ماشین حساب واحد دایره - مقادیر دقیق مثلث سنجی

دایره ی واحد چیست؟

دایره واحد دایره ای با شعاع دقیقاً 1 است که در اصل (0, 0) یک سطح مختصات متمرکز است. برای هر زاویه θ که از محور مثبت x اندازه گیری می شود ، نقطه مربوطه در دایره واحد مختصات دارد(cos θ، sin θ)این تعریف ظریف تابع مثلث سنجی را گسترش می دهد -- که در اصل فقط برای زاویه های حاد در مثلث های راست تعریف شده است -- به تمام اعداد واقعی و تمام زاویه ها، از جمله زاویه های منفی، زاویه های کج و زاویه های فراتر از 360 درجه.

دایره ی واحد یکی از مهم ترین ساختارها در ریاضیات است. این زیربنای محاسبات، تجزیه و تحلیل فوریه، نظریه ی اعداد پیچیده (از طریق فرمول یولر e^iθ= cos θ + i sin θ) ، فیزیک نوسانات و امواج و پردازش سیگنال. تسلط بر دایره واحد برای هر مطالعه جدی مثلث سنجی و فراتر از آن ضروری است.

درجه در مقابل رادیان: درک تبدیل

زاویه ها را می توان در درجه یا رادیان اندازه گیری کرد. درجه سیستم ۳۶۰ شناخته شده ای است که در زندگی روزمره مورد استفاده قرار می گیرد. رادیان واحد ریاضی طبیعی است: یک رادیان زاویه ای است که توسط یک قوس با طول مساوی با شعاع دایره کشیده شده است. از آنجا که یک دایره کامل دارای محيط ۲πr و شعاع r است، یک دایره کامل = ۲π رادیان است.

فرمولهای تبدیل:

• درجه -> رادیان: ضرب با π/180
• شعاعی -> درجه: ضرب 180/π

رادیان ها در تمام ریاضیات بالاتر و در اکثر زبان های برنامه نویسی (Python'smath.sin()، جاوا اسکریپتMath.sin()همیشه بررسی کنید که ماشین حساب یا زبان برنامه نویسی شما کدام واحد را انتظار دارد.

چهار ربع و قواعد علامت

دایره واحد توسط محورهای x و y به چهار بخش تقسیم می شود. نشانه های سینوس و کوسینوس (و بنابراین لمسی) به چهار بخش که در آن زاویه به پایان می رسد بستگی دارد. یک یادداشتی محبوب این است:ASTC -- "همه دانش آموزان ریاضیات را می خوانند"(یا "همه فنجان های چای نقره ای"):

• Q1 (0 درجه تا 90 درجه): All مثبت -- sin, cos, tan همه مثبت هستند
• Q2 (90 درجه - 180 درجه): Sine مثبت فقط -- sin مثبت، cos و tan منفی
• Q3 (180 درجه - 270 درجه): Tangent مثبت تنها - تان مثبت، گناه و cos منفی
• Q4 (270 درجه - 360 درجه): Cفقط os مثبت -- cos مثبت، sin و tan منفی

زاویه های مرجع

A زاویه مرجعاین زاویه حاد (بین 0 درجه و 90 درجه) است که بین طرف پایانی یک زاویه و محور x شکل می گیرد. زاویه های مرجع به شما اجازه می دهد از مقادیر Q1 که برای هر زاویه در هر ربع حفظ کرده اید استفاده کنید، به سادگی علامت را تنظیم کنید.

پیدا کردن زاویه های مرجع:

• Q1 (0 درجه - 90 درجه): زاویه مرجع = θ
• Q2 (90 درجه - 180 درجه): زاویه مرجع = 180 درجه - θ
• Q3 (180 درجه - 270 درجه): زاویه مرجع = θ - 180 درجه
• Q4 (270 درجه - 360 درجه): زاویه مرجع = 360 درجه - θ

مثال:sin ((210 درجه) را پیدا کنید. زاویه مرجع = 210 درجه - 180 درجه = 30 درجه. در Q3، sinus منفی است. بنابراین sin ((210 درجه) = -sin ((30 درجه) = -0.5

مثال:cos (((315 درجه) را پیدا کنید. زاویه مرجع = 360 درجه - 315 درجه = 45 درجه. در Q4 ، cos مثبت است. بنابراین cos (((315 درجه) = cos (((45 درجه) = √2/2 ~ 0.707.

