La séquence de Fibonacci est définie par : F(1) = 1, F(2) = 1, F(n) = F(n-1) + F(n-2) pour n > 2. Chaque terme est la somme des deux termes précédents : 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ... Nommé d'après le mathématicien italien Leonardo de Pise (Fibonacci), qui l'a introduit aux mathématiques occidentales dans son livre de 1202 Liber Abaci, bien que la séquence soit connue dans les mathématiques indiennes des siècles plus tôt.
Le rapport des nombres de Fibonacci consécutifs converge vers le nombre d'or φ = (1 + √5)/2 ≈ 1,618. F(n+1)/F(n) → φ comme n → ∞. Ce rapport apparaît dans l'art, l'architecture et la nature. L'expression sous forme fermée (formule de Binet) est : F(n) = (φⁿ - ψⁿ)/√5, où ψ = (1-√5)/2 ≈ -0,618.
Les nombres de Fibonacci ont des propriétés de divisibilité remarquables : GCD(F(m), F(n)) = F(PGCD(m,n)). F(n) est divisible par F(m) chaque fois que m divise n. Le dernier chiffre des nombres de Fibonacci se répète avec la période 60 (période Pisano pour modulo 10), utile pour trouver rapidement F(n) mod 10.
Le nombre d'or φ ≈ 1,618 est l'une des constantes mathématiques les plus célèbres. Un rectangle est « doré » lorsque ses côtés sont dans un rapport φ:1 — la suppression d'un carré laisse un autre rectangle doré. Cette autosimilarité se poursuit infiniment, créant la spirale dorée. Cette spirale se rapproche de la spirale logarithmique trouvée dans les coquilles de nautiles, les galaxies et les ouragans.
Dans la nature, les nombres de Fibonacci apparaissent dans : le nombre de pétales sur de nombreuses fleurs (3, 5, 8, 13 pétales), la disposition en spirale des graines de tournesol et de pommes de pin, le motif de ramification des arbres et la disposition des feuilles (phyllotaxie) pour maximiser l'exposition au soleil. Ces modèles apparaissent parce que les arrangements de Fibonacci minimisent le chevauchement et maximisent l'efficacité de l'emballage pendant la croissance.
Dans l'art et l'architecture, le nombre d'or apparaît dans le Parthénon, la cathédrale Notre-Dame, l'Homme de Vitruve de Léonard de Vinci et de nombreuses peintures de la Renaissance. La question de savoir si les artistes anciens ont utilisé consciemment le nombre d'or ou s'il s'agit d'une correspondance de modèles après coup est débattue parmi les historiens, mais les propriétés mathématiques sont objectivement belles.
L'algorithme naïf récursif de Fibonacci (fib(n) = fib(n-1) + fib(n-2)) est tristement célèbre pour sa complexité temporelle exponentielle O(2ⁿ) — fib(50) nécessite plus de 10¹² d'appels de fonction. Cela en fait l'exemple canonique pour l'enseignement de la mémoisation et de la programmation dynamique : mettre en cache les valeurs précédemment calculées pour atteindre le temps O(n).
Pour les très grands nombres de Fibonacci, l'exponentiation matricielle atteint le temps O(log n) : [F(n+1), F(n) ; F(n), F(n-1)] = [1,1;1,0]ⁿ. Ceci est utile dans les problèmes de programmation et de cryptographie compétitifs nécessitant F(10^18) mod p.
Les nombres de Fibonacci apparaissent également dans : les tas de Fibonacci (une file d'attente prioritaire avec une complexité amortie optimale), la représentation de Zeckendorf (chaque entier positif est uniquement une somme de nombres de Fibonacci non consécutifs) et la recherche de Fibonacci (un algorithme similaire à la recherche binaire). La séquence de Fibonacci est tissée dans les mathématiques et les algorithmes de manière étonnamment profonde.
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Il existe deux conventions communes. Cette calculatrice utilise F(1)=1, F(2)=1 (la séquence classique de Fibonacci). Certaines sources utilisent F(0)=0, F(1)=1 (la version étendue). Avec la version indexée 0, F(6)=8 ; avec index 1, F(6)=8 également — ils ne diffèrent que par la façon dont n est compté.
F(50) = 12 586 269 025. La séquence croît approximativement d'un facteur φ ≈ 1,618 à chaque terme, donc les nombres de Fibonacci augmentent de façon exponentielle.
La phyllotaxie de Fibonacci (la disposition des feuilles, des graines, des pétales) naît de l'angle d'or (137,5°) entre les éléments successifs, qui dérive du nombre d'or. Cet angle minimise le chevauchement, maximise l’emballage et permet une croissance continue – un arrangement évolutif optimal.
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