Quadratische Formelrechner
Lösen Sie quadratische Gleichungen (ax2 + bx + c = 0) und finden Sie Wurzeln mit der quadratischen Formel. Verwenden Sie diesen kostenlosen Rechner für sofortige Ergebnisse. Keine Anmeldung.
Was ist die Quadratische Formel?
DieQuadratische Formelist eine universelle Lösung für jede quadratische Gleichung der Form ax2 + bx + c = 0. Die Formel lautet:x = (-b +/- √(b2 - 4ac)) / 2a. Es funktioniert immer - unabhängig davon, ob die Gleichung ordentlich faktorisiert ist oder nicht. Das +/- -Symbol zeigt zwei Lösungen an: eine mit Addition und eine mit Subtraktion des Quadratwurzelbegriffs.
Beispiel: 2x2 - 7x + 3 = 0. Hier a=2, b=-7, c=3. Die Diskriminante ist (-7) 2 - 4(2)(3) = 49 - 24 = 25. Also x = (7 +/- √25) / (2x2) = (7 +/- 5) / 4. Das ergibt x = (7+5)/4 = 3 und x = (7-5)/4 = 0,5. Beide Lösungen erfüllen die ursprüngliche Gleichung.
Die quadratische Formel ist seit der Antike bekannt - babylonische Mathematiker lösten spezifische quadratische Probleme um 2000 v. Chr. Der indische Mathematiker Brahmagupta formulierte die allgemeine Lösung im Jahr 628 n. Chr. Heute wird die Formel in jedem Mathematik-Lehrplan der Sekundarschulen weltweit gelehrt und erscheint in unzähligen wissenschaftlichen und technischen Anwendungen.
Der Diskriminierer: Vorhersage von Lösungsarten
Der Ausdruck b2 - 4ac innerhalb der Quadratwurzel wird alsDiskriminierend(oft als Δ oder D bezeichnet) Es sagt Ihnen alles über die Natur der Lösungen, bevor Sie weitere Berechnungen durchführen:
| Diskriminierender Wert | Anzahl der Lösungen | Art der Lösungen | Verhalten des Graphen |
|---|---|---|---|
| Δ > 0 | Zwei verschiedene Lösungen | Real und ungleich | Die Parabel kreuzt die X-Achse in 2 Punkten |
| Δ = 0 | Eine wiederholte Lösung | Echt und gleich (x = -b/2a) | Die Parabel berührt die X-Achse an der Spitze |
| Δ < 0 | Keine wirklichen Lösungen | Zwei komplexe konjugierte Wurzeln | Die Parabel schneidet die X-Achse nicht. |
Wenn Δ = 0, ist die einzelne Lösung x = -b/(2a) auch die x-Koordinate des Parabelspitzes - der Symmetrieachse. Wenn Δ < 0, sind die Wurzeln komplexe Zahlen der Form x = (-b +/- i√gadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgad
Das Überprüfen des Diskriminanten vor der Lösung spart Zeit: Wenn Δ < 0 in einem Problem, das echte Lösungen erfordert, wissen Sie sofort, dass es keine wirkliche Antwort gibt.
Schritt für Schritt: Wie man die quadratische Formel verwendet
Folgen Sie den folgenden Schritten systematisch, um Fehler zu vermeiden:
- Schreiben Sie in Standardform:Rearrange die Gleichung so, dass sie gleich Null ist: ax2 + bx + c = 0. Beispiel: 3x2 = 7x - 2 -> 3x2 - 7x + 2 = 0.
- Identifizieren Sie a, b, c:a = 3, b = -7, c = 2. Seien Sie vorsichtig mit Zeichen - der häufigste Fehler ist Zeichenfehler mit b.
- Berechnen Sie den Diskriminanten:Δ = (-7) 2 - 4 ((3) ((2) = 49 - 24 = 25. Positiv, also zwei reelle Lösungen.
- Verwenden Sie die Formel:x = (-(-7) +/- √25) / (2x3) = (7 +/- 5) / 6.
