang mga quadratic equation (ax² + bx + c = 0) at hanapin ang mga roots gamit ang quadratic formula. Gamitin ang libreng math calculator na ito para sa agaran na resulta. Walang sign-up.
Ano ang Quadratic Formula?
Ang quadratic formula ay isang unibersal na solusyon para sa anumang quadratic equation na may anyo ax² + bx + c = 0. Ang formula ay: x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a. Palagi itong gumagana — anuman ang kaso. Ang simbolo ng ± ay nagpapahiwatig ng dalawang solusyon: isa gamit ang karagdagan at isa gamit ang pagbabawas ng square root term.
Halimbawa: Lutasin ang 2x² − 7x + 3 = 0. Dito a=2, b=−7, c=3. Ang discriminant ay (−7)² − 4(2)(3) = 49 − 24 = 25. Kaya x = (7 ± √25) / 4. Nagbibigay ito ng x = 3 at x = 0.5.
Ang Discriminant: Paghula ng Mga Uri ng Solusyon
Ang expression na b² − 4ac sa loob ng square root ay tinatawag na discriminant (madalas na tinutukoy na Δ o D). Sinasabi nito ang lahat ng kailangan mong malaman tungkol sa kalikasan ng mga solusyon:
| Halaga ng Discriminant | Bilang ng Solusyon | Uri ng Solusyon | Pag-uugali ng Graph |
|---|---|---|---|
| Δ > 0 | Dalawang natatanging solusyon | Tunay at hindi pantay | Ang parabola ay dumadaan sa x-axis sa 2 puntos |
| Δ = 0 | Isang paulit-ulit na solusyon | Tunay at pantay (x = −b/2a) | Ang parabola ay humipo sa x-axis sa vertex |
| Δ < 0 | Walang tunay na solusyon | Dalawang complex conjugate roots | Ang parabola ay hindi tumatawid sa x-axis |
Hakbang-hakbang: Paano Gamitin ang Quadratic Formula
- Isulat sa standard form: Ayusin ang equation para maging zero: ax² + bx + c = 0.
- Tukuyin ang a, b, c: Maging maingat sa mga tanda — ang pinakakaraniwang pagkakamali ay mga pagkakamali sa tanda gamit ang b.
- Kalkulahin ang discriminant: Δ = b² − 4ac.
- Ilapat ang formula: x = (−b ± √Δ) / (2a).
- Kalkulahin ang parehong solusyon.
- I-verify: Ibalik sa orihinal na equation.
Mga Quadratic Equation sa Totoong Buhay
Projectile Motion: Ang taas h ng isang projectile sa oras t ay h = −½gt² + v₀t + h₀. Para mahanap kung kailan ito tumama sa lupa (h = 0), lutasin ang quadratic.
Lugar at Geometriya: Ang mga quadratic ay lumilitaw kapag ang mga lugar ay may kinalaman sa mga hindi kilalang dimensyon. Ang isang parihaba na may perimeter na 40 cm at lugar na 96 cm²: x(20−x) = 96 → x² − 20x + 96 = 0 → mga sukat: 8 cm × 12 cm.
Ekonomiya at Pananalapi: Ang pag-maximize ng kita: kung ang Revenue R(x) = 50x − x²/100 at ang Cost C(x) = 20x + 500, ang pagtatakda ng P' = 0 ay nagbibigay ng optimal na dami.
Mga Madalas Itanong
Ano ang mangyayari kung a = 0 sa quadratic formula?
Kung a = 0, ang equation ay hindi na quadratic — ito ay nagiging linear: bx + c = 0, na may solusyon na x = −c/b. Ang quadratic formula ay hindi natutukoy kapag a = 0 (dibisyon sa zero).
Ano ang mga complex/imaginary roots?
Kapag ang discriminant b²−4ac < 0, ang equation ay walang tunay na solusyon. Ang mga roots ay complex: x = (−b ± i√|Δ|)/2a, kung saan i = √(−1). Mga halimbawa ng tunay na gamit: AC circuits, control theory, at quantum mechanics.
Paano ko mahahanap ang vertex ng parabola?
Ang x-coordinate ng vertex ay x = −b/(2a). I-plug ito pabalik sa equation para mahanap ang y-coordinate: y = c − b²/(4a). Ang vertex ay ang pinakamababang punto kung a > 0 o pinakamataas na punto kung a < 0.
Ano ang pagkakaiba ng roots, zeros, at solutions?
Lahat ng tatlong termino ay tumutukoy sa parehong mga halaga: ang mga x-value kung saan ax² + bx + c = 0. Ang "Roots" ay karaniwan sa algebra, "zeros" sa function analysis (kung saan y = 0), at "solutions" sa mga equation. Sila ay magkapalit sa kontekstong ito.
Ano ang mga Vieta's formulas?
Para sa ax² + bx + c = 0 na may mga root x₁, x₂: kabuuan ng mga root = −b/a, produkto ng mga root = c/a. Halimbawa: Para sa 3x² − 7x + 2 = 0, kabuuan = 7/3 at produkto = 2/3.