Máy Tính Phương Sai – Phương Sai Tổng Thể & Mẫu
Tính phương sai và độ lệch chuẩn cho tập dữ liệu. Hỗ trợ phương sai tổng thể và mẫu. Máy tính thống kê trực tuyến miễn phí cho kết quả tức thì. Không cần đăng ký.
Phương Sai Là Gì?
Phương sai đo sự phân tán của tập dữ liệu — các giá trị cách xa giá trị trung bình bao nhiêu. Phương sai thấp nghĩa là các điểm dữ liệu tập trung gần giá trị trung bình; phương sai cao nghĩa là chúng phân tán rộng.
Phương sai được tính là trung bình của bình phương các sai số so với giá trị trung bình:
- Phương sai tổng thể (σ²): σ² = Σ(xᵢ − μ)² / N
- Phương sai mẫu (s²): s² = Σ(xᵢ − x̄)² / (N−1)
Trong đó xᵢ là mỗi điểm dữ liệu, μ (hoặc x̄) là giá trị trung bình, và N là số giá trị. Độ lệch chuẩn đơn giản là căn bậc hai của phương sai — nó có cùng đơn vị với dữ liệu gốc, làm cho nó dễ diễn giải hơn.
Phương Sai Tổng Thể vs Mẫu
Sự khác biệt chính là mẫu số — N vs (N−1) — được gọi là hiệu chỉnh Bessel:
| Loại | Mẫu Số | Dùng Khi | Ký Hiệu |
|---|---|---|---|
| Phương Sai Tổng Thể | N | Bạn có dữ liệu của toàn bộ dân số | σ² |
| Phương Sai Mẫu | N−1 | Bạn có mẫu từ dân số lớn hơn | s² |
Trong thực tế, hầu hết dữ liệu thực tế là mẫu. Sử dụng N−1 (phương sai mẫu) tạo ra ước tính không thiên vị của phương sai tổng thể thực sự. Sử dụng N (phương sai tổng thể) trên mẫu sẽ đánh giá thấp phương sai thực.
Tính Phương Sai Từng Bước
Cho tập dữ liệu: 4, 7, 13, 2, 8
- Tính giá trị trung bình: (4+7+13+2+8) ÷ 5 = 34/5 = 6,8
- Tính độ lệch từ giá trị trung bình: (4−6,8)², (7−6,8)², (13−6,8)², (2−6,8)², (8−6,8)²
= (−2,8)², (0,2)², (6,2)², (−4,8)², (1,2)²
= 7,84, 0,04, 38,44, 23,04, 1,44 - Cộng bình phương: 7,84 + 0,04 + 38,44 + 23,04 + 1,44 = 70,8
- Chia: Phương sai tổng thể = 70,8 / 5 = 14,16; Phương sai mẫu = 70,8 / 4 = 17,7
- Độ lệch chuẩn: σ = √14,16 ≈ 3,76; s = √17,7 ≈ 4,21
Câu Hỏi Thường Gặp
Sự khác biệt giữa phương sai và độ lệch chuẩn là gì?
Phương sai là trung bình của bình phương các sai số (đơn vị bình phương). Độ lệch chuẩn là căn bậc hai của phương sai (đơn vị gốc). Độ lệch chuẩn thường dễ hiểu hơn vì nó có cùng đơn vị với dữ liệu — bạn có thể nói "điểm thường trong phạm vi 1 độ lệch chuẩn so với giá trị trung bình".
Tại sao phương sai mẫu chia cho N−1?
Chia cho N tạo ra ước tính thấp của phương sai tổng thể — nó thiên về phía thấp vì giá trị trung bình mẫu thường không chính xác bằng giá trị trung bình tổng thể thực sự. Chia cho N−1 (hiệu chỉnh Bessel) bù đắp cho điều này, tạo ra ước tính không thiên vị.
Phương sai được sử dụng ở đâu trong thực tế?
Kiểm soát chất lượng (biến thiên quy trình sản xuất), tài chính (biến động danh mục đầu tư), thống kê (ANOVA, hồi quy), y học (phạm vi tham chiếu lâm sàng), và nghiên cứu (đo mức độ kết quả phân tán). Bất kỳ lúc nào bạn quan tâm đến tính nhất quán hoặc rủi ro, phương sai là một số liệu chính.