Une inégalité linéaire est similaire à une équation linéaire mais utilise des signes d'inégalité (>, <, ≥, ≤) au lieu de =. Notre calculatrice résout les inégalités de la forme ax + b ≤ c (ou n'importe quelle direction d'inégalité). Les étapes de résolution sont identiques à la résolution d'équations, à une exception près : multiplier ou diviser par un nombre négatif inverse le sens de l'inégalité.
Exemple : résoudre 2x + 3 ≤ 11. Soustraire 3 des deux côtés : 2x ≤ 8. Diviser par 2 (positif, direction inchangée) : x ≤ 4. Ensemble de solutions : (-∞, 4). Exemple avec retournement de signe : résoudre -3x + 1 > 7. Soustraire 1 : -3x > 6. Diviser par -3 (négatif, inverser !) : x < -2. Ensemble de solutions : (-∞, -2).
Notation de la solution : les crochets [ ] indiquent que le point final est inclus (≤ ou ≥), les parenthèses ( ) indiquent qu'il est exclu (< ou >). ≤ 4 s'écrit (-∞, 4] ; x > -2 s'écrit (-2, +∞) ; -3 < x ≤ 5 s'écrit (-3, 5).
Les inégalités composées combinent deux inégalités. 'Et' (conjonction) : -2 < x ≤ 5 signifie x > -2 ET x ≤ 5. La solution est l’intersection des deux ensembles. Écrit comme (-2, 5). 'Ou' (disjonction) : x < -1 ou x ≥ 3. La solution est l'union : (-∞, -1) ∪ [3, +∞). Les inégalités « et » créent des intervalles délimités ; Les inégalités « ou » créent des solutions illimitées.
Les inégalités en valeur absolue se transforment en inégalités composées. |x-3| &Lt ; 5 signifie -5 < x - 3 &Lt ; 5, donc -2 &Lt ; x &Lt ; 8, solutions (-2, 8). |x + 1| ≥ 4 signifie x + 1 ≤ -4 ou x + 1 ≥ 4, donc x ≤ -5 ou x ≥ 3, solution (-∞, -5] ∪ [3, +∞). La clé : |A| &Lt ; b → -b ≪ Un &Lt ; b; |UNE| > b → UN < -b ou A > b.
Inégalités quadratiques : x² - x - 6 > 0. Facteur : (x-3)(x+2) > 0. Les racines en x=3 et x=-2 divisent la droite numérique en trois intervalles. Testez chaque intervalle : x<-2 (positif ✓), -2<x<3 (négatif ✗), x>3 (positif ✓). Solution : (-∞,-2) ∪ (3,+∞).
Les inégalités modélisent les contraintes du monde réel dans les problèmes d'optimisation. La Programmation linéaire maximise ou minimise une fonction objectif linéaire soumise à un système d'inégalités linéaires. La région réalisable (tous les points satisfaisant toutes les contraintes) est un polygone convexe ; la solution optimale se produit à un sommet. Cette méthode sous-tend la planification des compagnies aériennes, l'optimisation de la chaîne d'approvisionnement et la sélection de portefeuille.
Dans la vie quotidienne, les inégalités modélisent les contraintes budgétaires (dépenses ≤ revenus), les limites de capacité (articles ≤ espace en rayon), les exigences de sécurité (vitesse ≤ limite) et les normes de qualité (taux d'erreur < 0,001). La conception technique utilise des inégalités pour garantir que le stress < limite d'élasticité, température < note maximale et poids < capacité structurelle.
En mathématiques, les inégalités fondamentales comprennent : AM-GM (moyenne arithmétique ≥ moyenne géométrique), Cauchy-Schwarz et l'inégalité du Triangle. Ceux-ci apparaissent dans les problèmes des Olympiades mathématiques, les analyses et les preuves de nombreux autres résultats. Les inégalités sont souvent des outils plus puissants que les équations car elles décrivent des régions plutôt que des points.
Solve linear inequalities of the form ax + b > c. Get the solution set and graph description. Saisissez vos valeurs ci-dessus et cliquez sur Calculer pour obtenir des résultats instantanés. Tous les calculs sont effectués dans votre navigateur — aucune donnée n'est envoyée à des serveurs externes.
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Le signe d’inégalité inverse la direction. Si un > b et c &Lt ; 0, puis ac &Lt ; avant JC. Exemple : 3 > 1, multiplier par -2 : -6 < -2. ✓ Oublier cette règle est l'une des erreurs algébriques les plus courantes.
La notation par intervalles utilise des crochets et des parenthèses pour décrire les ensembles de solutions. [ ] signifie que le point de terminaison est inclus ; ( ) signifie exclu. Exemples : [3, 7] signifie 3 ≤ x ≤ 7 ; (3, 7) signifie 3 < x &Lt ; 7 ; [3, ∞) signifie x ≥ 3 ; (-∞, 7) signifie x < 7.
Oui, si le coefficient de x est 0 et que l’inégalité est fausse. Par exemple, 0x + 5 ≤ 3 se simplifie en 5 ≤ 3, ce qui est toujours faux — pas de solution. Inversement, 0x + 2 ≤ 5 se simplifie en 2 ≤ 5, toujours vrai — la solution est constituée de tous les nombres réels.
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