هویت های اصلی مثلثی

دایره ی واحد اثبات های ظریف از هویت های بنیادی مثلث سنجی را فراهم می کند که در کل حساب و فیزیک مورد استفاده قرار می گیرد.

هویت فیثاغوری:sin2θ + cos2θ = 1 (به طور مستقیم از معادله دایره واحد x2 + y2 = 1)

هویت های مشتق شده:

• 1 + tan2θ = sec2θ (توحید فیثاغوری را با cos2θ تقسیم کنید)
• 1 + cot2θ = csc2θ (توحید فیثاغوری را با sin2θ تقسیم کنید)

هویت های جفت / عجیب:

• sin ((-θ) = -sin ((θ) -- sin یک تابع عجیب است
• cos ((-θ) = cos ((θ) -- cos یک تابع جفت است
• تانگنت یک تابع عجیب است.

فرمول جمع زاویه:

• sin ((A +/- B) = sin A cos B +/- cos A sin B
• cos ((A +/- B) = cos A cos B sin A sin B

فرمولهای دو زاویه:

• sin ((2θ) = 2 sin θ cos θ
• cos ((2θ) = cos2θ - sin2θ = 1 - 2sin2θ = 2cos2θ - 1

دایره ی واحد در حساب و فیزیک

دایره ی واحد فقط یک ابزار حفظ مثلث سنجی نیست -- این پایه ای برای محاسبات و فیزیک است:

• مشتقات:d/dx[sin x] = cos x و d/dx[cos x] = -sin x. این نتایج اساسی از هندسه دایره واحد و تعریف مشتق حاصل می شود.
• اعداد پیچیده:فرمول اولر e^iθ= cos θ + i sin θ دایره ی واحد را به نماد های پیچیده متصل می کند. در θ = π: e^iπ+ 1 = 0 (هویت اویلر) ، زیباترین معادله در ریاضیات محسوب می شود.
• تجزیه و تحلیل فوریه:هر تابع دوره ای را می توان به مجموع sinus و cosine (سری فوریه) تجزیه کرد. فشرده سازی صوتی (MP3) ، فشرده سازی تصویر (JPEG) و پردازش سیگنال MRI همه به این اصل متکی هستند.
• حرکت هارمونیک ساده:موقعیت یک پاندول یا بهار از x ((t) = A cos ((ωt + φ) پیروی می کند ، و دایره واحد را در طول زمان ردیابی می کند.
• برق متناوب:جریان متناوب از V = V0 sin ((ωt) پیروی می کند ، یک کاربرد مستقیم دایره واحد برای مهندسی برق است.

ترفندهای حفظ برای دایره ی واحد

حفظ مقادیر دایره واحد برای 0 درجه، 30 درجه، 45 درجه، 60 درجه، 90 درجه در Q1 شما را قادر به بازسازی تمام مقادیر دیگر با استفاده از زاویه های مرجع و قوانین علامت می کند.

ترفند "شمردن" برای سینوس در Q1:مقادیر سینوس در 0 درجه، 30 درجه، 45 درجه، 60 درجه، 90 درجه √0/2، √1/2، √2/2، √3/2، √4/2 -- ساده شده به 0،1/2، √2/2، √3/2، 1. اعداد زیر ریشه از 0 تا 4 می باشد.

کوزاین معکوس است:در ۰ درجه، ۳۰ درجه، ۴۵ درجه، ۶۰ درجه، ۹۰ درجه -- کوزینوس می رود ۱، √۳/۲، √۲/۲، ۱/۲، ۰ (تسلسل سینوس معکوس).

تماس:در 30 درجه: (1/2) / (((√3/2) = 1/√3 = √3/3 ~ 0.577. در 60 درجه: (√3/2) / (((1/2) = √3 ~ 1.732. در 45 درجه: 1. نامشخص در 90 درجه (تقسیم به صفر).

مختصات قطبی و دایره واحد

دایره ی واحد پایه ی مختصات قطبی است، یک جایگزین برای مختصات کارتیزی (x، y) برای توصیف نقاط در سطح است. در مختصات قطبی، یک نقطه با (r، θ) توصیف می شود - فاصله آن از اصل و زاویه θ از محور مثبت x. رابطه با مختصات کارتیزی: x = r cos θ و y = r sin θ (دقیقاً دایره ی واحد برای r = 1).