- Berechnen Sie beide Lösungen:x1 = (7 + 5)/6 = 12/6 = 2 und x2 = (7 - 5)/6 = 2/6 = 1/3.
- Überprüfen Sie:Ersetzen Sie zurück: 3(2) 2 - 7(2) + 2 = 12 - 14 + 2 = 0. Und 3(1/3) 2 - 7(1/3) + 2 = 1/3 - 7/3 + 6/3 = 0.
Alternative Methoden zur Lösung quadratischer Gleichungen
Die quadratische Formel ist die leistungsstärkste und universellste Methode, aber andere Techniken sind in besonderen Fällen schneller:
Faktorisierung:Wenn ax2 + bx + c als Faktoren a ((x - r1) ((x - r2)), die Wurzeln sind r1 und r2. Dies ist schneller, wenn die Gleichung Faktoren mit kleinen ganzen Zahlen. x2 - 5x + 6 = (x-2) ((x-3) = 0, so x = 2 oder x = 3. Die Herausforderung ist, dass die meisten Quadratische nicht factor nicely über die ganzen Zahlen.
Das Quadrat vervollständigen:Umwandeln Sie die Gleichung in die Form (x + h) 2 = k. Für x2 + 6x + 5 = 0: x2 + 6x = -5 -> (x + 3) 2 - 9 = -5 -> (x + 3) 2 = 4 -> x + 3 = + / - 2 -> x = -1 oder x = -5. Durch das Vervollständigen des Quadrats erhalten Sie auch die quadratische Formel selbst.
Grafik:Plot y = ax2 + bx + c und finden Sie die x-Schnittstellen. Schnell für die Visualisierung, aber nicht präzise, es sei denn, Sie verwenden einen exakten Löser. Der Gipfel ist bei (-b/2a, c - b2/4a) und die Parabel öffnet sich nach oben, wenn a > 0 oder nach unten, wenn a < 0.
| Methode | Am besten für | Funktioniert es immer? | Geschwindigkeit |
|---|---|---|---|
| Quadratische Formel | Jede quadratische | Ja, das stimmt. | Durchschnittlich |
| Factoring | Einfache Ganzzahlwurzeln | Nein (erfordert Faktorisierbarkeit) | Schnell (wenn es funktioniert) |
| Der Platz wird vervollständigt | Abgeleitete Spitzenform | Ja, das stimmt. | Durchschnittlich langsam |
| Graphische Darstellung | Visualisierung | Ja (ungefähr) | Schnell (ungefähr) |
| Numerische Methoden | Extrem komplexe Gleichungen | Ja, das stimmt. | Schnell (computerbasiert) |
Quadratische Gleichungen im wirklichen Leben
Projektilbewegung:Die Höhe h eines Projektils zur Zeit t ist h = −1⁄2gt2 + v0t + h0, wobei g die Gravitationsbeschleunigung (9,8 m/s2), v0 die anfängliche vertikale Geschwindigkeit und h0 die anfängliche Höhe ist.
Fläche und GeometrieQuadratik entsteht, wenn Bereiche unbekannte Dimensionen beinhalten. Ein Rechteck hat einen Umfang von 40 cm und eine Fläche von 96 cm2. Wenn Breite = x, Länge = 20 - x, dann x ((20-x) = 96 -> x2 - 20x + 96 = 0 -> (x-8) ((x-12) = 0 -> x = 8 oder x = 12. Dimensionen: 8 cm x 12 cm.
Wirtschaft und Finanzen:Gewinnmaximierung: Wenn der Umsatz R(x) = 50x - x2/100 und die Kosten C(x) = 20x + 500 sind, dann ist der Gewinn P = R - C = -x2/100 + 30x - 500.
Technik und Konstruktion:Parabolische Formen erscheinen überall in der Technik - Satellitenschüsseln, Hängebrücke, Scheinwerferreflektoren und Radioteleskopspiegel verwenden alle parabolische Kurven, weil eine Parabel Strahlen von ihrem Fokus parallel reflektiert.
