Midpoint Calculator
Find the midpoint between two points in 2D space. Enter coordinates (x₁,y₁) and (x₂,y₂). Use this free math calculator for instant results. No signup.
จุดกึ่งกลางของส่วนสายตรงคืออะไร?
จุดกึ่งกลางของส่วนสายตรงคือจุดที่อยู่ระหว่างจุดปลายทางทั้งสองจุดอย่างแม่นยำ มันแบ่งส่วนสายตรงออกเป็นสองส่วนเท่า ๆ กัน โดยมีความยาวเท่ากัน จุดกึ่งกลางมีระยะทางเท่ากันจากจุดปลายทางทั้งสองจุดตามเส้นตรงที่เชื่อมระหว่างพวกเขา
สูตรจุดกึ่งกลางสำหรับจุดสองจุด (x₁, y₁) และ (x₂, y₂) ในระนาบพิกัด 2D คือ:
M = ((x₁ + x₂) / 2, (y₁ + y₂) / 2)
สูตรนี้คือค่าเฉลี่ยของพิกัด x และค่าเฉลี่ยของพิกัด y ของจุดปลายทางทั้งสองจุด มันขยายไปยัง 3D ได้โดยธรรมชาติ:
M₃D = ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2, (z₁+z₂)/2)
และไปยังมิติ n: พิกัดแต่ละจุดกึ่งกลางคือค่าเฉลี่ยของพิกัดที่สอดคล้องกันของจุดปลายทางทั้งสองจุด
ตัวอย่าง: หาจุดกึ่งกลางของส่วนที่เชื่อมต่อ A(2, 4) และ B(8, 10):
- Mx = (2 + 8) / 2 = 10 / 2 = 5
- My = (4 + 10) / 2 = 14 / 2 = 7
- จุดกึ่งกลาง M = (5, 7)
สูตรจุดกึ่งกลาง: ตัวอย่างที่ทำงาน
แบบฝึกหัดฝึกทำปัญหาที่ครอบคลุมสถานการณ์ต่าง ๆ — พิกัดบวก ลบ และเศษส่วน
| จุด A (x₁, y₁) | จุด B (x₂, y₂) | จุดกึ่งกลาง M | การตรวจสอบ |
|---|---|---|---|
| (0, 0) | (6, 8) | (3, 4) | ระยะทาง A→M = ระยะทาง M→B ✓ |
| (−3, 5) | (7, −1) | (2, 2) | ((−3+7)/2, (5−1)/2) = (2,2) ✓ |
| (1, 1) | (1, 9) | (1, 5) | ส่วนสายตรงแนวตั้ง; พิกัด x ไม่เปลี่ยนแปลง ✓ |
| (2, 3) | (8, 3) | (5, 3) | ส่วนสายตรงแนวนอน; พิกัด y ไม่เปลี่ยนแปลง ✓ |
| (−5, −4) | (3, 6) | (−1, 1) | พิกัดทั้งสองอยู่ในจตุรัสตรงข้าม ✓ |
| (1.5, 2.5) | (4.5, 6.5) | (3, 4.5) | พิกัดเศษส่วน OK ✓ |
ข้อสังเกตสำคัญ:
- สำหรับส่วนสายตรงแนวตั้ง (x เท่ากัน) จุดกึ่งกลางมีพิกัด x เท่ากัน
- สำหรับส่วนสายตรงแนวนอน (y เท่ากัน) จุดกึ่งกลางมีพิกัด y เท่ากัน
- สูตรจุดกึ่งกลางใช้ได้กับจำนวนจริงใด ๆ — บวก ลบ ศูนย์ หรือทศนิยม
- จุดกึ่งกลางอยู่ระหว่างจุดปลายทางทั้งสองจุดเสมอ (กล่าวคือ มันอยู่บนส่วนสายตรง)
การหาจุดปลายทางที่หายไปโดยใช้จุดกึ่งกลาง
