عدد اول چیکر
معلوم کریں کہ کوئی عدد اول ہے یا نہیں اور اس کے عوامل تلاش کریں۔ مفت آن لائن ریاضی کیلکولیٹر، فوری درست نتائج۔
کسی عدد کو کیا ہے؟
ایک پرائم نمبر ایک قدرتی عدد ہوتا ہے جو 1 سے بڑا ہوتا ہے اور جو صرف دو مختلف عوامل کے ساتھ ہوتا ہے: 1 اور خود۔ پہلے نمبر ہیں: 2، 3، 5، 7، 11، 13، 17، 19، 23، 29، 31، 37، 41، 43، 47، 53، 59، 61، 67، 71، 73، 79، 83، 89، 97...
پرائم نمبر کے بارے میں اہم حقائق:
- 2 ہی ایک ہی ایون پرائم ہے۔ ہر دوسرا ایون نمبر 2 سے تقسیم ہوتا ہے، لہذا اس کے زیادہ سے زیادہ دو عوامل ہوتے ہیں۔
- 1 کو ابھی تک پرائم نہیں سمجھا جاتا ہے جدید روایت کے مطابق۔ 1 کو ہٹانے سے پرائم فیکٹریشن کی یکتا (Fundamental Theorem of Arithmetic) کی خصوصیت برقرار رہتی ہے۔
- پرائم نمبر بے انتہا ہیں۔ یوکلڈ نے 300 قبل مسیح میں یہ ثابت کیا: ایک محدود فہرست کا خیال رکھو جس میں تمام پرائم نمبر ہوں p₁، p₂، ...، pₙ۔ پھر نمبر (p₁ × p₂ × ... × pₙ) + 1 کو خود ہی پرائم ہے یا اس کا ایک پرائم فیکٹر ہے جو فہرست میں نہیں ہے — تناقض۔ لہذا فہرست بے انتہا ہے۔
- عدد بڑھنے کے ساتھ، پرائم نمبر کم ہوتے ہیں — لیکن وہ کبھی بھی روک نہیں پاتے۔ 100 سے نیچے 25 پرائم نمبر ہیں، 1،000 سے نیچے 168، اور 1،000،000 سے نیچے 78،498۔
ایک کامپوزٹ نمبر کسی بھی مثبت عدد ہوتا ہے جو 1 سے بڑا ہوتا ہے اور جو پرائم نہیں ہوتا ہے — یہ کم از کم ایک فیکٹر ہوتا ہے جو 1 اور خود سے الگ ہوتا ہے۔ نمبر 12 کامپوزٹ ہے کیونکہ 12 = 2 × 6 = 3 × 4 = 2 × 2 × 3۔ ہر کامپوزٹ نمبر کا ایک الگ پرائم فیکٹریشن ہوتا ہے (Fundamental Theorem of Arithmetic)۔
کسی عدد کو پرائم کیسے جانا جائے؟
کئی طریقے ہیں جو پرائمٹی ٹیسٹنگ کے لیے استعمال ہوتے ہیں، جو سادہ ٹرائل ڈویژن سے لے کر پیش گوئی کے طریقے تک:
ٹرائل ڈویژن (بہترین طریقہ): دیکھیں کہ کیا کسی بھی عدد 2 سے √n تک نے n کو یکساں طور پر تقسیم کیا ہے۔ اگر نہیں تو، n پرائم ہے۔ آپ کو صرف √n تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک تک
ہر مرکب عدد کو ایک الگ الگ پریم فیکٹریشن کے طور پر لکھا جا سکتا ہے — اس کی پریم فیکٹریشن۔ یہ Fundamental Theorem of Arithmetic کے ذریعہ یقینی بنایا گیا ہے۔ پریم فیکٹریشن کو پانا کے لیے، سب سے چھوٹے پریم فیکٹر سے بار بار تقسیم کریں: پریم فیکٹریشن کو استعمال کرکے ہر دو عدد کا سب سے بڑا عام ڈویژن (GCD) اور کم سے کم عام ڈویژن (LCM) پانا ممکن ہوتا ہے۔ GCD(12, 18) = 2² × 3؟ نہیں — مشترکہ پریم فیکٹرز میں سے کم ترین طاقت لے لیں: GCD = 2¹ × 3¹ = 6۔ LCM میں سب سے زیادہ طاقت لے لیں: LCM(12, 18) = 2² × 3² = 36۔ پریمز ریاضیاتی "اتوم" ہیں — Fundamental Theorem of Arithmetic کے مطابق ہر مثبت عدد 1 سے بڑھ کر پریم یا ایک الگ الگ پریم فیکٹریشن کے طور پر لکھا جا سکتا ہے۔ یہ یکتا ہونے کی وجہ سے پریمز تمام عددوں کے غیر تجزوی بنیادی عناصر ہیں۔ مڈرن انٹرنیٹ سیکیورٹی پر پریم نمبر پر منحصر ہے۔ RSA انکرپشن (HTTPS، ای میل انکرپشن، اور ڈیجیٹل سائنچر کے لیے استعمال ہوتا ہے) میں دو بڑے پریم نمبر p اور q کو n = p × q بنانے کے لیے استعمال کرتا ہے۔ انکرپشن اور ڈیجیٹل سائنچر کی کلیدز کو n کے ساتھ مڈیولر ریاضی استعمال کرکے کمپیوٹ کیا جاتا ہے۔ سیکیورٹی n (2048-بت کا عدد جس میں ~617 ڈیسیمل ڈیگٹس ہیں) پر منحصر ہے۔ ڈیفی-ہیلمن کی کلید ایکسچینج میں بڑے پریم نمبر کے لیے مڈول استعمال کرتا ہے۔ جب آپ HTTPS کے ذریعے ویب سائٹ سے جڑتے ہیں تو پریم نمبر آپ کی ڈیٹا کو حقیقی وقت میں چھپا رہے ہوتے ہیں۔ ہیش ٹیبلز میں پریم سائز کے آرے استعمال کرتے ہیں تاکہ ٹکڑوں کی تعداد کم ہو سکے۔ جب ایک ہیش فانکشن کلیدز کو بکٹ انڈیکسز میں مپ کرتی ہے، تو پریم نمبر کے بکٹس استعمال کرنے سے بہتر تقسیم ہوتی ہے کیونکہ پریم نمبر میں کوئی فیکٹر ہوتے ہیں جو سسٹمٹک ٹکڑوں کے پینٹرن بنانے کے لیے استعمال ہوسکتے ہیں۔ پسیوڈو رینڈم نمبر جینریٹرز (PRNGs) میں پریم مڈولز استعمال کرتے ہیں۔ لائنئر کانگریوٹیال جینریٹرز اور دیگر الگوریتھم میں۔ اس طرح کے جینریٹرز کا پیریوڈ (پھر سے دہراؤ) عام طور پر پریم مڈولس مینس 1 ہوتا ہے۔ پریم کی بے شمار اقسام ہیں، جو خاص خصوصیات یا اہمیت رکھتے ہیں: مرسن پریم (2ⁿ − 1) خاص طور پر اہم ہیں کیونکہ انہیں Lucas-Lehmer ٹیسٹ کے ذریعہ پریملیٹی ٹیسٹ کیا جا سکتا ہے۔ GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search) پروجیکٹ دنیا بھر میں تقسیم شدہ کمپیوٹنگ استعمال کرتا ہے تاکہ نئے مرسن پریم کی تلاش کی جا سکے۔ 2024 تک، سب سے بڑا جانی جانے والا مرسن پریم 2^136,279,841 − 1 ہے، جس میں 41 ملین ڈیسیمل ڈیگٹس ہیں۔ ٹوئن پریم (جڑواں پریم جو 2 سے مختلف ہوتے ہیں) کا یقین کیا جاتا ہے کہ ان کی تعداد بے پناہ ہے (ٹوئن پریم کا یقین)، لیکن یہ ابھی تک ثابت نہیں ہوا ہے — ریاضی کی سب سے مشہور کھلی مسئلے میں سے ایک ہے۔ 