La factorielle d'un entier non négatif n, noté n!, est le produit de tous les entiers positifs de 1 à n. Par définition : n ! = n × (n-1) × (n-2) × ... × 2 × 1. Cas particulier : 0 ! = 1 (ceci est défini, pas un calcul, et est nécessaire pour que les formules combinatoires fonctionnent de manière cohérente).
Les factorielles croissent à une vitesse explosive — plus rapidement que les fonctions exponentielles. 10 ! = 3 628 800 ; 20 ! ≈ 2,43 × 10¹⁸ ; 100 ! ≈ 9,33 × 10¹⁵⁷. Le nombre 170 ! est d'environ 7,26 × 10³⁰⁶, ce qui est la plus grande factorielle représentable sous la forme d'un nombre à virgule flottante de 64 bits. Notre calculatrice utilise l'arithmétique BigInt pour des résultats entiers exacts jusqu'à 170 !.
La définition récursive de factorielle est : n ! = n × (n-1) ! pour n > 0, avec 0 ! = 1 comme cas de base. Cette structure récursive fait de factorielle un exemple d'introduction classique à l'informatique pour l'enseignement de la récursion, de la programmation dynamique et de la mémorisation.
Les factorielles sont essentielles pour compter les problèmes. Le nombre de façons de disposer n objets distincts dans une rangée est n ! (appelées permutations). Avec 4 personnes en file : 4 ! = 24 arrangements différents. Cela s'applique à la disposition des sièges, à la planification et à tout problème de commande.
Permutations : P(n,r) = n!/(n-r) ! — le nombre de façons de choisir r éléments parmi n dans un ordre spécifique. Combinaisons : C(n,r) = n!/(r!(n-r)!) — le nombre de façons de choisir r éléments parmi n quel que soit l'ordre (coefficient binomial, écrit nCr ou ⁿCᵣ). Ceux-ci apparaissent dans le théorème binomial, le triangle de Pascal et les calculs de probabilité.
En probabilité, la factorielle est à la base de la distribution de Poisson, de la distribution binomiale et de la distribution multinomiale. Problème d'anniversaire : la probabilité que les 23 personnes aient des anniversaires différents = 365 !/(365-23) ! / 365²³ ≈ 49,3 %, ce qui signifie qu'il y a plus de 50 % de chances qu'au moins deux personnes sur 23 partagent le même anniversaire – un résultat contre-intuitif célèbre.
Pour n grand, le calcul de factorielles exactes n'est pas pratique (100 ! comporte 158 chiffres). L'approximation de Stirling fournit une excellente estimation : n ! ≈ √(2πn) × (n/e)ⁿ. Pour n = 10 : Stirling donne ≈ 3 598 696 contre 3 628 800 exacts – à 1 % près. L'approximation s'améliore à mesure que n grandit.
La log-factorielle ln(n!) = Σ ln(k) pour k=1 à n est souvent plus utile dans le calcul que la factorielle elle-même, car elle évite les débordements. Dans l'apprentissage automatique, les probabilités logarithmiques sont utilisées à la place des probabilités pour la stabilité numérique. La fonction log-gamma Γ(n+1) = n! pour les entiers, la factorielle s'étend aux nombres réels et complexes.
Le théorème de Wilson relie les factorielles aux nombres premiers : p est premier si et seulement si (p-1) ! ≡ -1 (modp). Cela fournit un test de primalité théorique, bien qu'il soit peu pratique sur le plan informatique pour les grands nombres. Le lien entre les factorielles et les nombres premiers est profondément ancré dans la théorie des nombres.
Calculate the factorial of any non-negative integer. n! = n × (n-1) × … × 2 × 1. Saisissez vos valeurs ci-dessus et cliquez sur Calculer pour obtenir des résultats instantanés. Tous les calculs sont effectués dans votre navigateur — aucune donnée n'est envoyée à des serveurs externes.
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Par convention et cohérence : définir 0 ! = 1 fait fonctionner correctement les formules combinatoires. Par exemple, C(n,0) = n!/(0!×n!) = 1, ce qui signifie qu'il y a exactement 1 façon de choisir 0 élément parmi n (ne rien faire). Sans cette définition, de nombreuses formules nécessiteraient des cas particuliers.
Factorielle n'est pas définie pour les entiers négatifs. La fonction gamma s'étend factoriellement aux nombres réels positifs (et aux nombres complexes), mais les entiers négatifs restent des singularités indéfinies.
Comptez des facteurs de 10 = 2×5. Puisque les facteurs de 2 sont plus abondants que 5, comptez les facteurs de 5 dans 1-100 : ⌊100/5⌋ + ⌊100/25⌋ = 20 + 4 = 24 zéros à droite.
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