หากคุณรู้จุดกึ่งกลาง M และจุดปลายทาง A คุณสามารถหาจุดปลายทาง B อีกจุดหนึ่งโดยการย้อนกลับสูตรจุดกึ่งกลาง:
B = (2·Mx − x₁, 2·My − y₁)
นี่มาจากการแก้สมการจุดกึ่งกลาง: (x₁ + x₂)/2 = Mx → x₂ = 2Mx − x₁
| จุดปลายทาง A ที่ทราบ | จุดกึ่งกลาง M ที่ทราบ | จุดปลายทาง B ที่หายไป | ตรวจสอบ |
|---|---|---|---|
| (2, 4) | (5, 7) | (2×5−2, 2×7−4) = (8, 10) | M(2,4)to(8,10) = (5,7) ✓ |
| (0, 0) | (3, 4) | (6, 8) | M(0,0)to(6,8) = (3,4) ✓ |
| (−1, 3) | (2, 1) | (5, −1) | M(−1,3)to(5,−1) = (2,1) ✓ |
| (7, −2) | (4, 3) | (1, 8) | M(7,−2)to(1,8) = (4,3) ✓ |
เทคนิคนี้มีประโยชน์ในเรขาคณิตเมื่อคุณต้องการหาจุดสะท้อน สร้างเส้นตั้งฉากที่ตัดกลาง หรือหาจุดที่สร้างจุดกึ่งกลางของส่วนสายตรงที่เฉพาะเจาะจง
สูตรระยะทางและความสัมพันธ์กับจุดกึ่งกลาง
จุดกึ่งกลางและสูตรระยะทางมีความสัมพันธ์อย่างใกล้ชิด — ทั้งสองสูตรมาจากทฤษฎีบทพีทาโกรัสที่ใช้กับเรขาคณิตพิกัด สูตรระยะทางให้ความยาวของส่วนสายตรงระหว่างจุดสองจุด:
d = √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²]
จุดกึ่งกลางแบ่งระยะทางนี้ออกเป็นสองส่วนเท่า ๆ กัน ดังนั้นระยะทางจากจุดปลายทางใด ๆ ไปยังจุดกึ่งกลางคือ d/2
| ส่วนสายตรง | จุดกึ่งกลาง M | ระยะทางทั้งหมด d | ครึ่งระยะทาง d/2 |
|---|---|---|---|
| A(0,0) ถึง B(6,8) | (3, 4) | √(36+64) = 10 | 5 |
| A(1,1) ถึง B(4,5) | (2.5, 3) | √(9+16) = 5 | 2.5 |
| A(−2,3) ถึง B(6,−3) | (2, 0) | √(64+36) = 10 | 5 |
| A(0,0) ถึง B(3,4) | (1.5, 2) | √(9+16) = 5 | 2.5 |
ตรวจสอบการคำนวณจุดกึ่งกลาง: คำนวณ d(A, M) และ d(M, B) — พวกเขาควรเท่ากันและแต่ละค่าเท่ากับ d(A, B)/2 นี่เป็นวิธีที่เชื่อถือได้ในการตรวจสอบการคำนวณจุดกึ่งกลางของคุณ
เส้นตั้งฉากที่ตัดกลาง: การประยุกต์ใช้ที่สำคัญ
เส้นตั้งฉากที่ตัดกลางของส่วนสายตรงผ่านจุดกึ่งกลางและตั้งฉาก (ที่ 90°) กับส่วนสายตรง มันเป็นหนึ่งในการสร้างที่สำคัญที่สุดในเรขาคณิตยุคลิด
เพื่อหาเส้นตั้งฉากที่ตัดกลางของส่วนสายตรง AB:
- หาจุดกึ่งกลาง M = ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2)
- หาความลาดชันของ AB: m = (y₂−y₁) / (x₂−x₁)
