Kalkulačka vzdálenosti (dva body)

Co je vzorec pro výpočet vzdálenosti?

Vzdálenost mezi dvěma body ve 2D rovině se vypočítá pomocí vzorce pro vzdálenost: d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²). Tento vzorec je přímou aplikací Pythagorovy věty — vodorovná a svislá vzdálenost mezi oběma body tvoří odvěsny pravoúhlého trojúhelníku a hledaná vzdálenost je přeponou.

Postup výpočtu: spočítejte rozdíl v souřadnicích x (Δx = x₂ − x₁) a rozdíl v souřadnicích y (Δy = y₂ − y₁). Obě hodnoty umocněte, sečtěte a odmocněte. Umocnění zajistí, že záporné rozdíly (když x₂ < x₁ nebo y₂ < y₁) dají kladný výsledek — vzdálenost je vždy nezáporná.

Vzorec funguje v libovolném směru: vodorovné úsečky (y₁ = y₂) dají d = |x₂ − x₁|; svislé úsečky (x₁ = x₂) dají d = |y₂ − y₁|; pro šikmé úsečky je nutný celý vzorec. Jsou-li oba body totožné, d = 0.

Pojmenováno po René Descartovi, jde o Euklidovskou vzdálenost v kartézské soustavě souřadnic — vzdálenost vzdušnou čarou, na rozdíl od Manhattanské vzdálenosti (|Δx| + |Δy|).

Příklady výpočtů krok za krokem

Příklad 1 — Pythagorova trojice: Vzdálenost z bodu (1, 2) do (4, 6).

1. Δx = 4 − 1 = 3
2. Δy = 6 − 2 = 4
3. d = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5

Klasický pravoúhlý trojúhelník 3-4-5 (nejznámější Pythagorova trojice).

Příklad 2 — Iracionální výsledek: Vzdálenost z (0, 0) do (3, 7).

1. Δx = 3, Δy = 7
2. d = √(9 + 49) = √58 ≈ 7,616

Příklad 3 — Záporné souřadnice: Vzdálenost z (−3, 1) do (2, 13).

1. Δx = 2 − (−3) = 5
2. Δy = 13 − 1 = 12
3. d = √(25 + 144) = √169 = 13

Vzdálenost ve 3D prostoru

Rozšíření vzorce do tří dimenzí je přímočaré: d = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)² + (z₂−z₁)²). Přidáme pouze třetí souřadnici. Například vzdálenost z (1, 2, 3) do (4, 6, 3): Δx = 3, Δy = 4, Δz = 0, d = √(9 + 16 + 0) = 5.

Ve fyzice, inženýrství a herním vývoji se vzdálenost ve 3D prostoru používá při simulacích dráhy pohybu, výpočtu dosahu signálu nebo detekci srážek objektů.

Praktické využití vzorce vzdálenosti

Navigace a GPS: Základem výpočtu vzdálenosti vzdušnou čarou; pro vzdálenosti na povrchu Země se používá Haversinův vzorec zohledňující zakřivení Země.

Geometrie: Výpočet délky úsečky, ověření Pythagorovy trojice, nalezení středu úsečky (průměr souřadnic).

Strojové učení: Eukleidovská vzdálenost je základní mírou podobnosti v algoritmech jako k-NN nebo k-means clustering.

Hry a fyzikální simulace: Detekce kolizí, výpočet vzdálenosti mezi herními objekty, optimalizace pohybu postav.