Komplexe Wurzeln und ihre Anwendung
Wenn die Diskriminante negativ ist, hat die Quadratzahl zwei komplexe konjugierte Wurzeln: x = (-b +/- i√gadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgad
Komplexe Wurzeln mögen abstrakt erscheinen, aber sie haben mächtige Anwendungen.ElektrotechnikDie Quadratgleichungen mit komplexen Wurzeln modellieren Schaltkreise mit Induktoren und Kondensatoren. Die Resonanzfrequenz einer RLC-Schaltung ergibt sich aus der Lösung einer quadratischen Charakteristikgleichung.
In KontrollsystemeKomplexe konjugierte Pole mit negativen realen Teilen entsprechen einem stabilen Oszillationsverhalten - das System oszilliert, aber die Oszillationen zerfallen.
Komplexe Zahlen sind auch über Eulers Formel mit der Trigonometrie verbunden: e ^ ((iθ) = cos ((θ) + i · sin ((θ). Dies macht komplexe Zahlen zur natürlichen Sprache für die Beschreibung von Rotationen, Schwingungen und Wellen - grundlegenden Phänomenen in Physik und Technik.
Vietas Formeln: Beziehungen zwischen Wurzeln und Koeffizienten
Für eine quadratische ax2 + bx + c = 0 mit Wurzeln x1 und x2,Vietas Formelngeben elegante Beziehungen ohne explizit zu lösen:
- Summe der Wurzeln:x1 + x2 = -b/a
- Erzeugnis aus Wurzeln:x1 x x2 = c/a
Beispiel: Für 3x2 - 7x + 2 = 0, Summe = 7/3 ~ 2.333 und Produkt = 2/3 ~ 0.667. Überprüfen: Wurzeln sind 2 und 1/3. Summe: 2 + 1/3 = 7/3 . Produkt: 2 x 1/3 = 2/3 .
Vietas Formeln ermöglichen es Ihnen, eine Quadratlinie zu konstruieren, wenn ihre Wurzeln gegeben sind: Wenn die Wurzeln 4 und -3 sind, dann ist Summe = 1 = -b/a und Produkt = -12 = c/a. Die Wahl von a = 1: b = -1, c = -12. Gleichung: x2 - x - 12 = 0. Überprüfen Sie: (x-4) ((x+3) = x2 - x - 12 .
Die Parabel: Graphisierung von Quadratfunktionen
Der Graph von y = ax2 + bx + c ist aParabelDie wichtigsten Merkmale, die zu ermitteln und zu zeichnen sind:
Spitze:Die Spitze ist der Mindestpunkt, wenn a > 0 (Parabel öffnet sich nach oben) oder der Höchstpunkt, wenn a < 0 (Öffnet sich nach unten).
Symmetrieachse:Die vertikale Linie x = -b/(2a). Die Parabel ist um diese Linie symmetrisch.
x-Schnittpunkte (Wurzeln):Wo die Parabel die X-Achse kreuzt -- die Lösungen für ax2 + bx + c = 0, gefunden mit der quadratischen Formel.
y-Schnittpunkt:Setzen Sie x = 0: y = c. Immer am Punkt (0, c).
| Besonderheit | Formel | Bedeutung |
|---|---|---|
| Spitze x | -b/{2a) | Achse der Symmetrie |
| Vertex y | c - b2/{4a) | Mindest- oder Höchstwert |
| X-Schnittpunkte | (-b +/- √Δ) / 2a | Wurzeln / Nullen |
| y-Schnittpunkt | c | Wert bei x=0 |
| Ausrichtung | a > 0: nach oben, a < 0: nach unten | Öffnungsrichtung |
Häufig gestellte Fragen
Was ist, wenn a = 0 in der quadratischen Formel?
