Kombináció Kalkulátor – C(n,r)

Hogyan használja ezt a kalkulátort

1. Adja meg n értékét (összes elem)
2. Adja meg r értékét (kiválasztandó elemek)
3. Kattintson a Számít gombra
4. Az eredmény mutatja a C(n,r) kombinációk számát

Mi a kombináció?

A kombináció azt adja meg, hányféleképpen lehet n elemből r elemet kiválasztani úgy, hogy a sorrend nem számít. Ez a kombinatorika egyik alapfogalma, és rendkívül széles körben alkalmazható a statisztikától kezdve a lottón át a tudományos kutatásig.

A kombinációs képlet: C(n, r) = n! / [r! × (n−r)!]

Például: 10 emberből 3 főt kell kiválasztani egy bizottságba. C(10,3) = 10! / (3! × 7!) = 120 lehetséges bizottság. A sorrendnek nincs szerepe – {A,B,C} és {C,A,B} ugyanaz a bizottság.

Különbség a permutáció és a kombináció között: Permutációnál a sorrend számít (P(n,r) = n!/(n−r)!), kombinációnál nem. C(n,r) = P(n,r) / r! – azaz a permutációk számát elosztjuk az r elemek lehetséges sorrendjeinek számával.

Kombinációs referencia táblázat

Pascal-háromszög és binomiális együtthatók

A kombinációk szorosan kapcsolódnak a Pascal-háromszöghöz, ahol minden szám az n-edik sor r-edik elemét jelöli, és egyenlő C(n,r)-rel. A Pascal-háromszög sorai a binomiális együtthatók: (a+b)ⁿ kifejtésekor az együtthatók az n-edik sort adják.

Például (a+b)⁴ = 1a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + 1b⁴, ahol az együtthatók C(4,0)=1, C(4,1)=4, C(4,2)=6, C(4,3)=4, C(4,4)=1.

Fontos tulajdonságok: C(n,r) = C(n, n−r) – tükörszimmetria. C(n,0) = C(n,n) = 1. C(n,1) = n. A kombinációk összege: ΣC(n,r) = 2ⁿ.