2013 میں، ییتانگ زنگ نے یہ ثابت کیا کہ 70 ملین سے زیادہ تک ہر دو پریم کے درمیان ہر دو پریم ہیں، جو بعد میں 246 تک بہتر ہوا۔ عدد بڑھنے کے ساتھ ہی کم ہوتے جاتے ہیں، لیکن ان کی تقسیم پر شماریاتی پتھر کی طرف سے بیان کردہ پتھر کی تعداد کا قانون ہے: عدد کی تعداد کا قانون (1896 میں ہیڈامارڈ اور ڈی لا والی پوسن نے مستقل طور پر ثابت کیا) کہتا ہے کہ N تک عدد کی تعداد، N کو ظاہر کرتا ہے، N کے لئے تقریباً N / ln(N) ہے: ریمان کی تھیوری — ایک ملین ڈالر کے انعام کے ساتھ ایک ہزار سالہ چیلنج کا مسئلہ — عدد کی تقسیم کے بارے میں ہے۔ یہ تھیوری کہتا ہے کہ ریمان زیتا فانکشن کے غیر معیاری صفر کے تمام غیر معیاری صفر ہیں۔ 1/2 کا حقیقی حصہ۔ یہ "نظامی" عدد کی تقسیم کے بارے میں ہے — تھیوری کا پیش گوئی ہے کہ عدد کے درمیان بہترین یکسوئی ہے۔ نہیں۔ جدید ریاضیاتی رواج کے مطابق، 1 کو پرائم یا کمپوزٹ نہیں سمجھا جاتا ہے۔ 1 کو پرائم سے باہر رکھنا پرائم فیکٹریشن کے بنیادی اصول (fundamental theorem of arithmetic) کی یکتاہت کو برقرار رکھتا ہے — اگر 1 کو پرائم سمجھا جاتا تو ہر نمبر میں بے شمار فیکٹریشن ہوتی (مثلاً 6 = 2×3 = 1×2×3 = 1×1×2×3 = ...)۔ تاریخی طور پر، کچھ ریاضی دانوں نے 1 کو پرائم سمجھا تھا، لیکن جدید تعریف اسے باہر رکھتی ہے۔ 2024 تک، سب سے بڑا جانا جانے والا پرائم نمبر 2^136,279,841 − 1 (ایک میرسن پرائم) ہے، جو اکتوبر 2024 میں دریافت ہوا تھا۔ یہ 41 ملین سے زیادہ اعداد پر مشتمل ہے۔ گریٹ انٹرنیٹ میرسن پرائم سروس (GIMPS) پروجیکٹ کے ذریعے، جو دنیا بھر کے وولنٹیئرز کے ذریعے ڈسٹریبیوٹڈ کمپیوٹنگ کا استعمال کرتا ہے، زیادہ تر ریکارڈ پرائمز دریافت ہوتے ہیں۔ یہ بڑے پرائموں کے لئے کوئی عملی استعمال نہیں ہے — ان کی تلاش صرف ریاضیاتی تفتیش ہے۔ پرائم نمبر غیر متوقع طور پر دکھائی دیتے ہیں، لیکن پتے ہیں۔ سب سے زیادہ نمبر > 5 میں 1، 3، 7، یا 9 سے ختم ہوتے ہیں (0، 2، 4، 5، 6، 8 سے نہیں)۔ سب سے زیادہ نمبر > 3 6k±1 کی شکل میں ہوتے ہیں۔ جڑواں پرائم (2 سے مختلف، جیسے 11 اور 13) غیر ثابت شدہ جڑواں پرائم کے نظریے کے مطابق ہمیشہ سے ہی جاری ہیں۔ پرائم نمبر کا نظریہ (prime number theorem) کہتا ہے کہ N کے قریب پرائم نمبر کی اعداد میں سے تقریباً 1/ln(N) ہیں۔ جی، 2 پرائم ہے — اور یہ واحد جین پرائم ہے۔ 2 کے صرف دو فیکٹرز ہیں (1 اور 2)، جو تعریف کے مطابق ہیں۔ ہر دوسرا جین نمبر 2 سے تقسیم ہوتا ہے، اس لیے یہ کمپوزٹ ہے۔ 