Wenn a = 0, ist die Gleichung nicht mehr quadratisch - sie wird linear: bx + c = 0, mit der Lösung x = -c/b (unter der Annahme b ≠ 0). Die quadratische Formel ist undefiniert, wenn a = 0 (Teilung durch Null). Geben Sie einen beliebigen nicht-nullwertigen Wert für a in diesen Rechner ein.
Was sind komplexe/imaginäre Wurzeln?
Wenn die Diskriminante b2-4ac < 0 ist, hat die Gleichung keine realen Lösungen. Die Wurzeln sind komplex: x = (-b +/- i√gadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgadgad
Wie finde ich den Gipfel der Parabel?
Die X-Koordinate des Eckpunktes ist x = -b/(2a). Stecken Sie diese in die Gleichung ein, um die Y-Koordinate zu finden: y = a(-b/2a) 2 + b(-b/2a) + c = c - b2/(4a). Der Eckpunkt ist das Minimum, wenn a > 0 oder das Maximum, wenn a < 0.
Was ist der Unterschied zwischen Wurzeln, Nullen und Lösungen?
Alle drei Begriffe beziehen sich auf die gleichen Werte: die x-Werte, bei denen ax2 + bx + c = 0. "Wurzeln" sind in der Algebra üblich, "Nullen" in der Funktionsanalyse (wo y = 0) und "Lösungen" in Gleichungen.
Was sind Vietas Formeln?
Für ax2 + bx + c = 0 mit Wurzeln x1, x2: Summe der Wurzeln = -b/a, Produkt der Wurzeln = c/a. Diese gelten unabhängig davon, ob die Wurzeln rational, irrational oder komplex sind.
Wie wurde die quadratische Formel abgeleitet?
Durch das Vervollständigen des Quadrats: ax2 + bx + c = 0 -> x2 + (b/a) x = -c/a -> x2 + (b/a) x + b2 / 4a2) = b2 / 4a2) - c/a -> (x + b/2a) 2 = (b2 - 4ac) / 4a2) -> x + b/2a = +/- √ (b2 - 4ac) / 2a) -> x = (-b +/- √ (b2-4ac)) / 2a).
Kann eine quadratische mehr als zwei Wurzeln haben?
Nein. Ein n-Grad-Polynom hat genau n Wurzeln (unter Berücksichtigung der Vielzahl in den komplexen Zahlen). Eine quadratische (Grad 2) hat immer genau 2 Wurzeln - obwohl beide gleich sein können (doppelte Wurzel, wenn Δ = 0) oder beide komplex (wenn Δ < 0). Dies ist der Grundsatz der Algebra.
Wie modellieren quadratische Gleichungen die Projektilbewegung?
Höhe h(t) = -1⁄2gt2 + v0t + h0 ist eine quadratische Gleichung in der Zeit t. Die Einstellung von h = 0 ergibt eine quadratische Gleichung, deren positive Wurzel die Zeit der Landung ist. Der Gipfel gibt die maximale Höhe. Für g = 9,8 m/s2, v0 = 20 m/s, h0 = 0: maximale Höhe = v02/(2g) = 400/19,6 ~ 20,4 Meter.
Was bedeutet es, wenn die Diskriminante gleich Null ist?
Eine Nulldiskriminante bedeutet eine wiederholte reelle Wurzel: x = -b/(2a). Die Parabel ist tangent zur x-Achse - sie berührt, aber nicht kreuzt. Geometrisch "fallen" die beiden Wurzeln am Gipfel zusammen. Beispiel: x2 - 6x + 9 = (x-3) 2 = 0, doppelte Wurzel x = 3.
Wie löse ich eine Quadratzahl mit Dezimal- oder Bruchkoeffizienten?
Verwenden Sie die quadratische Formel direkt - sie funktioniert für alle realen Werte von a, b, c. Für unordentliche Koeffizienten multiplizieren Sie zuerst mit einem gemeinsamen Nenner, um ganze Koeffizienten zu erhalten, was arithmetische Fehler reduziert. Beispiel: 0,5x2 + 1,5x - 5 = 0 -> multiplizieren Sie mit 2: x2 + 3x - 10 = 0 -> (x+5) --- x-2) = 0 -> x = -5 oder x = 2.