- เส้นตั้งฉากที่ตัดกลางมีความลาดชัน: m⊥ = −1/m (ตัวกลับลบ)
- เขียนสมการผ่าน M ที่มีความลาดชัน m⊥: y − My = m⊥(x − Mx)
ตัวอย่าง: หาเส้นตั้งฉากที่ตัดกลางของ A(2, 1) และ B(6, 5):
- M = (4, 3)
- ความลาดชันของ AB: (5−1)/(6−2) = 4/4 = 1
- ความลาดชันตั้งฉาก: −1/1 = −1
- สมการ: y − 3 = −1(x − 4) → y = −x + 7
คุณสมบัติของเส้นตั้งฉากที่ตัดกลาง:
- จุดทุกจุดบนเส้นตั้งฉากที่ตัดกลางมีระยะทางเท่ากันจากจุดปลายทาง A และ B
- จุดศูนย์กลางของวงกลมล้อมรอบสามเหลี่ยม (ศูนย์กลางของวงกลมล้อมรอบ) พบได้โดยการตัดกันของเส้นตั้งฉากที่ตัดกลางของด้านทั้งสามด้าน
- เส้นตั้งฉากที่ตัดกลางแบ่งระนาบออกเป็นสองส่วนครึ่ง ส่วนหนึ่งใกล้กับ A และอีกส่วนหนึ่งใกล้กับ B — รากฐานของแผนภาพ Voronoi
ทฤษฎีบทจุดกึ่งกลางในเรขาคณิตรูปสามเหลี่ยม
ทฤษฎีบทจุดกึ่งกลาง (หรือเรียกว่าทฤษฎีบทส่วนกลางของรูปสามเหลี่ยม) กล่าวว่า: ส่วนที่เชื่อมจุดกึ่งกลางของสองด้านของรูปสามเหลี่ยมจะขนานกับด้านที่สามและมีความยาวเท่ากับครึ่งหนึ่งของด้านนั้น
ถ้า M เป็นจุดกึ่งกลางของ AB และ N เป็นจุดกึ่งกลางของ AC ในรูปสามเหลี่ยม ABC แล้ว:
- MN ∥ BC (MN ขนานกับ BC)
- MN = BC / 2 (MN มีความยาวเท่ากับครึ่งหนึ่งของ BC)
ทฤษฎีบทนี้มีการใช้งานที่สำคัญใน:
- การพิสูจน์พิกัด: การพิสูจน์รูปสี่เหลี่ยมขนมปัง รูปขอบขนมเพชร และรูปสี่เหลี่ยมพิเศษอื่น ๆ โดยใช้พิกัดจุดกึ่งกลาง
- คุณสมบัติของส่วนกลาง: ส่วนกลางทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมจะก่อตัวเป็น "รูปสามเหลี่ยมกลาง" ซึ่งมีลักษณะคล้ายกับรูปเดิมในอัตราส่วน 1:2
- จุดศูนย์กลางมวล: จุดศูนย์กลางมวล (จุดตัดของส่วนกลาง) แบ่งส่วนกลางแต่ละส่วนในอัตราส่วน 2:1 จากจุดยอดไปยังจุดกึ่งกลางของด้านตรงข้าม
| จุดยอดของรูปสามเหลี่ยม | จุดกึ่งกลางของด้าน | ความยาวของส่วนกลาง |
|---|---|---|
| A(0,0), B(6,0), C(3,6) | M_AB=(3,0), M_AC=(1.5,3), M_BC=(4.5,3) | M_AC ถึง M_BC = 3 = AB/2 = 6/2 ✓ |
| A(0,0), B(8,0), C(4,6) | M_AB=(4,0), M_BC=(6,3), M_AC=(2,3) | M_BC ถึง M_AC = 4 = AB/2 ✓ |
การใช้งานจุดกึ่งกลางในโลกจริง
สูตรจุดกึ่งกลางปรากฏในการใช้งานที่หลากหลายนอกเหนือจากคณิตศาสตร์บริสุทธิ์:
