Kalkulator Odległości (Dwa Punkty)
Oblicz odległość między dwoma punktami za pomocą wzoru √((x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²).
Czym jest wzór na odległość?
Odległość między dwoma punktami na płaszczyźnie 2D oblicza się za pomocą wzoru na odległość: d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²). Wzór ten jest bezpośrednim zastosowaniem twierdzenia Pitagorasa — pozioma i pionowa odległość między dwoma punktami tworzą przyprostokątne trójkąta prostokątnego, a odległość jest przeciwprostokątną.
Aby znaleźć odległość między punktami (x₁, y₁) i (x₂, y₂), oblicz różnicę w współrzędnych x (Δx = x₂ − x₁) i różnicę w współrzędnych y (Δy = y₂ − y₁). Podnieś obie różnice do kwadratu, dodaj je i wyciągnij pierwiastek kwadratowy. Podnoszenie do kwadratu zapewnia, że ujemne różnice dają wartości dodatnie — odległość jest zawsze nieujemna.
Formuła działa w dowolnym kierunku: poziome odcinki (y₁ = y₂) dają d = |x₂ − x₁|; pionowe odcinki (x₁ = x₂) dają d = |y₂ − y₁|; ukośne wymagają pełnego wzoru. Dla dwóch identycznych punktów d = 0.
Nazwana na cześć René Descartesa, to odległość euklidesowa w kartezjańskim układzie współrzędnych — odległość „w linii prostej", w przeciwieństwie do odległości Manhattan (|Δx| + |Δy|).
Przykłady krok po kroku
Przykład 1 — trójka pitagorejska: Znajdź odległość od (1, 2) do (4, 6).
- Δx = 4 − 1 = 3
- Δy = 6 − 2 = 4
- d = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5
Przykład 2 — wynik niewymierny: Znajdź odległość od (0, 0) do (3, 7).
- Δx = 3, Δy = 7
- d = √(9 + 49) = √58 ≈ 7,6158
Przykład 3 — ujemne współrzędne: Znajdź odległość od (−3, −4) do (2, 8).
- Δx = 2 − (−3) = 5
- Δy = 8 − (−4) = 12
- d = √(25 + 144) = √169 = 13
| Punkt A | Punkt B | Δx | Δy | Odległość |
|---|---|---|---|---|
| (0, 0) | (3, 4) | 3 | 4 | 5 (dokładnie) |
| (1, 1) | (4, 5) | 3 | 4 | 5 (dokładnie) |
| (0, 0) | (5, 12) | 5 | 12 | 13 (dokładnie) |
| (−2, 3) | (4, −5) | 6 | −8 | 10 (dokładnie) |
| (1, 2) | (3, 7) | 2 | 5 | √29 ≈ 5,385 |
Wyprowadzenie wzoru z twierdzenia Pitagorasa
Wzór na odległość nie jest osobnym prawem matematycznym — jest bezpośrednią konsekwencją twierdzenia Pitagorasa (a² + b² = c²), rozszerzonego na geometrię współrzędnych przez Descartesa w XVII wieku.
Dane są dwa punkty P₁(x₁, y₁) i P₂(x₂, y₂) na płaszczyźnie. Skonstruuj trójkąt prostokątny, rysując poziomą linię od P₁ i pionową linię od P₂, które spotykają się w punkcie P₃(x₂, y₁). Pozioma przyprostokątna ma długość |x₂ − x₁|, a pionowa |y₂ − y₁|. Na mocy twierdzenia Pitagorasa: d² = (x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)².
Znaki absolutne są zbędne, ponieważ podnosimy do kwadratu — ujemne liczby podniesione do kwadratu są dodatnie. Dlatego (x₂ − x₁)² = (x₁ − x₂)², co potwierdza symetryczność odległości: d(P₁, P₂) = d(P₂, P₁).
Rozszerzenia: odległość 3D i wzór na punkt środkowy
Wzór 2D rozszerza się naturalnie na trzy wymiary. Dla punktów (x₁, y₁, z₁) i (x₂, y₂, z₂) w przestrzeni 3D: d = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)² + (z₂−z₁)²).
Punkt środkowy odcinka łączącego (x₁, y₁) i (x₂, y₂): M = ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2). Punkt środkowy to po prostu średnia każdej współrzędnej.
W uczeniu maszynowym i nauce o danych punkty danych są reprezentowane jako wektory w wielowymiarowej przestrzeni. Wzór na odległość euklidesową uogólnia się: d = √(Σᵢ(xᵢ₂−xᵢ₁)²). Leży to u podstaw algorytmu k-najbliższych sąsiadów, k-średnich i wielu algorytmów redukcji wymiarowości.