A sequência de Fibonacci é definida por: F(1) = 1, F(2) = 1, F(n) = F(n-1) + F(n-2) para n > 2. Cada termo é a soma dos dois termos anteriores: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ... Nomeado em homenagem ao matemático italiano Leonardo de Pisa (Fibonacci), que a introduziu na matemática ocidental em seu livro de 1202, Liber Abaci, embora a sequência fosse conhecida na matemática indiana séculos antes.
A proporção de números consecutivos de Fibonacci converge para a proporção áurea φ = (1 + √5)/2 ≈ 1,618. F(n+1)/F(n) → φ como n → ∞. Essa proporção aparece na arte, na arquitetura e na natureza. A expressão de forma fechada (fórmula de Binet) é: F(n) = (φⁿ - ψⁿ)/√5, onde ψ = (1-√5)/2 ≈ -0,618.
Os números de Fibonacci têm propriedades de divisibilidade notáveis: GCD(F(m), F(n)) = F(GCD(m,n)). F(n) é divisível por F(m) sempre que m divide n. O último dígito dos números de Fibonacci se repete com o período 60 (período de Pisano para o módulo 10), útil para encontrar rapidamente F(n) mod 10.
A proporção áurea φ ≈ 1,618 é uma das constantes mais famosas da matemática. Um retângulo é 'dourado' quando seus lados estão na proporção φ:1 – a remoção de um quadrado deixa outro retângulo dourado. Esta auto-semelhança continua infinitamente, criando a espiral dourada. Esta espiral se aproxima da espiral logarítmica encontrada em conchas de náutilos, galáxias e furacões.
Na natureza, os números de Fibonacci aparecem: no número de pétalas em muitas flores (3, 5, 8, 13 pétalas), no arranjo espiral das sementes em girassóis e pinhas, no padrão de ramificação das árvores e no arranjo das folhas (filotaxia) para maximizar a exposição solar. Esses padrões surgem porque os arranjos de Fibonacci minimizam a sobreposição e maximizam a eficiência do empacotamento durante o crescimento.
Na arte e na arquitetura, a proporção áurea aparece no Partenon, na Catedral de Notre-Dame, no Homem Vitruviano de Leonardo da Vinci e em muitas pinturas renascentistas. Se os artistas antigos usaram conscientemente a proporção áurea ou a correspondência de padrões após o fato é debatido entre os historiadores, mas as propriedades matemáticas são objetivamente belas.
O algoritmo recursivo ingênuo de Fibonacci (fib(n) = fib(n-1) + fib(n-2)) é famoso pela complexidade de tempo exponencial O(2ⁿ) — fib(50) requer mais de 10¹² chamadas de função. Isso o torna o exemplo canônico para ensinar memoização e programação dinâmica: armazenar em cache valores previamente calculados para atingir o tempo O(n).
Para números de Fibonacci muito grandes, a exponenciação da matriz atinge o tempo O(log n): [F(n+1), F(n); F(n), F(n-1)] = [1,1;1,0]ⁿ. Isso é útil em problemas competitivos de programação e criptografia que exigem F(10^18) mod p.
Os números de Fibonacci também aparecem em: heaps de Fibonacci (uma fila de prioridade com complexidade amortizada ideal), representação de Zeckendorf (cada número inteiro positivo é exclusivamente uma soma de números de Fibonacci não consecutivos) e pesquisa de Fibonacci (um algoritmo semelhante à pesquisa binária). A sequência de Fibonacci está presente na matemática e nos algoritmos de maneiras surpreendentemente profundas.
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Existem duas convenções comuns. Esta calculadora usa F(1)=1, F(2)=1 (a sequência clássica de Fibonacci). Algumas fontes usam F(0)=0, F(1)=1 (a versão estendida). Com a versão indexada em 0, F(6)=8; com indexação 1, F(6)=8 também - eles diferem apenas na forma como n é contado.
F(50) = 12.586.269.025. A sequência cresce aproximadamente por um fator de φ ≈ 1,618 com cada termo, então os números de Fibonacci crescem exponencialmente.
A filotaxia de Fibonacci (o arranjo de folhas, sementes, pétalas) surge do ângulo áureo (137,5°) entre elementos sucessivos, que é derivado da proporção áurea. Este ângulo minimiza a sobreposição, maximiza o empacotamento e permite o crescimento contínuo – um arranjo evolutivamente ideal.
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