- GPS และการนำทาง: การหาจุดกึ่งกลางทางภูมิศาสตร์ระหว่างสองสถานที่ (เช่น จุดกึ่งกลางระหว่างสองเมืองสำหรับสถานที่ประชุม) ใช้การค่าเฉลี่ยจุดกึ่งกลางของพิกัดละติจูด/ลองจิจูด ในระดับเล็ก ๆ นี้เทียบเท่ากับสูตรจุดกึ่งกลาง 2D
- กราฟิกส์คอมพิวเตอร์: การคำนวณจุดกึ่งกลางเป็นพื้นฐานสำหรับอัลกอริธึมการแสดงผล อัลกอริธึมวงกลมจุดกึ่งกลาง (อัลกอริธึม Bresenham) ใช้จุดกึ่งกลางเพื่อกำหนดว่าจะส่องแสงไปยังพิกเซลใดเพื่อให้ได้วงกลมที่ราบรื่น การแบ่งส่วนเส้นโค้ง Bezier ยังพึ่งพาจุดกึ่งกลางในแต่ละระดับของการเรียกซ้ำ
- งานก่อสร้างและงานไม้: การหาจุดกึ่งกลางของห้อง การหาจุดกึ่งกลางของผนังสำหรับภาพที่ตั้งอยู่ตรงกลาง หรือการหาจุดกึ่งกลางของคาน ล้วนใช้การคำนวณจุดกึ่งกลาง
- การวิเคราะห์กีฬา: การติดตามจุดกึ่งกลางของช่วงการเคลื่อนไหวของผู้เล่น การคำนวณจุดศูนย์กลางมวลของรูปแบบการเคลื่อนไหวของลูก หรือการหาจุดกึ่งกลางทางเรขาคณิตของรูปขบวนการป้องกัน
- การถ่ายภาพทางการแพทย์: ในการรังสีวิทยา การหาจุดกึ่งกลางของเนื้องอกหรือการคำนวณจุดกึ่งกลางของการวัดบนเอกซเรย์หรือ MRI ใช้เรขาคณิตพิกัดและสูตรจุดกึ่งกลาง
- ฟิสิกส์: จุดศูนย์กลางมวลของวัตถุที่มีมวลเท่ากันสองวัตถุจะอยู่ที่จุดกึ่งกลางทางเรขาคณิตของพวกเขา สำหรับมวลที่ไม่เท่ากัน สูตรจะทั่วไปไปยังค่าเฉลี่ยตามน้ำหนักของตำแหน่ง
จุดกึ่งกลางในพื้นที่ 3D
การขยายแนวคิดจุดกึ่งกลางไปยังมิติสามมิติเป็นเรื่องง่าย: เพิ่มพิกัด z และหาค่าเฉลี่ยด้วยวิธีเดียวกัน
สูตร: M₃D = ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2, (z₁+z₂)/2)
| จุด A (x,y,z) | จุด B (x,y,z) | จุดกึ่งกลาง M |
|---|---|---|
| (1, 2, 3) | (5, 8, 11) | (3, 5, 7) |
| (0, 0, 0) | (4, 6, 8) | (2, 3, 4) |
| (−2, 4, −6) | (8, −2, 10) | (3, 1, 2) |
| (1, 1, 1) | (7, 5, 9) | (4, 3, 5) |
จุดกึ่งกลาง 3D ปรากฏในการออกแบบช่วยด้วยคอมพิวเตอร์ (CAD) การสร้างและแอนิเมชั่น 3D วิศวกรรมโครงสร้าง และการใช้งานใด ๆ ที่เกี่ยวข้องกับเรขาคณิตพิกัด 3D หลักการหาค่าเฉลี่ยเดียวกันนี้สามารถขยายไปยังจำนวนมิติใด ๆ
คำถามที่พบบ่อย
ฉันจะหาจุดปลายทางที่หายไปได้อย่างไร ถ้าฉันรู้จุดกึ่งกลาง?