مختصات قطبی برای توصیف منحنی هایی که به طور طبیعی دایره ای یا مارپیچی هستند، به ویژه زیبا هستند. معادله دایره ای با شعاع a به سادگی r = a است - در مقایسه با x2 + y2 = a2 در شکل کارتیزیایی. مارپیچ آرشیمیدی r = aθ (که با زاویه خطی افزایش می یابد) شکل یک بهار ساعت یا حفره ضبط وینیل را نشان می دهد. کاردیوئید r = a ((1 + cos θ) الگوی حساسیت بسیاری از میکروفون ها را توصیف می کند.

در 3D، مختصات قطبی به مختصات استوانه ای (r، θ، z) و مختصات کروی (r، θ، φ) گسترش می یابد. سیستم GPS از مختصات کروی (عرض، طول، ارتفاع) استفاده می کند - عرض جغرافیایی و طول جغرافیایی زاویه هایی هستند که از واحد کره زمین اندازه گیری می شوند، به طور مستقیم استفاده از مثلثات دایره واحد برای ناوبری در سراسر جهان. فرمول Haversine، که در GPS و نرم افزار نقشه برداری برای محاسبه فاصله دایره بزرگ بین دو نقطه بر روی سطح زمین استفاده می شود، به طور کامل از توابع مثلثات دایره واحد ساخته شده است: فاصله بین دو نقطه از تفاوت در عرض جغرافیایی و طول جغرافیایی با استفاده از sin و cos از نیم زاویه ها، سپس قوس و arcinctan برای بازیابی زاویه مرکزی محاسبه می شود.

اعداد پیچیده نیز به طور مستقیم از شکل قطبی استفاده می کنند: z = r ((cos θ + i sin θ) = re^iθ، که در آن r ماژول (مسافه از اصل) است و θ استدلال (زاویه از محور واقعی مثبت) است. ضرب اعداد پیچیده در شکل قطبی بصری است: ماژول ها را ضرب کنید و استدلال ها را اضافه کنید - به طور مستقیم از فرمول های اضافه کردن زاویه مشتق شده از دایره واحد استفاده کنید. به همین دلیل است که ضرب پیچیده از نظر هندسی با چرخش و مقیاس مطابقت دارد و چرا دایره واحد (r = 1) نشان دهنده گروه چرخش هواپیما است.

توابع مثلث سنجی معکوس و دایره واحد

توابع مثلث سنجی معکوس - arcsin ، arccos و arctan - از یک مقدار مثلث به زاویه به عقب کار می کنند. با توجه به sin θ = 0.5 ، arcsin (((0.5) = 30 درجه (π/6). اما دایره واحدی ظرافتی را نشان می دهد: sin (((30 درجه) = 0.5 و sin (((150 درجه) = 0.5 . بنابراین توابع معکوس برای اطمینان از خروجی منحصر به فرد به محدوده های خاصی محدود می شوند:

• آرکسین (سین-1):محدوده -90 درجه تا +90 درجه (-π/2 تا π/2) -- Q4 و Q1
• arccos (cos-1):محدوده 0 درجه تا 180 درجه (0 تا π) -- Q1 و Q2
• آرکتان (تان-1):محدوده -90 درجه تا +90 درجه (-π/2 تا π/2) -- Q4 و Q1

این به این معنی است که arcsin ((-0.5) = -30 درجه (نه 210 درجه) ، زیرا تابع arcsin به Q4/Q1 محدود است. برای پیدا کردن مجموعه کامل زاویه هایی که معادله ای مانند sin θ = -0.5 را برآورده می کنند، از دایره واحد و راه حل کلی استفاده می کنید: θ = 180 درجه + 30 درجه = 210 درجه (Q3) و θ = 360 درجه - 30 درجه = 330 درجه (Q4) در [0 درجه، 360 درجه]؛ یا به طور کلی θ = -30 درجه + 360 درجه و θ = 210 درجه + 360 درجه برای عدد صحیح k.

