O fatorial de um número inteiro não negativo n, escrito n!, é o produto de todos os números inteiros positivos de 1 a n. Por definição: n! = n × (n-1) × (n-2) × ... × 2 × 1. Caso especial: 0! = 1 (isso é definido, não um cálculo, e é necessário para que as fórmulas combinatórias funcionem de forma consistente).
Os fatores crescem de forma explosivamente rápida - mais rápido que as funções exponenciais. 10! = 3.628.800; 20! ≈ 2,43 × 10¹⁸; 100! ≈ 9,33 × 10¹⁵⁷. O número 170! é aproximadamente 7,26 × 10³⁰⁶, que é o maior fatorial representável como um número de ponto flutuante de 64 bits. Nossa calculadora usa aritmética BigInt para resultados inteiros exatos até 170!.
A definição recursiva de fatorial é: n! = n × (n-1)! para n > 0, com 0! = 1 como o caso base. Essa estrutura recursiva torna o fatorial um exemplo introdutório clássico em ciência da computação para o ensino de recursão, programação dinâmica e memorização.
Fatoriais são essenciais em problemas de contagem. O número de maneiras de organizar n objetos distintos em uma linha é n! (chamadas permutações). Com 4 pessoas na fila: 4! = 24 arranjos diferentes. Isso se aplica a arranjos de assentos, agendamento e qualquer problema de pedido.
Permutações: P(n,r) = n!/(n-r)! — o número de maneiras de escolher r itens de n em uma ordem específica. Combinações: C(n,r) = n!/(r!(n-r)!) — o número de maneiras de escolher r itens de n independentemente da ordem (coeficiente binomial, escrito como nCr ou ⁿCᵣ). Eles aparecem no teorema binomial, no triângulo de Pascal e nos cálculos de probabilidade.
Na probabilidade, o fatorial está subjacente à distribuição de Poisson, à distribuição binomial e à distribuição multinomial. Problema do aniversário: a probabilidade de todas as 23 pessoas terem aniversários diferentes = 365!/(365-23)! / 365²³ ≈ 49,3%, o que significa que há mais de 50% de chance de que pelo menos duas entre 23 pessoas façam aniversário no mesmo dia, um famoso resultado contra-intuitivo.
Para n grande, calcular fatoriais exatos é impraticável (100! tem 158 dígitos). A aproximação de Stirling fornece uma estimativa excelente: n! ≈ √(2πn) × (n/e)ⁿ. Para n = 10: Stirling dá ≈ 3.598.696 vs exatos 3.628.800 – dentro de 1%. A aproximação melhora à medida que n cresce.
O log-fatorial ln(n!) = Σ ln(k) para k=1 a n é frequentemente mais útil em computação do que o próprio fatorial, porque evita overflow. No aprendizado de máquina, probabilidades logarítmicas são usadas em vez de probabilidades para estabilidade numérica. A função log-gama Γ(n+1) = n! para inteiros estende fatorial a números reais e complexos.
O teorema de Wilson conecta fatoriais a primos: p é primo se e somente se (p-1)! ≡ -1 (mod p). Isso fornece um teste teórico de primalidade, embora seja computacionalmente impraticável para grandes números. A conexão entre fatoriais e números primos é profunda na teoria dos números.
Calculate the factorial of any non-negative integer. n! = n × (n-1) × … × 2 × 1. Insira seus valores acima e clique em Calcular para obter resultados instantâneos. Todos os cálculos são realizados no seu navegador — nenhum dado é enviado a servidores externos.
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Por convenção e consistência: definindo 0! = 1 faz com que as fórmulas combinatórias funcionem corretamente. Por exemplo, C(n,0) = n!/(0!×n!) = 1, o que significa que há exatamente 1 maneira de escolher 0 itens de n (não fazer nada). Sem esta definição, muitas fórmulas necessitariam de casos especiais.
Fatorial não é definido para números inteiros negativos. A função gama estende fatorial a números reais positivos (e números complexos), mas inteiros negativos permanecem singularidades indefinidas.
Fatores de contagem de 10 = 2×5. Como os fatores de 2 são mais abundantes que 5, conte os fatores de 5 em 1-100: ⌊100/5⌋ + ⌊100/25⌋ = 20 + 4 = 24 zeros à direita.
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