ถ้าจุดกึ่งกลาง M = (Mx, My) และจุดปลายทางหนึ่ง A = (x₁, y₁) ให้แก้หา B: x₂ = 2×Mx − x₁ และ y₂ = 2×My − y₁ ตัวอย่าง: M = (5, 7) และ A = (2, 4): x₂ = 2×5−2 = 8; y₂ = 2×7−4 = 10 ดังนั้น B = (8, 10) ตรวจสอบ: จุดกึ่งกลางของ (2,4) ถึง (8,10) = ((2+8)/2, (4+10)/2) = (5, 7) ✓
จุดกึ่งกลางจะอยู่ภายในส่วนตัดเสมอหรือไม่?
ใช่ ตามคำจำกัดความ จุดกึ่งกลางอยู่ระหว่างจุดปลายทางทั้งสองที่ระยะทาง d/2 จากแต่ละจุด โดย d คือความยาวทั้งหมดของส่วนตัด มันจะอยู่บนส่วนตัดเส้นเสมอ ไม่ใช่แค่อยู่บนเส้นที่ผ่านจุดปลายทาง คุณไม่สามารถมีจุดกึ่งกลางอยู่นอกส่วนตัดได้ — นั่นจะละเมิดคำจำกัดความของ "กลาง"
คุณสามารถหาจุดกึ่งกลางของจุดมากกว่าสองจุดได้หรือไม่?
สูตรจุดกึ่งกลางใช้กับจุดสองจุดเท่านั้น สำหรับสามจุดหรือมากกว่า คุณคำนวณจุดศูนย์กลาง: หาค่าเฉลี่ยของพิกัด x และพิกัด y แยกกัน สำหรับ n จุด: จุดศูนย์กลาง = (Σxᵢ/n, Σyᵢ/n) จุดศูนย์กลางของจุดยอดของรูปสามเหลี่ยมเท่ากับจุดตัดของเส้นกลางทั้งสามเส้น และยังเป็นจุดศูนย์กลางมวลด้วย ถ้าจุดยอดแต่ละจุดมีน้ำหนักเท่ากัน
สูตรจุดกึ่งกลางใน 3D คืออะไร?
M₃D = ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2, (z₁+z₂)/2) เพียงแค่หาค่าเฉลี่ยของคู่พิกัดแต่ละคู่ ตัวอย่าง: จุดกึ่งกลางของ A(1,2,3) และ B(7,8,9): M = ((1+7)/2, (2+8)/2, (3+9)/2) = (4, 5, 6) หลักการหาค่าเฉลี่ยเดียวกันนี้ขยายไปยังมิติใด ๆ — ในพื้นที่ n มิติ คู่พิกัดแต่ละคู่ของ n จะถูกหาค่าเฉลี่ยอย่างอิสระ
จุดกึ่งกลางสัมพันธ์กับเส้นกลางของรูปสามเหลี่ยมอย่างไร?
เส้นกลางของรูปสามเหลี่ยมเชื่อมต่อจุดยอดไปยังจุดกึ่งกลางของด้านตรงข้าม รูปสามเหลี่ยมแต่ละรูปมีเส้นกลางสามเส้น สูตรจุดกึ่งกลางช่วยให้คุณคำนวณได้ว่าเส้นกลางแต่ละเส้นวาดขึ้นที่ไหน เส้นกลางทั้งสามเส้นตัดกันที่จุดศูนย์กลาง G ของรูปสามเหลี่ยม ซึ่งอยู่ห่างจากจุดยอดแต่ละจุดไปยังจุดกึ่งกลางตรงข้าม 2/3 ของระยะทาง: G = ((x₁+x₂+x₃)/3, (y₁+y₂+y₃)/3)
ทำไมสูตรจุดกึ่งกลางจึงเป็นเพียงค่าเฉลี่ย?
การหาค่าเฉลี่ยของพิกัดนั้นถูกต้อง เพราะเรากำลังหาจุดที่อยู่กึ่งกลางของแต่ละแกนอย่างอิสระ บนแกน x จุดกึ่งกลางระหว่าง x₁ และ x₂ คือ (x₁+x₂)/2 — ค่าเฉลี่ยของค่า x ทั้งสอง เช่นเดียวกับ y เนื่องจากระบบพิกัดคาร์ทีเซียนมีแกนที่ตั้งฉาก (ฉาก) แกนเหล่านี้สามารถคำนวณได้อย่างอิสระ ทำให้ได้จุดกึ่งกลางเป็นคู่ของค่าเฉลี่ย
เส้นฉากกลางของส่วนตัดคืออะไร?