2 کی پرائم ہونے کی وجہ سے، اکثر الگ سے ہاتھ آتی ہے۔ RSA انکرپشن میں، ایک کلید جوڑی بنانے کے لئے: (1) دو بڑے پرائم p اور q (ہر ایک 1024+ بٹس) منتخب کرتا ہے، (2) n = p×q کمپیوٹ کرتا ہے، (3) n اور e کے لئے انکرپشن کلید اور d کے لئے ڈی کریپشن کلید حاصل کرتا ہے۔ کسی بھی شخص کو n اور e (پبلک کلید) کے ذریعے انکرپشن کر سکتا ہے، لیکن صرف p اور q (یا d) کے مالک ہی ڈی کریپشن کر سکتے ہیں۔ محفوظی یہیں ہے کہ n کو پھر سے p اور q میں تقسیم کرنا بہت مشکل ہے۔ چھوٹے نمبر (10^12 تک): آپشنل ٹرائل ڈویژن صرف √n تک ہی چیک کرتا ہے۔ میڈیم نمبر: میلر-رابن پرائمٹی ٹیسٹ کے ساتھ کچھ گواہی ہے۔ بہت بڑے نمبر (کрипٹوگرافک سائز، 1000+ ڈیجیٹس): میلر-رابن ٹیسٹ کے ساتھ بہت ساری تصدیقی گواہی، یا ایک ایس کے ایس ٹیسٹ کے لئے ڈیٹرمنسٹک پroof۔ پرائم گپ دو متوالی پرائم نمبر کے درمیان فرق ہے۔ سب سے چھوٹا پرائم گپ 1 ہے (2 اور 3 کے درمیان) اور دوسرے تمام متوالی پرائم نمبر کے درمیان گپ 2 سے کم ہوتا ہے (کیونکہ ایک کو ہمیشہ جین ہوتا ہے)۔ گپ بڑھتا ہے: N کے قریب، پرائم نمبر کے درمیان اوسط گپ ln(N) ہوتا ہے۔ بہت بڑے پرائم گپ موجود ہیں — ہر ایک کے لئے بہت سے متوالی کمپوزٹ نمبر (n!+2، n!+3، ...، n!+n) ہیں۔ 100 = 2 × 50 = 2 × 2 × 25 = 2 × 2 × 5 × 5 = 2² × 5²۔ 100 کے پرائم فیکٹرز 2 اور 5 ہیں۔ یہ فیکٹریشن 100 کو 1، 2، 4، 5، 10، 20، 25، 50، اور 100 سے تقسیم کرنے کی وجہ ہے — ہر تقسیم 2⁰˒¹˒² اور 5⁰˒¹˒² کے ایک سے زیادہ ایک سے زیادہ کو شامل کرتا ہے۔ گولڈباخ کا نظریہ (1742) کہتا ہے کہ ہر جین نمبر > 2 کو دو پرائم نمبروں کی مجموعی طور پر بیان کیا جا سکتا ہے۔ مثال کے طور پر: 4=2+2، 6=3+3، 8=3+5، 10=3+7، 100=3+97=11+89=17+83۔ یہ 4×10^18 تک کمپیوٹیشنل طور پر ثابت کیا گیا ہے لیکن ابھی تک ثابت نہیں ہوا ہے۔ یہ نمبر تھیوری کا ایک قدیم اور مشہور ناقابل حل مسئلہ ہے۔ پرائم نمبر کی تعداد بے شمار ہے — یہ بات 300 قبل مسیح میں یوکلڈ نے ثابت کی تھی۔ براہ راست برے کا ثبوت: اگر پرائم نمبر محدود ہوں تو ان کے مجموعے سے 1 کو بڑھانا ہوگا یا یہ کہ وہ ایک پرائم نمبر ہے یا اس کے فیکٹرز میں سے ایک پرائم نمبر ہے جو اس سے باہر ہے، ایک تضاد ہے۔ جبکہ پرائم نمبر کم ہوتے جاتے ہیں، وہ کبھی بھی نہیں روکتے ہیں۔ 1,000,000 سے نیچے 78,498 پرائم نمبر ہیں اور 100,000,000 سے نیچے 5,761,455 پرائم نمبر ہیں۔ عدد کی بنیاد پر کچھ ریاضی کی سب سے خوبصورت اور سب سے مزہ دار مسائل میں سے ایک ہے۔ ان کھلے سوالات کا سمجھنا ان کے بارے میں ہم جانتے ہیں کہ کتنا ہم جانتے ہیں اور کتنا ابھی بھی ان کے بارے میں مجھول ہے۔ ریمان کی تھیوری (1859): ریمان زیتا فانکشن ζ(s) = Σ(1/nˢ) کو عدد کی تقسیم کے ساتھ جوڑتا ہے۔ یہ تھیوری کہتا ہے کہ تمام غیر ذاتی صفر لائن Re(s) = 1/2 پر ہیں۔ اگر سچ ہے تو یہ عدد کی تقسیم کا سب سے دقت ممکنہ بیان فراہم کرے گا۔ 10 ارب سے زیادہ صفر کمپیوٹ کئے گئے ہیں اور سب لائن Re(s) = 1/2 پر ہیں - لیکن کوئی ثبوت نہیں ہے۔ یہ ایک ملین ڈالر کا انعام رکھتا ہے۔ ٹوئن پرائم کنجیکٹر: ہے کہ کیا ہے کہ (p, p+2) جیسے جوڑے ہیں - جیسے (11,13)، (17,19)، (41,43)، (101,103)؟ یہ کنجیکٹر کہتا ہے ہاں، لیکن یہ ثابت نہیں ہوا ہے۔ 2013 میں، ییتانگ زنگ کا بریک تھرو کیا کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ ہے کہ
پریم فیکٹریشن
عدد پریم فیکٹریشن فیکٹر ٹری بریک ڈاؤن 12 2² × 3 12 → 4×3 → 2×2×3 60 2² × 3 × 5 60 → 4×15 → 2²×3×5 100 2² × 5² 100 → 4×25 → 2²×5² 360 2³ × 3² × 5 360 → 8×45 → 2³×3²×5 1,024 2¹⁰ تمام پریم فیکٹرز 2 ہیں 2,310 2 × 3 × 5 × 7 × 11 پہلے 5 پریم فیکٹرز کا پیداوار کیوں پریمز پر زور دیا جاتا ہے: ریاضی اور ٹیکنالوجی میں اپلیکیشنز
خاص قسم کے پریم
قسم تعریف مثال ٹوئن پریم پریم جو 2 سے مختلف ہوتے ہیں (3,5)، (11,13)، (17,19)، (41,43) مرسن پریم پریم نمبر 2ⁿ − 1 3، 7، 31، 127، 8،191 فرما پریم پریم نمبر 2^(2ⁿ) + 1 3، 5، 17، 257، 65،537 سوفی جرمن پریم p اور 2p+1 دونوں پریم ہیں 2، 3، 5، 11، 23، 29 پالنڈرمک پریم پریم جو اگلی طرف سے پیچھے کی طرف پڑھا جا سکتا ہے 11، 101، 131، 151، 181 ساف پریم (p−1)/2 بھی پریم ہو 5، 7، 11، 23، 47، 59 نمبروں کی تقسیم
N حقیقی π(N) تقریباً N/ln(N) گنجائش 100 25 21.7 1 فی 4 1,000 168 144.8 1 فی 6 10,000 1,229 1,085.7 1 فی 8 100,000 9,592 8,685.9 1 فی 10 1,000,000 78,498 72,382.4 1 فی 13 1,000,000,000 50,847,534 48,254,942 1 فی 20 معملی پوچھے
1 ایک پرائم نمبر ہے؟
سب سے بڑا جانا جانے والا پرائم نمبر کیا ہے؟
پرائم نمبروں میں پتے ہیں؟
2 ایک پرائم نمبر ہے؟
پرائم کی استعمال کیسے ہوتا ہے؟
پرائم نمبر کی جانچ کرنے کا تیز ترین طریقہ کیا ہے؟
پرائم گپ کیا ہے؟
100 کے پرائم فیکٹرز کیا ہیں؟
گولڈباخ کا نظریہ کیا ہے؟
پرائم نمبر کی تعداد کتنی ہے؟
عدد کی نظریہ میں اہم اور حل نہ ہونے والے مسائل