מחשבון שונות – שונות אוכלוסיה ומדגם

מהי שונות?

שונות מודדת את הפיזור של סט נתונים – עד כמה הערכים רחוקים מהממוצע. שונות נמוכה פירושה שנקודות הנתונים מתקבצות קרוב לממוצע; שונות גבוהה פירושה שהן פרושות לרוחב.

שונות מחושבת כממוצע של ריבועי ההפרשים מהממוצע:

• שונות אוכלוסיה (σ²): σ² = Σ(xᵢ − μ)² / N
• שונות מדגם (s²): s² = Σ(xᵢ − x̄)² / (N−1)

כאשר xᵢ הוא כל נקודת נתון, μ (או x̄) הוא הממוצע, ו-N הוא מספר הערכים. סטיית התקן היא פשוט שורש ריבועי של השונות – היא נמצאת באותן יחידות כמו הנתונים המקוריים, מה שהופך אותה לניתנת יותר לפירוש.

שונות אוכלוסיה לעומת שונות מדגם

ההבדל המרכזי הוא המכנה – N לעומת (N−1) – הידוע כתיקון בסל:

בפועל, רוב הנתונים בעולם האמיתי הם מדגם. שימוש ב-N−1 (שונות מדגם) מייצר הערכה לא מוטה של שונות האוכלוסיה האמיתית. שימוש ב-N (שונות אוכלוסיה) על מדגם מעריך פחות מדי את השונות האמיתית באופן שיטתי.

דוגמה: בדיקת תרופה חדשה על 50 חולים פירושה שימוש בשונות מדגם (s²). ניתוח כל התלמידים בכיתה פירושו שימוש בשונות אוכלוסיה (σ²).

חישוב שונות שלב אחר שלב

בהינתן סט הנתונים: 4, 7, 13, 2, 8

1. חשב את הממוצע: (4+7+13+2+8) ÷ 5 = 34/5 = 6.8
2. מצא סטיות מהממוצע: (4−6.8)=−2.8; (7−6.8)=0.2; (13−6.8)=6.2; (2−6.8)=−4.8; (8−6.8)=1.2
3. רבע את הסטיות: 7.84; 0.04; 38.44; 23.04; 1.44
4. סכום ריבועים: 7.84+0.04+38.44+23.04+1.44 = 70.8
5. שונות אוכלוסיה: 70.8 ÷ 5 = 14.16
6. שונות מדגם: 70.8 ÷ 4 = 17.7
7. סטיית תקן: √14.16 = 3.76 (אוכלוסיה) או √17.7 = 4.21 (מדגם)

יישומים מעשיים של שונות