เส้นฉากกลางของส่วนตัดผ่านจุดกึ่งกลางและฉาก (90°) กับส่วนตัด จุดทุกจุดบนเส้นฉากกลางมีระยะทางเท่ากันจากจุดปลายทางทั้งสอง วิธีหา: (1) คำนวณจุดกึ่งกลาง M (2) หาความลาดชันของส่วนตัดเดิม (3) ใช้ค่าตรงกันข้ามลบสำหรับความลาดชันที่ฉาก (4) เขียนสมการเส้นผ่าน M ด้วยความลาดชันใหม่นี้
อะไรคือความแตกต่างระหว่างจุดกึ่งกลางและเส้นฉากกลาง?
จุดกึ่งกลางเป็นจุดเฉพาะ — จุดเดียวที่อยู่กึ่งกลางของส่วนตัด เส้นฉากกลางเป็นเส้น รังสี หรือส่วนตัดที่ผ่านจุดกึ่งกลางและแบ่งส่วนตัดเป็นสองส่วนเท่ากัน เส้นฉากกลางของมุมแบ่งมุมเป็นสองมุมเท่ากัน เส้นฉากกลางของส่วนตัดเป็นเส้นที่ผ่านจุดกึ่งกลางของส่วนตัดด้วยมุมฉาก
ฉันจะหาจุดกึ่งกลางบนเส้นตัวเลขได้อย่างไร?
บนเส้นตัวเลข (1D) จุดกึ่งกลางของจุด a และ b คือ (a+b)/2 ตัวอย่าง: จุดกึ่งกลางของ 3 และ 9 = (3+9)/2 = 6 จุดกึ่งกลางของ −4 และ 8 = (−4+8)/2 = 4/2 = 2 นี่เหมือนกับค่าเฉลี่ยของจำนวนสองจำนวน — สูตรจุดกึ่งกลางใน 2D หรือ 3D เป็นเพียงการขยายค่าเฉลี่ยนี้ไปยังพิกัดแต่ละพิกัดอย่างอิสระ
จุดกึ่งกลางสามารถมีพิกัดที่ไม่ใช่จำนวนเต็มได้หรือไม่?
ใช่ — จุดกึ่งกลางมักมีพิกัดที่เป็นเศษส่วนหรือทศนิยมแม้ว่าจุดปลายทางจะมีพิกัดเป็นจำนวนเต็มก็ตาม ตัวอย่าง: จุดกึ่งกลางของ (1, 2) และ (4, 3) = (2.5, 2.5) นี่ถูกต้องทางเรขาคณิตและถูกต้อง ในบางสถานการณ์ (เช่น การทำงานกับกริดหรือละติซ) คุณอาจต้องทำงานกับจุดกึ่งกลางที่เป็นเศษส่วน; ในบางสถานการณ์อื่น (พิกัดพิกเซล) คุณปัดเป็นจำนวนเต็มที่ใกล้ที่สุด
จุดกึ่งกลางในการวิเคราะห์ข้อมูลและสถิติ
นอกเหนือจากเรขาคณิตพิกัด แนวคิดจุดกึ่งกลางปรากฏในสถิติและการวิเคราะห์ข้อมูลในหลายวิธีที่สำคัญ:
- จุดกึ่งกลางของชั้นสำหรับข้อมูลความถี่ที่จัดกลุ่ม: เมื่อข้อมูลถูกจัดเรียงเป็นช่วงชั้น (เช่น กลุ่มอายุ 20–30, 30–40) จุดกึ่งกลางของแต่ละช่วงจะถูกใช้เพื่อแทนค่าทั้งหมดในชั้นนั้นสำหรับการคำนวณค่าเฉลี่ยโดยประมาณ สำหรับชั้น 20–30 จุดกึ่งกลางคือ 25
- การแทรกระหว่าง: การแทรกระหว่างเชิงเส้นหาค่าที่จุดระหว่างจุดข้อมูลที่ทราบสองจุดโดยใช้แนวคิดจุดกึ่งกลางขยายไปยังส่วนใดส่วนหนึ่งของระยะทางระหว่างพวกเขา