درک این محدودیت ها برای حل معادلات مثلثی به درستی بسیار مهم است، به ویژه در محاسبات و فیزیک که دامنه آن به [0 درجه، 360 درجه] محدود نمی شود. این محدودیت ها بر روی توابع مثلثی معکوس توضیح می دهد که چرا ماشین حساب ها و زبان های برنامه نویسی تنها یک زاویه برای arcsin ((0.5)) را باز می گردانند - آنها 30 درجه (ارزش اصلی در [-90 درجه، 90 درجه]) را می دهند، نه 150 درجه. برای حل sin θ = 0.5 برای همه راه حل ها، شما از ارزش اصلی به علاوه فرمول راه حل عمومی استفاده می کنید: θ = 30 درجه + 360 degreesk یا θ = 150 درجه + 360 degreesk (از آنجا که sin نیز 0.5 در 150 درجه در Q2 است) ، برای هر عدد صحیح k. دانش آموزان اغلب با فراموش کردن راه حل های دوم خانواده امتحان را از دست می دهند - همیشه ارزش اصلی سینوس و زاویه مکمل را برای معادلات بررسی کنید.

کاربردهای دایره واحد در فیزیک و مهندسی

دایره ی واحد ریاضیات انتزاعی نیست -- این مدل ریاضیاتی پشت تقریباً هر سیستم نوسان یا چرخش در دنیای فیزیکی است:

• حرکت پندول:جابجایی افقی یک پاندول ساده x ((t) = A cos ((ωt + φ) است ، جایی که ω = √ ((g / L) فرکانس زاویه ای (rad / s) است ، A دامنه است و φ فاز اولیه است. دایره واحد این حرکت را به عنوان گردش در سرعت زاویه ای ثابت دنبال می کند.
• برق متناوب:ولتاژ اصلی زیر است: V ((t) = V0 sin ((2πft) ، جایی که f = 60 هرتز (ایالات متحده) یا 50 هرتز (اتحادیه اروپا) است. V0 ~ 170 V برای 120 V RMS شبکه اصلی ایالات متحده است. دایره واحد این نوسان سینوس را به صورت هندسی نقشه برداری می کند.
• امواج صوتی:تن های خالص نوسانات فشار سینوسیال هستند: p ((t) = P0 sin ((2πft + φ). نوت A4 (کنسرت A) f = 440 هرتز - 440 چرخش کامل دایره واحد در ثانیه است.
• حرکت دایره ای:یک جسم که با سرعت ثابت در دایره ای با شعاع r حرکت می کند ، دارای x ((t) = r cos ((ωt) ، y ((t) = r sin ((ωt) است. پیش بینی این حرکت بر روی یک محور باعث ایجاد حرکت هارمونیک ساده می شود که دایره واحد را به طور مستقیم به نوسان متصل می کند.
• فازورها:در مهندسی برق، ولتاژها و جریان های AC به عنوان فازورها نشان داده می شوند - وکتورهای چرخشی در سطح پیچیده با فرکانس زاویه ای ω. ارزش لحظه ای آنها طرح ریزی بر روی محور واقعی است: دقیقاً تابع cos از دایره واحد.

فراتر از دایره واحد: توابع هیپربولیک

دایره واحد، توابع مثلثی دایره ای (sin، cos، tan) را تعریف می کند. مجموعه ای مشابه از توابع بر اساس هیپربولا واحد (x2 - y2 = 1) وجود دارد:توابع هیپربولیکاین ها در منحنی های زنجیره ای (شکل یک زنجیره آویزان) ، نسبیت خاص و حل معادلات دیفرانسیل در فیزیک و مهندسی ظاهر می شوند.

در حالی که توابع دایره ای sin2θ + cos2θ = 1 (معادله دایره واحد) را برآورده می کنند ، توابع هیپربولیک cosh2x - sinh2x = 1 (معادله هیپربولا واحد) را برآورده می کنند. مشتقات نیز متفاوت هستند: d / dx [sinh x] = cosh x و d / dx [cosh x] = sinh x (بدون علامت منفی ، برخلاف cosinus دایره ای). فرمول اویلر e^iθ= cos θ + i sin θ دارای یک آنالوگ هیپربولیک است: e^x= cosh x + sinh x، که باعث می شود توابع هیپربولیک همتای محور واقعی توابع دایره ای در سطح پیچیده باشند.