Un cercle est l'ensemble de tous les points équidistants d'un point central, cette distance étant appelée rayon (r). Le diamètre (d) est le double du rayon : d = 2r. Les trois principales mesures d'un cercle sont liées par la constante mathématique π (pi) ≈ 3,14159265.
Zone = πr² — l'espace enfermé dans le cercle. Circonférence = 2πr = πd — le périmètre ou la distance autour du cercle. Diamètre = 2r — la corde la plus longue passant par le centre. Si vous connaissez une mesure, vous pouvez trouver toutes les autres grâce à ces formules.
π est un nombre irrationnel — son expansion décimale ne se répète ni ne se termine jamais : 3,14159265358979... Pour la plupart des calculs techniques, l'utilisation de π ≈ 3,14159 (5 décimales) donne des résultats précis à 5 chiffres significatifs. Pour un travail scientifique précis, utilisez plus de chiffres. Notre calculatrice utilise Math.PI = 3.141592653589793 de JavaScript.
Un secteur est une « part de gâteau » d'un cercle défini par un angle central θ. Superficie du secteur = (θ/360°) × πr² pour θ en degrés, ou (θ/2) × r² pour θ en radians. Un arc est la limite courbe d'un secteur : longueur de l'arc = (θ/360°) × 2πr.
Un segment est la région située entre une corde et son arc. Une accord est n'importe quel segment de ligne dont les deux extrémités sont sur le cercle. La corde la plus longue est le diamètre. La relation entre la longueur d'une corde (c) et sa distance au centre (d) : c = 2√(r² - d²).
Les radians sont l'unité d'angle naturelle pour les cercles : 2π radians = 360°. Un radian est l'angle sous-tendu par un arc de longueur égale au rayon. Les radians simplifient les formules : longueur de l'arc = rθ, aire du secteur = r²θ/2. Le calcul et la trigonométrie utilisent presque toujours les radians car les dérivées du péché et du cos ne sont simples qu'en radians.
Les cercles sont omniprésents dans l'ingénierie, les sciences et la vie quotidienne. Les roues, les engrenages, les tuyaux, les pièces de monnaie et les orbites planétaires sont à peu près circulaires. Le cercle maximise la surface pour un périmètre donné (inégalité isopérimétrique) — c'est pourquoi les bulles sont rondes et pourquoi les conteneurs cylindriques sont efficaces.
L'équation d'un cercle de centre (h,k) et de rayon r est (x-h)² + (y-k)² = r². En trigonométrie, le cercle unité (r=1, centre à l'origine) définit le sinus et le cosinus : pour un angle θ, le point sur le cercle unité est (cos θ, sin θ). Cela fait du cercle unitaire le fondement de toute la trigonométrie.
En mathématiques supérieures, les cercles sont des cas particuliers de sections coniques (l'intersection d'un cône avec un plan perpendiculaire à son axe). La géométrie non euclidienne généralise le concept de cercle aux espaces courbes. Dans l'analyse complexe, les transformations de Möbius mappent des cercles en cercles (ou lignes, qui sont des cercles à l'infini), ce qui rend les cercles fondamentaux pour la géométrie complexe.
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Superficie = π × 10² = 100π ≈ 314,159 unités carrées. Circonférence = 2π × 10 = 20π ≈ 62,832 unités. Diamètre = 20 unités.
Pour les calculs quotidiens, π ≈ 3,14159 (5 décimales) est plus que suffisant. La NASA utilise 15 décimales pour la navigation interplanétaire. Le record mondial dépasse les 100 000 milliards de chiffres, mais même pour les expériences de physique les plus précises, 40 chiffres de π seraient excessifs.
La circonférence est la distance autour du cercle (une mesure linéaire en unités comme les mètres). L'aire est l'espace délimité par le cercle (une mesure carrée en unités² comme le m²). Pour un cercle de rayon r : Circonférence = 2πr, Aire = πr².
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