- การค้นหาแบบไบนารี: อัลกอริธึมการค้นหาแบบไบนารีคลาสสิกค้นหาจุดกึ่งกลางของอาร์เรย์ที่เรียงลำดับเพื่อกำหนดว่าครึ่งใดมีค่าเป้าหมาย — การใช้สูตรจุดกึ่งกลางกับข้อมูลแบบไม่ต่อเนื่องโดยตรง
- วิธีการแบ่งครึ่ง: อัลกอริธึมการหาจุดศูนย์ในการวิเคราะห์เชิงตัวเลขที่แบ่งช่วงและเลือกจุดกึ่งกลางซ้ำๆ เข้าหาจุดศูนย์ของฟังก์ชัน แต่ละรอบจะลดข้อผิดพลาดลงครึ่งหนึ่ง
ตัวอย่างวิธีการแบ่งครึ่ง: เพื่อหาจุดที่ f(x) = x² − 2 ตัดกับศูนย์ (กล่าวคือ √2):
- เริ่มต้นด้วยช่วง [1, 2]; จุดกึ่งกลาง = 1.5; f(1.5) = 0.25 > 0 ดังนั้นจุดศูนย์อยู่ใน [1, 1.5]
- จุดกึ่งกลาง = 1.25; f(1.25) = −0.4375 < 0 ดังนั้นจุดศูนย์อยู่ใน [1.25, 1.5]
- จุดกึ่งกลาง = 1.375; f(1.375) ≈ −0.109 < 0 ดังนั้นจุดศูนย์อยู่ใน [1.375, 1.5]
- ดำเนินต่อไป: เข้าหา √2 ≈ 1.41421 โดยที่จุดกึ่งกลางแต่ละจุดลดข้อผิดพลาดลงครึ่งหนึ่ง
อัลกอริธึมที่สวยงามนี้ต้องการเพียงสูตรจุดกึ่งกลางซ้ำๆ มันรับประกันว่าจะเข้าหาและเป็นหนึ่งในวิธีการทางตัวเลขที่แข็งแกร่งที่สุดในการคำนวณ
จุดกึ่งกลางบนแผนที่: จุดกึ่งกลางทางภูมิศาสตร์
การหาจุดกึ่งกลางทางภูมิศาสตร์ระหว่างสองสถานที่ใช้สูตรจุดกึ่งกลางที่ซับซ้อนกว่าซึ่งคำนึงถึงความโค้งของโลก สำหรับระยะทางสั้น (น้อยกว่าหลายร้อยกิโลเมตร) การหาค่าเฉลี่ยของพิกัดละติจูดและลองจิจูดง่ายๆ ใช้ได้ดี สำหรับระยะทางไกลทั่วโลก คุณต้องใช้สูตรจุดกึ่งกลางทรงกลมซึ่งคำนึงถึงความจริงที่ว่าเส้นลองจิจูดบรรจบเข้าหาขั้วโลก
การประมาณง่ายๆ (ใช้ได้สำหรับระยะทางน้อยกว่า 500 กม.):
- ละติจูดจุดกึ่งกลาง = (Lat₁ + Lat₂) / 2
- ลองจิจูดจุดกึ่งกลาง = (Lon₁ + Lon₂) / 2
ตัวอย่าง: จุดกึ่งกลางระหว่างมาดริด (40.42°N, 3.70°W) และบาร์เซโลนา (41.38°N, 2.18°E):
- ละติจูดกึ่งกลาง = (40.42 + 41.38) / 2 = 40.90°N
- ลองจิจูดกึ่งกลาง = (−3.70 + 2.18) / 2 = −0.76°W
- ผลลัพธ์: ใกล้กับซาราโกซา สเปน — ซึ่งอยู่ประมาณกึ่งกลางระหว่างสองเมือง