Quadratische Gleichungen in der Zahlentheorie und der fortgeschrittenen Mathematik
Quadratische Gleichungen sind nur der Anfang einer reichen mathematischen Landschaft. Die Quadratische Formel, die Sie in der Schule gelernt haben, ist der Fall von algebraischen Lösungen im zweiten Grad. Für den dritten Grad (kubisch) gibt es Cardanos Formel (1545). Für den vierten Grad (quartisch) gibt es Ferraris Formel. Für den fünften Grad und höher haben Abel und Ruffini (1824) bewiesen, dass es keine allgemeine algebraische Formel gibt - ein tiefgreifendes und überraschendes Ergebnis, das Abel-Ruffini-Theorem genannt wird.
In der Zahlentheorie beschreiben quadratische Rückstände und quadratische Reziprozität (von Gauss im Jahr 1796 bewiesen), wenn Gleichungen der Form x2 a (mod p) Lösungen haben. Die Theorie der quadratischen Formen - Ausdrücke wie ax2 + bxy + cy2 - war von zentraler Bedeutung für die Entwicklung der algebraischen Zahlentheorie und führte zu tiefen Verbindungen mit modularen Formen und elliptischen Kurven.
Die Quadratik erscheint auch in der Optimierung. Im maschinellen Lernen fügt Ridge-Regression der Verlustfunktion einen quadratischen Strafbegriff hinzu. Support-Vektormaschinen lösen ein quadratisches Programmierproblem. Der Lagrangian in der Physik - zentral für die Ableitung von Bewegungsgleichungen - beinhaltet oft quadratische kinetische und potentielle Energiebegriffe. Die Beherrschung der Quadratik ist wirklich der Einstiegspunkt in die fortgeschrittene Mathematik.
Quadratische Ungleichungen und Anwendungen
Neben der Suche nach exakten Wurzeln beinhaltet die quadratische Analyse die Lösungquadratische Ungleichungen: Ausdrücke wie ax2 + bx + c > 0 oder <= 0. Die Lösung ist ein Bereich von x-Werten und nicht spezifische Punkte.
Um x2 - x - 6 > 0 zu lösen, finden Sie zuerst die Wurzeln: x2 - x - 6 = (x-3) und x + 2 = 0, die Wurzeln bei x = 3 und x = 2. Die Parabel öffnet sich nach oben (a = 1 > 0), so dass sie außerhalb der Wurzeln positiv ist: Die Lösung ist x < -2 oder x > 3.
Für x2 - x - 6 < 0: die Parabel ist unter Null zwischen den Wurzeln: -2 < x < 3. Diese Art von Lösung - ein begrenztes Intervall - modelliert machbare Bereiche in der Optimierung: "Für welche Produktionsmengen ist der Gewinn positiv?" oder "Welcher Geschwindigkeitsbereich hält die Stoppdistanz unter 50m?"
Optimierung mit Vertexform:Die Umwandlung von ax2 + bx + c in a(x-h) 2 + k zeigt den Gipfel (h,k) direkt. Für den Gewinn P = -2x2 + 80x - 600: Füllen Sie das Quadrat ab -> P = -2(x-20) 2 + 200. Der maximale Gewinn beträgt $ 200 bei x = 20 Einheiten. Die Gipfelform gibt sofort sowohl die optimale Menge als auch den resultierenden Gewinn - keine Berechnung ist für die quadratische Optimierung erforderlich.
Mit diesem Rechner für die Quadratformel
Geben Sie die Koeffizienten a, b und c aus Ihrer Gleichung in der Standardform ax2+bx+c=0 ein. Der Koeffizient a muss nicht null sein. Der Rechner berechnet die Diskriminante, klassifiziert den Wurzeltyp und gibt beide Wurzeln (oder die wiederholte Wurzel oder komplexe Wurzeln) zurück.