จุดกึ่งกลางทางภูมิศาสตร์ถูกใช้ในโลจิสติกส์ (หาสถานที่เก็บสินค้าที่เหมาะสมระหว่างศูนย์ลูกค้าสองแห่ง) การวางแผนการประชุม (หาจุดกึ่งกลางที่เป็นธรรมระหว่างสำนักงานของสองฝ่าย) และระบบสารสนเทศภูมิศาสตร์ (GIS) สำหรับการคำนวณจุดศูนย์กลางของพื้นที่บริการ เครื่องคิดเลขจุดกึ่งกลางทางภูมิศาสตร์ในโลกแห่งความจริงต้องคำนึงถึงความแตกต่างของเขตเวลา ระยะทางขับรถกับระยะทางเส้นตรง และภูมิประเทศด้วย แต่พื้นฐานทางคณิตศาสตร์คือหลักการหาค่าเฉลี่ยเดียวกัน
| เมือง A | เมือง B | จุดกึ่งกลางโดยประมาณ | เมืองจุดกึ่งกลาง |
|---|---|---|---|
| นิวยอร์ก (40.7°N, 74.0°W) | ลอสแองเจลิส (34.1°N, 118.2°W) | (37.4°N, 96.1°W) | ใกล้ดอดจ์ซิตี้ แคนซัส |
| ลอนดอน (51.5°N, 0.1°W) | ปารีส (48.9°N, 2.4°E) | (50.2°N, 1.1°E) | ใกล้อามีย็อง ฝรั่งเศส |
| โตเกียว (35.7°N, 139.7°E) | ซิดนีย์ (33.9°S, 151.2°E) | (0.9°N, 145.5°E) | มหาสมุทรแปซิฟิก |
สำหรับการวางแผนการเดินทาง: การหาจุดกึ่งกลางทางภูมิศาสตร์ระหว่างสองเมืองช่วยระบุสถานที่ประชุมที่อยู่ห่างเท่ากัน หากเพื่อนร่วมงานสองคนเดินทางมาจากนิวยอร์กและชิคาโก จุดกึ่งกลาง (ประมาณใกล้คลีฟแลนด์ โอไฮโอ ที่ 41.5°N, 81.7°W) แนะนำให้พบกันในภาคเหนือของโอไฮโอ เพนซิลเวเนีย หรือใกล้คลีฟแลนด์ — เวลาเดินทางโดยรถยนต์หรือเครื่องบินจากจุดเริ่มต้นทั้งสองแห่งเท่ากันโดยประมาณ โปรดทราบว่าจุดกึ่งกลางทางภูมิศาสตร์และจุดกึ่งกลางการเดินทางเป็นแนวคิดที่แตกต่างกัน: จุดกึ่งกลางทางภูมิศาสตร์ลดระยะทางเส้นตรงรวมให้น้อยที่สุด ในขณะที่จุดกึ่งกลางการเดินทางที่เหมาะสมลดเวลาเดินทางรวมให้น้อยที่สุด (ซึ่งขึ้นอยู่กับถนน การจราจร และวิธีการขนส่ง) สำหรับวัตถุประสงค์ในการวางแผน คำนวณทั้งสองและเลือกตามความสำคัญของคุณ สูตรจุดกึ่งกลางพิกัดของเราจัดการกับเวอร์ชันทางภูมิศาสตร์ได้อย่างสมบูรณ์แบบ; จุดกึ่งกลางเวลาเดินทางต้องใช้ API การกำหนดเส้นทางเช่น Google Maps หรือ OpenStreetMap สูตรจุดกึ่งกลาง 2D พื้นฐานของเราจัดการกับเรื่องนี้ได้ดีสำหรับเมืองในเขตเวลาเดียวกันและอยู่ห่างกันไม่กี่ร้อยกิโลเมตร